【正文】 2006高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專(zhuān) 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：41A題:出版社的資源配置摘 要本文根據(jù)題目的要求建立了合理的有限資源分配優(yōu)化模型，我們借助多種數(shù)學(xué)軟件的優(yōu)勢(shì)挖掘出大量數(shù)據(jù)潛在的信息，并將其合理運(yùn)用，在此基礎(chǔ)上，以利潤(rùn)最大為目標(biāo)，長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展為原則，制定出信息不足條件下的量化綜合評(píng)價(jià)體系，并為出版社在2006年如何合理有效地分配有限的書(shū)號(hào)資源提供了最佳的分配方案。在本文所建立的模型中，我們采取了層次分析法（AHP）、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)擬合以及整數(shù)線(xiàn)性規(guī)劃相結(jié)合的手段，這樣既借鑒了層次分析法綜合評(píng)價(jià)的優(yōu)勢(shì)，又克服了該法中主觀(guān)因素的不確定性，使模型更具有科學(xué)性，作出了出版社2006年的分配方案，如下表最優(yōu)分配方案表分社（）書(shū)號(hào)分配量分社（）書(shū)號(hào)分配量1計(jì)算機(jī)類(lèi)556機(jī)械能源類(lèi)382經(jīng)管類(lèi)337化工化學(xué)類(lèi)203數(shù)學(xué)類(lèi)1208地理地質(zhì)類(lèi)204外語(yǔ)類(lèi)1029環(huán)境類(lèi)405兩課類(lèi)72—————————————經(jīng)過(guò)對(duì)模型的檢驗(yàn)，單從生產(chǎn)計(jì)劃準(zhǔn)確度一項(xiàng)來(lái)看，模型所得出的結(jié)果就比以往的高，這樣就首先保證了出版社獲得年度穩(wěn)定利潤(rùn)的前提，其他幾個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)也都可以得出相似的結(jié)論。以2006年與2005年生產(chǎn)計(jì)劃的準(zhǔn)確度為例，作比較：平均準(zhǔn)確度提高約21%從數(shù)據(jù)的對(duì)比中，我們很容易看出本模型具有較高的有效性和合理性。 本文還借助了統(tǒng)計(jì)分析法詳細(xì)分析了幾種擬合歷年相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的函數(shù)的優(yōu)劣性，最后選取了較好的擬合函數(shù)，從而使得2006年的相關(guān)指標(biāo)預(yù)測(cè)更加可信。 在模型的改進(jìn)和推廣部分，我們又提出了一個(gè)計(jì)算量較小的優(yōu)化模型，在實(shí)際操作中可以先利用該模型從總體上對(duì)書(shū)號(hào)進(jìn)行大致分配，然后進(jìn)行局部調(diào)整，以期取得最優(yōu)的方案，獲取最大的經(jīng)濟(jì)效益。 最后，我們根據(jù)本文模型的所得出的結(jié)論向出版社提供了書(shū)號(hào)資源分配的合理化建議。關(guān)鍵字：書(shū)號(hào)分配 層次分析 整數(shù)規(guī)劃 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)擬合 綜合實(shí)力評(píng)價(jià)一、問(wèn)題重述本題目主要討論如何對(duì)A出版社（以教材類(lèi)出版物為主的出版社）進(jìn)行書(shū)號(hào)的合理分配，從而使出版社的教材產(chǎn)生最好的經(jīng)濟(jì)效益。 已知出版社的主要資源如人力資源、生產(chǎn)資源、資金以及管理資源等都捆綁在書(shū)號(hào)上，它們經(jīng)過(guò)運(yùn)作過(guò)程形成成本和利潤(rùn)。出版社在分配總量有限的書(shū)號(hào)數(shù)的時(shí)候，為了獲得最佳的經(jīng)濟(jì)效益，總社領(lǐng)導(dǎo)每年都要根據(jù)各分社提交的生產(chǎn)計(jì)劃申請(qǐng)書(shū)、人力資源情況以及市場(chǎng)信息分析等幾個(gè)方面作出合理的分配方案。