[理學(xué)]線性代數(shù)課件(2)(已修改)
2025-01-31 15:17 本頁(yè)面
【正文】 第三章 矩陣的初等變換 與 線性方程組 知識(shí)點(diǎn)回顧：克拉默法則 結(jié)論 1 如 果線性方程組 (1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解 ,而且解是唯一的 .（ P. 24定理 4） 結(jié)論 1′如果線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零 . （ 439。） 設(shè) 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2( 1 )nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件： (1) 方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)； (2) 系數(shù)行列式不等于零 . 線性方程組的解受哪些因素的影響？ 167。 1 矩陣的初等變換 一、初等變換的概念 二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系 三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系 四、初等變換的應(yīng)用 引例： 求解線性方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 42 2 ,2 4 ,4 6 2 2 4 ,3 6 9 7 9 .x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??① ② ③ ④ 一、矩陣的初等變換 ① ② ③ ④ 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 42 4 ,2 2 ,2 3 2 ,3 6 9 7 9 .x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 42 2 ,2 4 ,4 6 2 2 4 ,3 6 9 7 9 .x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??① ② ③247。 2 ① ② ③ ④ 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 42 4 ,2 2 ,2 3 2 ,3 6 9 7 9 .x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??② － ③ ③ － 2① 1 2 3 42 3 42 3 42 3 42 4 , 2 2 2 0 ,5 5 3 6 ,3 3 4 3 .x x x xx x xx x xxxx? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ??④ － 3① ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 1 2 3 42 3 42 3 42 3 42 4 , 2 2 2 0 ,5 5 3 6 ,3 3 4 3 .x x x xx x xx x xxxx? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ??② 247。 2 ③ ＋ 5② 1 2 3 42 3 4442 4 ,0,2 6 ,3.x x x xx x xxx? ? ? ???? ? ??????? ???④ － 3② ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 1 2 3 42 3 4442 4 ,0,2 6 ,3.x x x xx x xxx? ? ? ???? ? ??????? ???④ － 2③ 1 2 3 42 3 442 4 ,0,3,0 0 .x x x xx x xx? ? ? ???? ? ??????? ??③ ④ ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 1 2 3 42 3 442 4 ,0,3,0 0 .x x x xx x xx? ? ? ???? ? ??????? ??取 x3 為自由變量，則 132344,3,3.xxxxx???????? ???令 x3 = c ，則 1234433x cx cXx cx??? ???? ????? ?????? ???? ???????恒等式 1413.1003c? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?① ② ③ ④ 三種變換： ?交換方程的次序，記作 ； ?以非零常數(shù) k 乘某個(gè)方程，記作 ； ?一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的 k 倍，記作 . 其逆變換是： 結(jié)論： 1. 由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解 . ，實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算． i j i k i ＋ k j i j i k i k j i j i 247。 k i － k j 定義： 下列三種變換稱為矩陣的 初等行變換 ： ?對(duì)調(diào)兩行，記作 ； ijrr??以非零常數(shù) k 乘某一行的所有元素，記作 ； irk??某一行加上另一行的 k 倍，記作 . ijr kr?其逆變換是： ijrr?irk?ijr kr?。ijrr?。irk?.ijr kr?把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的 初等列變換 的定義． 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為 初等變換． 初等變換 初等行變換 初等列變換 2 1 1 1 21 1 2 1 44 6 2
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