【正文】 行健杯數(shù)學(xué)建模競賽 參賽隊員 隊長：吳玎祥 13852147819隊員：張浩隊員：張兵兵中國礦業(yè)大學(xué)“行建杯”數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁參賽隊伍的參賽號碼：（請各個參賽隊提前填寫好）：競賽統(tǒng)一編號（由競賽組委會送至評委團(tuán)前編號）：競賽評閱編號（由競賽評委團(tuán)評閱前進(jìn)行編號）：中國礦業(yè)大學(xué)“行建杯”數(shù)學(xué)建模競賽 題 目 公司決策優(yōu)化問題1． 摘要在充分理解題意的基礎(chǔ)上，我們提出問題，并對問題作出分析，提出了合理的假設(shè)模型，建立“利潤=總產(chǎn)值（銷售額）總成本”來使得利潤最大化的生產(chǎn)銷售方案，并對模型進(jìn)行驗證。通過對問題的深入分析計算，我們將本題歸結(jié)為規(guī)劃問題，并建立了線性規(guī)劃模型。通過計算得出：（1）處理問題時，通過建立模型，盡可能利用數(shù)學(xué)手段，得到問題最優(yōu)解，解得1~6月份分別生產(chǎn)輕工藝品800件、1100件、1150件、1300件、1400件、（2）通過問題模型經(jīng)過類比發(fā)現(xiàn)，不促銷獲得利潤高于淡季促銷以及旺季促銷，其獲得利潤分別如下：。得出結(jié)論，不促銷旺季促銷情況下的產(chǎn)銷方案優(yōu)于淡季促銷和旺季促銷。關(guān)鍵字：線性規(guī)劃 LINGO 利潤最大化 總成本 總產(chǎn)值 銷售 二．問題重述某企業(yè)主要生產(chǎn)一種輕工藝品，在現(xiàn)有的營銷策略下，年初對上半年6個月的產(chǎn)品需求預(yù)測如表1所示。表1 產(chǎn)品需求預(yù)測估計值（件）月份1月2月3月4月5月6月預(yù)計需求量1000110011501300140013001月初工人數(shù)為12人，工人每月工作20天，每天工作8小時，按規(guī)定，工人每個月加班時間不得超過15個小時。1月初的庫存量為200個。產(chǎn)品的銷售價格為240元/件。該產(chǎn)品的銷售特點是，如果當(dāng)月的需求不能得到滿足，顧客愿意等待該需求在后續(xù)的某個月內(nèi)得到滿足，但公司需要對產(chǎn)品的價格進(jìn)行打折，可以用缺貨損失來表示。6月末的庫存不大于150個。各種成本費用如表2所示。表2 產(chǎn)品各項成本費用原材料成本庫存成本缺貨損失外包成本培訓(xùn)費用100元/件10元/件/月20元/件/月200元/件50元/人解聘費用產(chǎn)品加工時間工人正常工資工人加班工資100元/人12元/小時/人18元/小時/人（1） 若你是公司決策人員，請建立數(shù)學(xué)模型并制定出一個成本最低、利潤最大的最優(yōu)產(chǎn)銷方案；（2） 公司銷售部門預(yù)測：在計劃期內(nèi)的某個月進(jìn)行降價促銷，當(dāng)產(chǎn)品價格下降為220元/件時，則接下來的兩個月中8%的需求會提前到促銷月發(fā)生。試就一月份（淡季）促銷和四月份（旺季）促銷兩種方案以及不促銷最優(yōu)方案（1）進(jìn)行對比分析，進(jìn)而選取最優(yōu)的產(chǎn)銷規(guī)劃方案。三．模型的假設(shè)由于市場的不穩(wěn)定性和一些問題的不確定性，我們做出以下的假設(shè)：（1） 工廠正常生產(chǎn)且銷售連續(xù)不間斷且市場穩(wěn)定即各項費用及銷售價格均不發(fā)生變化 ；（2） 生產(chǎn)的產(chǎn)品都合格且都進(jìn)行外包裝；（3） 所有工人都在正常情況下（不允許請假離職）工作且培訓(xùn)期間，員工正常生產(chǎn)；（4） 在問題（2）中，促銷只把6月份的需求提前到促銷月4月中；（5） 本題中給定的產(chǎn)品預(yù)測需求均為定值；四．符號約定生產(chǎn)月份六個月的銷售總額六個月的總成本六個月的總利潤值月份的人力規(guī)模， 月初培訓(xùn)的員工數(shù)， 月初解聘的員工數(shù)， 月份工人生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量， 月份末的存貨量， 月份末的缺貨量， 月份的外包產(chǎn)品數(shù)量， 月份的加班工時數(shù)， 月份的市場需求量，五．問題分析根據(jù)題意要求建立數(shù)學(xué)模型并制定出一個成本最低、利潤最大的最優(yōu)產(chǎn)銷方案；該問題是一個在一定約束條件下的最優(yōu)化問題，初步分析題意后可知約束條件是線性的，所以用線性規(guī)劃來解決。由于該題目涉及數(shù)據(jù)變量不是教多，我們可以直接使用lingo軟件直接求解。 問題的約束條件由人數(shù)變化和每月銷售件數(shù)變化范圍確定。問題的目標(biāo)函數(shù)就是總利潤函數(shù)，即總利潤=總銷售額成本（包括人力成本、生產(chǎn)成本，庫存缺貨成本以及其他成本等）。我們的目標(biāo)是確定人數(shù)變化和每月銷售件數(shù)的可行值，使得我們的成本盡可能低，總利潤最大。 