【正文】 習(xí) 題 11．試?yán)觅J款各參數(shù)間的關(guān)系式，完成以下公積金貸款利率表（表19）．表19 個(gè)人住房公積金貸款利率表年份月數(shù)月利率/‰年利率/%月還款額本息總額總利息112到期一次還本付息10 224 10 336 10 448 10 560 11 1 672 11 1 784 11 1 896 11 1 9108 12 2 10120 12 2 2． 某工廠有一水池，其容積為100，原有水為10． ． 試將水池中水的體積表示為時(shí)間 t 的函數(shù)，且問(wèn)需用多少min水池才能灌滿(mǎn)？解 設(shè)水的體積為 V， 則V= + 10(min)3． 以速率A (單位：)往一圓錐形容器注水． 容器的半徑為 R cm，高為H ． 試將容器中水的體積 V 分別表示成時(shí)間 t 與水高度 y 的函數(shù)． 解 4． (手機(jī)服務(wù)的選擇問(wèn)題)假設(shè)目前的手機(jī)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是這樣的：“133 環(huán)保網(wǎng)”的收費(fèi)為每月基本費(fèi)用 50 元，每通話(huà) 1 min(不足 1 min按 1 min計(jì)算)再加收 元；“神州行”無(wú)每月基本費(fèi)用，但按每通話(huà) 1 min(不足 1 min按 1 min計(jì)算)加收 元計(jì)算話(huà)費(fèi)．若僅在本地區(qū)使用手機(jī)，如何選擇手機(jī)服務(wù)？請(qǐng)給出一個(gè)建議．解 133 環(huán)保網(wǎng)話(huà)費(fèi)為；神州行話(huà)費(fèi)為 ≤0時(shí)，即≥125（h）時(shí)，≤，即使用“133 環(huán)保網(wǎng)”所需交納的話(huà)費(fèi)較少， 若每月通話(huà)時(shí)間不足 125 min則用“神州行”合適．5． 某公司每天要支付一筆固定費(fèi)用 300 元(用于房租與薪水等)，它所出售的食品的生產(chǎn)費(fèi)用為 1 元/kg，而銷(xiāo)售價(jià)格為 2 元/kg．試問(wèn)他們每天應(yīng)當(dāng)銷(xiāo)售多少 kg 食品才能使公司的收支保持平衡?解 (kg) 6． 設(shè)某商品的供給函數(shù)(即供給量作為價(jià)格的函數(shù))為， 需求函數(shù)(即需求量作為價(jià)格的函數(shù))為， 其中為價(jià)格．(1) (1)在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出的圖形；(2) (2)若該商品的需求量與供給量均衡，求其價(jià)格．解 由實(shí)際意義取7． 有一物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知物體所受阻力的大小與物體的運(yùn)動(dòng)速度成正比，但方向相反．當(dāng)物體以4m/s的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，阻力為 2 N，試建立阻力與速度之間的函數(shù)關(guān)系．解 設(shè)8． 一架飛機(jī)起飛用油是一個(gè)固定量，著陸用油是一個(gè)(不同的)固定量，空中飛行每km用油也是一個(gè)固定量，所需的燃料總量是如何依賴(lài)于航程距離的？寫(xiě)出有關(guān)函數(shù)的表達(dá)式．解釋表達(dá)式中常數(shù)的意義．解 設(shè)起飛用油為，著陸用油，空中飛行用油為，則為常量，其中，其中為飛行每km用油量，為航程，因此所需燃料總量9． 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)要估價(jià)財(cái)產(chǎn)，例如對(duì)小汽車(chē)或冰箱進(jìn)行估價(jià)．財(cái)產(chǎn)的價(jià)值將隨其使用時(shí)間的加長(zhǎng)而降低，也就是會(huì)貶值．例如最初花 100 000 元購(gòu)買(mǎi)的小汽車(chē)，幾年后只值 50 000 元．計(jì)算財(cái)產(chǎn)值的最簡(jiǎn)單方法是利用“貶值直線(xiàn)”，它假定財(cái)產(chǎn)價(jià)值是時(shí)間的線(xiàn)性函數(shù)．如果一個(gè) 1 950 美元的冰箱 7 年后貶得一文不值，求出其價(jià)值作為時(shí)間函數(shù)的表達(dá)式．