【經(jīng)典線代課件】線性代數(shù)課件第三章矩陣的秩(已修改)
2025-02-01 01:14 本頁面
【正文】 經(jīng)過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一 步化為行最簡形矩陣，其特點是：非零行的第一 個非零元為 1，且這些非零元所在列的其它元素都 為 0． 例如 ?????????????????00000310003011040101５ 行最簡形矩陣 對行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點是：左上角是一個單位矩 陣，其余元素都為 0． 例如 ?????????????????00000310003011040101ccccccccc214433215334~???? ?? ??????????????00000001000001000001６ 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 .,),(,數(shù)梯形矩陣中非零行的行就是行階其中三個數(shù)完全確定此標(biāo)準(zhǔn)形由化為標(biāo)準(zhǔn)形換和列變換行變總可以經(jīng)過初等變換矩陣任何一個rrnmOOOErFnmnm????????? 所有與 A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一 個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形 是這個等價類中形狀最簡單的 矩陣． F定義 ., 2階子式的稱為矩陣階行列式的位置次序而得到的中所處不改變它們在個元素行列交叉處的位于這些列行和任取中矩陣在kAkAkkkAnm ?７ 矩陣的秩 定義 .0).(,0)(1,0 并規(guī)定零矩陣的秩等于記作的秩稱為矩陣數(shù)的最高階非零子式稱為矩陣那么全等于如果存在的話階子式且所有階子式的中有一個不等于設(shè)在矩陣ARArADrDrA?。)(,1 rARrA ?? 則階子式都為零中所有如果)。()( ARAR T ?定理 )。()(,~ BRARBA ?則若行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)． ８ 矩陣秩的性質(zhì)及定理 。)(, rARrA ?則階子式中有一個非零的如果.~ )4(。 )3(。)( )2(。 )1(EAEAnARAA的標(biāo)準(zhǔn)形為單位矩陣的最高階非零子式為? 則階可逆矩陣為若 ,nA定理 定理 .)(0 nARxAn nm???陣的秩充分必要條件是系數(shù)矩有非零解的元齊次線性方程組.),( 的秩的秩等于增廣矩陣分必要條件是系數(shù)矩陣有解的充元非齊次線性方程組bABAbxAn nm???９ 線性方程組有解判別定理 齊次線性方程組 ：把系數(shù)矩陣化成行最簡形 矩陣，寫出通解． 非齊次線性方程組 ：把增廣矩陣化成行階梯 形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有 解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡形矩陣，寫出 通解． 10 線性方程組的解法 定理 .,。, 階初等矩陣相應(yīng)的的右邊乘以相當(dāng)于在施行一次初等列變換對階初等矩陣左邊乘以相應(yīng)的相當(dāng)于在變換施行一次初等行對矩陣是一個設(shè)nAAmAAnmA ?11 初等矩陣與初等變換的關(guān)系 定理 .,, 2121PPPAPPPAll ?? ?使則存在有限個初等矩陣為可逆矩陣設(shè)推論 .,:~ BP AnPmBAnm??使得階可逆矩陣及階可逆矩陣存在的充分必要條件是矩陣一、求矩陣的秩 二、求解線性方程組 三、求逆矩陣的初等變換法 四、解矩陣方程的初等變換法 典 型 例 題 求矩陣的秩有下列基本方法 （１）計算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的 子式開始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一 個子式，則這個子式的階數(shù)就是矩陣的秩． 一、求矩
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