4第17講應(yīng)急設(shè)施的優(yōu)化選址問題數(shù)學(xué)建模-資料下載頁
2025-04-04 02:48本頁面
【正文】 選位置劃定它們的責(zé)任區(qū)的范圍，將每個街區(qū)（按假定（I））或街道上的每個點(diǎn)（按假定（II））劃給離它最近的設(shè)施的責(zé)任區(qū)。到兩個設(shè)施的路程相等的，任意劃給一個責(zé)任區(qū)。然后，在每個責(zé)任區(qū)內(nèi)可以按前述的“重心法”各找到一個的最佳位置。用分別取代，即使在不調(diào)整責(zé)任區(qū)的情形下已經(jīng)能夠說明方案被優(yōu)化了。如果的位置與不完全相同，責(zé)任區(qū)也可能發(fā)生變化。按設(shè)施的新位置重新劃定責(zé)任區(qū)。在兩個新的責(zé)任區(qū)范圍內(nèi)再一次用“重心法”各選一個新位置。這樣，調(diào)整責(zé)任區(qū)范圍和在每個責(zé)任區(qū)內(nèi)尋找最優(yōu)位置交替進(jìn)行，每進(jìn)行一次都使方案得到優(yōu)化。這個過程必定收斂（因為方案不能無窮地優(yōu)化下去），即設(shè)施位置及責(zé)任區(qū)范圍都不能再改變。這就達(dá)到了這個方法所能找到的最優(yōu)方案。以上方法可以作為算法3，仍稱為“重心法”（因為它是在兩個責(zé)任區(qū)內(nèi)分別用重心法求最優(yōu)位置）。而且，在實際計算時，可以顛倒一下順序：第一步不先選兩點(diǎn)位置，而先按某種方案將所有街區(qū)劃分成兩個區(qū)域，作為最初的責(zé)任區(qū)，要在責(zé)任區(qū)內(nèi)分別用重心法求出兩個點(diǎn)。重心法通常都比算法2的一步一步改進(jìn)要快，很快就可收斂到一組不能再改進(jìn)的方案，收斂后是否就得到了最優(yōu)解？與算法2的情形類似，仍然不能肯定，很可能與一開始劃定責(zé)任區(qū)范圍的方式有關(guān)。使用重心法時，還應(yīng)當(dāng)考慮到這樣的情況：如果不改變責(zé)任區(qū)，在各自的責(zé)任區(qū)內(nèi)當(dāng)然是最優(yōu)位置，一移動就會使總響應(yīng)時間增加，設(shè)增加量為。但如果移動后引起責(zé)任區(qū)改變，則調(diào)整責(zé)任區(qū)可再使總響應(yīng)時間減少某個，假如移動的方式選得適當(dāng)，使，則方案仍然獲得改進(jìn)。這說明，在用重心法達(dá)到收斂后，還應(yīng)該用算法2再試探一下，看是否還有改進(jìn)的余地。不過，不需要具體計算出總響應(yīng)時間，只要考察總響應(yīng)時間的增減情況就行了。由于試探時設(shè)施只移動一步（一個街區(qū)的長度），引起的責(zé)任區(qū)改變只有半步，一般都很小，實際上很難使，要使比更小，將責(zé)任區(qū)內(nèi)已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)位置的點(diǎn)的坐標(biāo)（或）變動為（或）時應(yīng)盡量使頻率函數(shù)值（或）仍很接近，這里是該責(zé)任區(qū)內(nèi)的事故頻率總數(shù)。但要（或）都很接近于0，只有它們符號相反時才有可能。也就是說：只考慮向事故多的方向上的移動。下面用重心法來計算本題的最優(yōu)解。由于收斂速度很快，可以用手算實現(xiàn)，只要第一步的責(zé)任區(qū)劃分得不是太不合理，求出的也的確是最優(yōu)解。先在假定（I）下計算：考慮到城鎮(zhèn)是長方形，很自然先用沿東西方向的直線將城鎮(zhèn)分成同樣大的南、北兩塊（各含25個街區(qū)），這樣做的理由是：可以使每塊內(nèi)部點(diǎn)與點(diǎn)之間的最遠(yuǎn)程不會太長，有利于降低總響應(yīng)時間。分別計算這兩塊的頻率函數(shù)得：北塊：頻率函數(shù)值：0,15,28,38,47,65；頻率函數(shù)值；0,16,23,36,50,65。南塊：頻率函數(shù)值：0,13,20,27,34,44；頻率函數(shù)值：0,9,17,21,33,44。