解 設(shè)財(cái)產(chǎn)價(jià)值為，時(shí)間為，則此線(xiàn)性函數(shù)可設(shè)為時(shí)，；；所以10．(1) 利用表110中的數(shù)據(jù)確定一個(gè)形如的公式．該公式給出了時(shí)刻 (以月計(jì))時(shí)，兔子的數(shù)量． (2) 該兔子種群的近似倍增期是多少? (3) 利用你的方程預(yù)測(cè)該兔子種群何時(shí)達(dá)到1 000只． 表110012345254375130226391 解 （1）解方程組：，所以公式為 （2）由得到：(月) （3）由得到：(月)注：求r的時(shí)候可以選取任意兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，也可以用其他方式進(jìn)行計(jì)算，比如用各相鄰兩組數(shù)據(jù)的差的平均值．結(jié)果略有差異．11． 旅客乘坐火車(chē)時(shí)，隨身攜帶物品，不超過(guò) 20 kg免費(fèi)，超過(guò) 20 kg部分，每kg收費(fèi) 元． 超過(guò)50 kg部分再加收 50 %． 試列出收費(fèi)與物品重量的函數(shù)關(guān)系式． 解 設(shè)收費(fèi)為，物重為，則當(dāng)≤20時(shí)，；≤12． 某停車(chē)場(chǎng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：凡停車(chē)不超過(guò)2 h的，收費(fèi) 2 元；以后每多停車(chē) 1 h(不到 1 h仍以 1 h計(jì))增加收費(fèi) 元．但停車(chē)時(shí)間最長(zhǎng)不能超過(guò) 5 h．試建立停車(chē)費(fèi)用與停車(chē)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系模型．解 設(shè)收費(fèi)為，停車(chē)時(shí)間為，則當(dāng)≤≤ 13． 設(shè)儀器由于長(zhǎng)期磨損，使用年后的價(jià)值是由下列模型確定的．使用 20 年后，儀器的價(jià)值為 8 元．試問(wèn)當(dāng)初此儀器的價(jià)值為多少? 解 由，將代入得到：14． 生物在穩(wěn)定的理想狀態(tài)下，細(xì)菌的繁殖按指數(shù)模型增長(zhǎng): (表示 min后的細(xì)菌數(shù))假設(shè)在一定的條件下，開(kāi)始時(shí)有 2 000 個(gè)細(xì)菌，且 20 min后已增加到 6 000 個(gè)，試問(wèn) 1 h后將有多少個(gè)細(xì)菌? 解 15． 大氣壓力隨著離地球表面的高度的增加而呈指數(shù)減少：其中是海平面處的大氣壓力，以m計(jì)． (1) 珠穆朗瑪峰的頂峰海拔高 8 m，那里的大氣壓力是多少？將其表示為海平面處大氣壓力的百分?jǐn)?shù)；(2) 一架普通商用客機(jī)的最大飛行高度大約是 12 000 m． 此高度的大氣壓力是多少？將其表示為海平面處大氣壓力的百分?jǐn)?shù)．解 16． 某工廠的空氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾使得污染數(shù)量(單位：mg/L)正按照方程減少，其中表示時(shí)間（單位：h）．如果在前 5 h內(nèi)消除了 10 % 的污染物： (1) 10 h后還剩百分之幾的污染物？ (2) 污染減少 50 % 需花多少時(shí)間？ (3) 畫(huà)出污染物關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象，在圖象上表示出你的計(jì)算結(jié)果． (4) 解釋污染量以這種方式減少的可能原因．解 (3) 圖像略。 (4) 略。17． 某有機(jī)體死亡 年后所剩的放射性碳14含量由式給出，其中是初始量． (1) 考古控掘出土的某頭蓋骨含有原來(lái)碳14含量的15%，估計(jì)該頭蓋骨的年齡．(2) 試根據(jù)此方程計(jì)算碳14的半衰期．解 (1) 由(2) 18． 一幅佛m爾(Vermeer)(1632—1675)的繪畫(huà)含有其原有碳14(半衰期為5 739年)含量的 %．根據(jù)這一信息，是否能判斷出該畫(huà)是不是贗品，請(qǐng)解釋理由．解 由上一道題目即這幅畫(huà)只有40多年的歷史，由畫(huà)家的生卒年月判斷這不會(huì)是畫(huà)家的作品． 19． 