[理學(xué)]線性代數(shù)320xx李甫英課件附帶習(xí)題答案(已修改)
2025-01-31 15:16 本頁(yè)面
【正文】 第 3 次 課 167。 克萊姆法則 目的要求： ?掌握克萊姆法則解線性方程組 ?應(yīng)用拉普拉斯定理計(jì)算行列式 ?第一章 習(xí)題小結(jié) 在 167。 ，我們知道二元線性方 程組當(dāng)系數(shù)行列式 0D ? 時(shí)有唯一解， 這個(gè)結(jié)論可推廣到 n元線性方程組 定理 若線性方程組 ???????????????????nnnn22nn1n2nn22221211nn1212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa?????的系數(shù)行列式 D≠0，則方程組有唯一解： DDxDDxDDx nn2211 ??? ? 其中 Dj為用 常數(shù)項(xiàng)換 D中第 j列元素得到的行列式。 例 1 解方程組 ?????????????????????0xx2x16x6x5x12x5x3x9x4x3x2x4214323214321解： 1021651005314321D ?3300651042104321)1()1(1412???????rrrr330651421???按第一列展開3301030421r)1(r12?????02133103????按第一列展開1021151005314321D: ?系列行列式102065116053124329D:1??分子行列式1000651116053124369)2(43????? cc42511165312369????按第四行展開63100165160051214391D2????21D 3 ?? 84D 4 ?2DDx 11 ???3DDx 22 ???1DDx 33 ???4DDx 44 ???特別地，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)均為零時(shí)， n元線性方程組 ???????????????????0XaXaXa0XaXaXa0XaXaXannn22n11nnn2222121nn1212111?????稱 n元齊次線性方程組 ?此時(shí)， X1=X2=…=X n=0總是有解。 定理 若齊次線性方程組的系數(shù)行列 ?式 D≠0時(shí) ,它只有唯一零解： ? 即 x1=x2=…=x n=0 ? 推論：若齊次線性方程組除零解 外，還有無(wú)窮多非零解，則它的行列 式 D=0 ?例 2 為何值時(shí)???????????????????0z)4(x20y)6(X20z2y2x)5(有非零解 ?解： 0402062225D ???????????????402062225D0)8)(2)(5( ?????????補(bǔ)充：三次多項(xiàng)式因式分解 時(shí)或或則 825 ??????方程組有非零解 804026132806615 22323 ???????????????????)2(40)2(13)2(2 ????????????)8)(5)(2()4013)(2( 2????????????????例 3 當(dāng) k取何值時(shí)，方程組 ?????????????????0x)2k(xx0xx)2k(x0xxx)2k(321321321有非零解 ?解： 2k1112k1112kD????2)1k)(4k( ???4k1k0D ????? 或即?方程組有非零解 1. 用克萊姆法則解方程組的兩個(gè)條件 (1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù) 。 (2)系數(shù)行列式不等于零 . 2. 克萊姆法則建立了線性方程組的解和已知的系 數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系 .它主要適用于理論推導(dǎo) . 小結(jié)與思考 思考題 當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí) ,能否用克萊姆 法則解方程組 ?為什么 ?此時(shí)方程組的解為何 ? 二、定理 拉普拉斯（ Laplace）定理 ? 若在 n階行列式 D中，任選 k行 （
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