第二問實質(zhì)上就是對于第一問的擴(kuò)展，根據(jù)程序運行結(jié)果對1月份和4月份促銷方案進(jìn)行判斷、并改變相應(yīng)的數(shù)字利用Lingo求解，得到最優(yōu)結(jié)果與未促銷時的方案比較得到最優(yōu)的產(chǎn)銷規(guī)劃方案。由上面部分，可設(shè)每月生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量，每月的缺貨量,每月的庫存量,每月解聘的工人數(shù),每月培訓(xùn)的工人數(shù) ,每月所有工人總加工時間 ,每月的工人數(shù),以及每月的外包數(shù)量和總成本其中i=1,2,3,4,5,： （注：1920=12*8*20即為每個員工每月不加班情況下的工資）根據(jù)以上分析，建立線性規(guī)劃模型： 根據(jù)該模型求解問題。6． 模型的建立與求解(1)目標(biāo)函數(shù)：(2) 約束條件: 1： 通過分析可知月份的工人數(shù)與當(dāng)月初解雇人數(shù)之和應(yīng)該等于上月工人人數(shù)與當(dāng)月初雇傭人數(shù)，由此得到 2 ：月份有工人數(shù)，而每個月工人工作20天，每天工作8小時，因此每個員工正常工作一個月能生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為100（20*8/）件，考慮到加班情況，表示每月所有工人加班總工時，因此每月加班能生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為，而每月總的生產(chǎn)能力應(yīng)該要大于實際生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)，所以得到 3：在i月生產(chǎn)量在滿足本月預(yù)計需求的情況下與相鄰兩月的庫存量或缺貨量滿足 4：由題意可知，1月初的缺貨量、6月末的缺貨量為0、6月末的存貨量不大于150件，又因為1月初的存貨量為200，1月初的工人人數(shù)為12，因此得到 ， ， （注：S0表示1月初的缺貨量）5： 因為每個工人每個月加班時間不得超過15小時，所以得到 6：因為6月末的庫存不大于150，因此所有能生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)與1月份的存貨量之和應(yīng)該滿足 除此之外，計劃期間的市場需求量是常量，可以用計劃需求量表示為 則可得以下綜合約束條件： ST. , 七．模型求解問題（1）的求解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)、約束條件并考慮實際應(yīng)用中有些決策變量只能取整數(shù)，利用Lingo進(jìn)行求解可以得到最優(yōu)解，該公司的總生產(chǎn)計劃如下所示：表3 總生產(chǎn)計劃表月份()培訓(xùn)員工數(shù)/人()加班時間/小時()人工數(shù)/人()解聘人工數(shù)/人()產(chǎn)品庫存/件()產(chǎn)品缺貨/件()外包數(shù)量/件()生產(chǎn)數(shù)量/件 ()00012020000010084000800230110000110030801100001150420130000130051014000014006001310001300得到最小成本的最優(yōu)解為 。而產(chǎn)品的銷售價格為240元/件，則計劃期間的銷售收入為：240*7250=；=。問題（2）問題（2）利用的仍是問題（1）的模型，只是每個月的計劃需求量有變化，一月份促銷方案中接下來的兩個月中8%的需求會提前到當(dāng)月，于是得到一月份需求四月份促銷方案中，因此得到兩種促銷方案的預(yù)計產(chǎn)品需求量為: 表 4 一月和四月促銷方案的預(yù)計產(chǎn)品需求量 月份促銷 123456一月份118010121058130014001300四月份100011001150151612881196利用前面給出的成本最小規(guī)劃模型，將相關(guān)參數(shù)值代入該模型進(jìn)行求解，得到一月份促銷方案和四月份促銷方案的結(jié)果分別為：一月份促銷方案：。銷售收入為元220*1180+240*（1012+1058+1300+1400+1300）=1716400；=。各期間生產(chǎn)計劃安排如下表表5 一月份促銷方案中各期間生產(chǎn)計劃安排表月份()員工數(shù)/人()加班時間/小時()培訓(xùn)人工數(shù)/人()解聘人工數(shù)/人()產(chǎn)品庫存/件()產(chǎn)品缺貨/件()外包數(shù)量/件()生產(chǎn)數(shù)量/件 ()00012020000010010220001000200100800100030801000001050430130000130051014000014006001310001300四月份促銷方案：銷售收入為元220*1516+240*(1000+1100+1150+1288+1196)=；=。各期間生產(chǎn)計劃安排如下表表6 四月份促銷方案中各期間生產(chǎn)計劃安排月份()員工數(shù)/人()加班時間/小時()培訓(xùn)人工數(shù)/人()解聘人工數(shù)/人()產(chǎn)品庫存/件()產(chǎn)品缺貨/件()生產(chǎn)數(shù)量/件()外包數(shù)量/件 ()000120200000