某動(dòng)物種群數(shù)量 1 月 1 日低至 700，7 月 1 日高至 900，其總量在此兩值之間依正弦曲線(xiàn)改變． (1) 畫(huà)出種群總量關(guān)于時(shí)間的圖象． (2) 求出種群量作為時(shí)間 的函數(shù)的表達(dá)式，其中 以月為單位計(jì)量． 解 (1)(2)設(shè)群量為A，則 20． 同一元素的不同類(lèi)(稱(chēng)為同位素)可能具有很不同的半衰期．钚240的衰減由公式給出，而钚242的衰減則由公式給出，求钚240和钚242的半衰期． 解 (1) 钚240： (2) 钚242：21． 某一儲(chǔ)水池中水的深度在水的平均深度 7 m上下每隔 6 h完成一次正弦振蕩．如果最小深度為 m，最大深度為 m，求出水的深度表達(dá)式(單位：h)(可能的答案很多)．解 設(shè)水的深度表達(dá)式為：，由題意可知，周期。從而，則水深表達(dá)式為：其中任意。 22． 在一個(gè)擁有80 000人的城市里，在時(shí)刻 得感冒的人數(shù)為其中 是以天為單位．試求開(kāi)始感冒的人數(shù)及第 4 天感冒的人數(shù)．解　由（人）（人） 23． 將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合　　(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．解（1）由復(fù)合而成；?。?）由復(fù)合而成；　（3）由復(fù)合而成；?。?）由復(fù)合而成．24． 設(shè)，求(1)，進(jìn)而求；(2) 求． 解（1） （2） （3） 25． 求下列函數(shù)的反函數(shù)，指出定義域：　　(1) ； (2) ； (3)(x ≥．解　(1)；(2)；(3)≤≤ 26． 加拿大芳迪灣(Bay of Fundy)以擁有世界上最大的海潮著稱(chēng)，其高低水位之差達(dá) 15 m 之多．假設(shè)在芳迪灣某一特定點(diǎn)，水的深度 （單位：m）作為時(shí)間 的函數(shù)由給出，其中為自 1994 年 1 月 1 日午夜以來(lái)的小時(shí)數(shù)． (1) 解釋 的物理意義． (2) 求出 的值． (3) 求出 的值，假定連續(xù)兩次高潮位的時(shí)間間隔為 h．(4) 解釋 的物理意義．解 (1) 表示海潮的平衡位置高度．(2) =15/2=(3) (4) 表示1994 年 1 月 1 日午夜以來(lái)海潮第一次達(dá)到最高位置的小時(shí)數(shù)。27． 設(shè)一個(gè)家庭貸款購(gòu)房的能力 y 是其償還能力 u 的 100 倍，而這個(gè)家庭的償還能力 u 是月收入 x 的 20 %．(1) (1)試把此家庭貸款購(gòu)房能力 y 表示成月收入 x 的函數(shù)。(2) (2)如果這個(gè)家庭的月收入是 4 000 元，那么這個(gè)家庭購(gòu)買(mǎi)住房可貸款多少? 28． (1) 從表111中所給數(shù)據(jù)，說(shuō)明區(qū)間 0≤≤4 上0的根的數(shù)目，并給出這些根的近似值的大致位置；012340 (2) 試?yán)脠D形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，在區(qū)間 0≤≤4 上畫(huà)圖驗(yàn)證(1)中所得結(jié)果； (3) 利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)估算每個(gè)根精確到一位小數(shù)； (4) 解釋最小正根為的理由；(5) 求出方程在區(qū)間04上所有根的精確值(如等)．解 (1) 由題目給出的數(shù)據(jù)可得在0處有一個(gè)根，在區(qū)間(1，2)至少存在一個(gè)根，在區(qū)間(2，3)至少存在一個(gè)根，在區(qū)間(3，4)至少存在一個(gè)根．即在區(qū)間[0，4]至少存在四個(gè)根； (2) 略；(3) ；(4)(5) ． 29． 決定圖155，156每個(gè)圖象的三次多項(xiàng)式．解 (1) 圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)：，因此可設(shè)函數(shù)為：，把代入：，因此所求方程為：(2) 圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以其中有一個(gè)是重根，如圖可設(shè)，因此可設(shè)函數(shù)為，把帶入得：，因此所求方程為：30． 考慮下圖的圖象． (1) 此函數(shù)有多少零點(diǎn)？求零點(diǎn)的近似位置； (2) 計(jì)算和的近似值；(3) 該函數(shù)在 1 附近是遞增的還是遞減的？ 