北塊：頻率函數(shù)值最接近65/2=，頻率函數(shù)值最接近65/2=。最優(yōu)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,3）。同理可算出南塊的最優(yōu)點(diǎn)為。再劃分的責(zé)任區(qū)；橫坐標(biāo)為4的四個街區(qū)的中心離的路程相等，劃給或都可以。如果劃給，則就是原來的責(zé)任區(qū)方案，設(shè)施位置不能再優(yōu)化?？紤]將它們劃給，則新的責(zé)任區(qū)分別由北面的20個街區(qū)（橫坐標(biāo)的）和南面的30個街區(qū)（橫坐標(biāo)的）組成。對這兩塊重新選最優(yōu)點(diǎn)。的最優(yōu)點(diǎn)仍是的最優(yōu)點(diǎn)變成。的責(zé)任區(qū)仍只能分為，各自的最優(yōu)點(diǎn)當(dāng)然還是，已不能再優(yōu)化，將它們作為最終答案。（與算法1的結(jié)果比較知它們確實是最優(yōu)）。再在假定（II）下計算：第一步：仍先平均分成南、弱兩個相等的區(qū)域，最優(yōu)點(diǎn)仍分別為第二步：的責(zé)任區(qū)的邊界為直線，它將橫坐標(biāo)為4的5個街區(qū)都沿東西方向剖為兩半，各屬于一個責(zé)任區(qū)，這些街區(qū)的事故頻率總和18也被這兩半所平分，各占9。仍將的責(zé)任區(qū)記為的責(zé)任區(qū)記為。則的頻率函數(shù)值為0,15,28,38,47,56,最接近56/2=28，故最優(yōu)點(diǎn)的橫坐標(biāo)仍為2；頻率函數(shù)值為：0,41,74，最接近74/2=37的是，最優(yōu)點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，即的最優(yōu)點(diǎn)仍為。同理可計算出的最優(yōu)點(diǎn)也還是。即過程已經(jīng)收斂。第三步：考慮用算法2（逐次改進(jìn)法）能否再改進(jìn)方案。比如，考慮能否移動。在原來的責(zé)任區(qū)內(nèi)，的北面的事故總頻率為29，南面為24，考慮向北面移動一個街區(qū)。但這樣移動使南面的街區(qū)的行駛時間都增加了15秒，總響應(yīng)時間增加1524秒；而北面的街區(qū)中有5個（它們的事故總頻率為7）的行駛時間沒有改變，而另外有事故頻率為22的街區(qū)的行駛時間減少了15秒，引起總響應(yīng)時間減少1522秒，減少量增加量，得不償失，但二者的差別15（2422）=30秒已經(jīng)不大，看看能否通過責(zé)任區(qū)的調(diào)整得到補(bǔ)償。由于設(shè)施從移到，責(zé)任區(qū)邊界由變?yōu)?，向北移了半個街區(qū)，造成了5個“半街區(qū)”從的責(zé)任區(qū)變?yōu)榈呢?zé)任區(qū)。這5個“半街區(qū)”的北面一側(cè)的街道調(diào)整前后的行駛時間相同，不引起總響應(yīng)時間的改變。（南北方向半個街區(qū)的行駛時間），而這些街段占街區(qū)周長的（15/22）/70=3/14（70秒為車輛繞街區(qū)行駛一周的時間），故事故總頻率為183/14（18是這5個街區(qū)事故頻率之和）。183/14≈。因此，將第二個設(shè)施從（7,3）移到（6,3），還是以不移動為優(yōu)。（注意：（I）下的結(jié)果近似地作為假定（II）下的結(jié)果造成的差別）。如果在一開始不用直線來分割責(zé)任區(qū)，而用直線，則第一步得到的方案就是（2,3），（6,3）。類似的分析可得出：在假設(shè)（II）下，如果將(6,3)向南移動一個街區(qū)，從而方案得到優(yōu)化。如果一開始用南北方向的直線來分割責(zé)任區(qū)，將城鎮(zhèn)分成同樣大小的東、西兩塊，在假定（I）下用重心法計算的結(jié)果，最后收斂于（），（5,4）兩點(diǎn)，恰好就是逐次改進(jìn)法所得到的另一對極值點(diǎn)。但這樣的責(zé)任區(qū)分割方案顯然是不可取的。
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