3 附近情況又如何？解 (1) 如圖可知，此函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)． (2) (3) 函數(shù)在1附近是遞減的，3附近是遞增的． 31． (1) 考慮如圖158(a)所示的函數(shù)，求的坐標(biāo)； (2) 考慮如圖158(b)所示的函數(shù)，求用表示的的坐標(biāo)．解 (a) C所在的直線(xiàn)方程為代入拋物線(xiàn)的方程，是題目給出的交點(diǎn)，所以所求的交點(diǎn)C為　 (b) C所在的直線(xiàn)方程為，代入拋物線(xiàn)的方程：所求的交點(diǎn)C為． 32．化學(xué)反應(yīng)中的催化劑是一種加速反應(yīng)進(jìn)程但其本身并不改變的物質(zhì)．如果反應(yīng)生成物本身是催化劑，該反應(yīng)則稱(chēng)為自催化的．假設(shè)其一特定的自催化反應(yīng)的速率正比于原物質(zhì)的剩余量與生成物的數(shù)量的函數(shù)． (1) 將表示為的函數(shù)；(2) 當(dāng)反應(yīng)進(jìn)程最快時(shí)，的值是多少？解 設(shè)元物質(zhì)總量為Q，由題意可知：(1) ，其中k為正比例常數(shù)。(2) 求r的最大值，可得：，即原物質(zhì)剩余量p減少為原來(lái)的一半時(shí)，反應(yīng)進(jìn)程最快。 33．在空間直角坐標(biāo)系中，說(shuō)明下列各點(diǎn)的位置A(3，1，2)、B(2，3，2)、C(1，2，4)、D(3，0，4)、E(0，0，2)、F(2，6，2)． 解 A(3，1，2)位于第一卦限、B(2，3，2) 位于第四卦限、C(1，2，4) 位于第八卦限、D(3，0，4) 位于平面、E(0，0，2) 位于z軸負(fù)向、F(2，6，2) 位于第六卦限．34．求點(diǎn)M(2，3，4)關(guān)于(1)各坐標(biāo)面(2)各坐標(biāo)軸(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)． 解 (1) 關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2，3，4)，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2，3，4)，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2，3，4)．(2)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2，3，4)，關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2，3，4)，關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2，3，4)． (3)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3，4)．35． 求下列各函數(shù)的定義域，并畫(huà)出定義域的圖形：(1)； (2) ； (3) ； (4) ． 36． 某公司生產(chǎn)中使用 I 和 II 兩種原料，已知 I 和 II 兩種原料分別使用x單位和y單位可生產(chǎn)U單位的產(chǎn)品，這里并且第 I 種原料每單位的價(jià)值為10元，第 II 種原料每單位的價(jià)值為 4 元，產(chǎn)品成品每單位的售價(jià)為 40 元，試給出其利潤(rùn)函數(shù)． 解 其單位產(chǎn)品利潤(rùn)為 P=單位價(jià)格單位成本=37． 一個(gè)燈泡懸吊在半徑為r的圓桌正上方，桌上任一點(diǎn)受到的光照度與光線(xiàn)的入射角的余弦值成正比(入射角是光線(xiàn)與桌面的垂直線(xiàn)之間的夾角)，而與光源的距離平方成反比．試求桌子邊緣所得到的光照度．38． 在平行四邊形ABCD中，已知，M為對(duì)角線(xiàn) AC 與 BD 的交點(diǎn)，試用 a，b 表示，，．解 所以39． 已知|a|=5，|b|=3，|a + b|＝7，求|a b|．解 設(shè)兩向量之間的夾角為，則由余弦公式，所以， 所以|a－b|40． 由坐標(biāo)系的原點(diǎn)到一點(diǎn)所引的向量稱(chēng)為這一點(diǎn)的向徑． 已知在平行四邊形 ABCD 中，三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C的向