由于在事實(shí)上，每個(gè)分社所提交的需求書(shū)號(hào)總量遠(yuǎn)大于總社的書(shū)號(hào)總量，因此分配書(shū)號(hào)一般按照增加強(qiáng)勢(shì)產(chǎn)品的支持力度的原則進(jìn)行。資源配置完成以后，各分社（分社以學(xué)科劃分）根據(jù)分配到的書(shū)號(hào)數(shù)量，再重新對(duì)學(xué)科各課程作出版規(guī)劃，付諸實(shí)施。 在實(shí)際情況當(dāng)中，市場(chǎng)信息（主要是需求與競(jìng)爭(zhēng)力）通常是不完全的，試根據(jù)該出版社所掌握的一些數(shù)據(jù)資料，在信息不足條件下，利用數(shù)學(xué)建模的方法，提出以量化分析為基礎(chǔ)的書(shū)號(hào)配置方法，給出明確的分配方案，以此向出版社提供有益的建議。二、模型假設(shè)（1） 每年的問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果都是有效的，即調(diào)查對(duì)象都是如實(shí)作答，這就保證了所搜集信息的可靠性，事實(shí)上，這一點(diǎn)使很容易滿(mǎn)足的，對(duì)于這類(lèi)關(guān)系切身利益的調(diào)查（因?yàn)樽x者都希望獲得更好的教材），同學(xué)們一般都會(huì)積極相應(yīng)的；（2） 當(dāng)各分社需求書(shū)號(hào)總量大于總社書(shū)號(hào)總量時(shí)，總社會(huì)按照增加強(qiáng)勢(shì)產(chǎn)品支持力度的原則來(lái)進(jìn)行書(shū)號(hào)資源的配置，這是很符合常理的，因?yàn)閺?qiáng)勢(shì)產(chǎn)品擁有更大的市場(chǎng)份額、更高的讀者滿(mǎn)意度以及更多的收益等，所以分配書(shū)號(hào)應(yīng)優(yōu)先考慮強(qiáng)勢(shì)產(chǎn)品；（3） 不考慮各分社的人力資源的調(diào)整，而僅以平均人力資源數(shù)作為評(píng)價(jià)分社生產(chǎn)能力的尺度，這樣可以適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化模型的復(fù)雜度；（4） 與題目相一致，我們假定同一種課程的不同書(shū)目?jī)r(jià)格差別不大，同時(shí)銷(xiāo)售量也相近，這樣就可以獲得每一中課程的均價(jià)。（5） 讀者認(rèn)為教材評(píng)價(jià)的四個(gè)指標(biāo)（教材內(nèi)容，作者權(quán)威，印刷及排版質(zhì)量，教材價(jià)格）同等重要，不同讀者可能會(huì)對(duì)四個(gè)指標(biāo)的側(cè)重程度不一樣，但是由于調(diào)查的數(shù)據(jù)量很大，整體平均起來(lái)，這種偏愛(ài)差異便會(huì)消除了，這樣我們就可認(rèn)為這四個(gè)指標(biāo)是同等重要的，讀者對(duì)某本書(shū)的整體評(píng)價(jià)就可以等于對(duì)不同指標(biāo)評(píng)價(jià)的平均值，這從一定程度上簡(jiǎn)化了建模的難度和復(fù)雜度。（6） 在模型中，我們假設(shè)市場(chǎng)占有率信息的獲得完全來(lái)自調(diào)查數(shù)據(jù)，這是與實(shí)際相符的，因?yàn)槲覀冊(cè)诳疾炷撤N商品的市場(chǎng)占有率時(shí)不可能調(diào)查整個(gè)市場(chǎng)的情況，所以只能從有限的市場(chǎng)調(diào)查數(shù)據(jù)中來(lái)獲取，另外其他類(lèi)學(xué)科的統(tǒng)計(jì)信息對(duì)整個(gè)市場(chǎng)的影響很微小，所以我們可以將其忽略，以減少分析的復(fù)雜度。三、符號(hào)說(shuō)明 2006年A出版社所擁有的待分配書(shū)號(hào)的數(shù)量 分社編號(hào)，其中（數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9分別表示下列類(lèi)別的分社：計(jì)算機(jī)類(lèi)，經(jīng)管類(lèi)，數(shù)學(xué)類(lèi)，外語(yǔ)類(lèi)，兩課類(lèi)，機(jī)械能源類(lèi)，化學(xué)化工類(lèi)，地理地質(zhì)類(lèi)，環(huán)境類(lèi)） 分社所獲得的書(shū)號(hào)數(shù)量 分社每年所提交計(jì)劃的準(zhǔn)確度 分社每年所提交計(jì)劃的可信度 分社在讀者心中的滿(mǎn)意程度，簡(jiǎn)稱(chēng)滿(mǎn)意度，反映讀者總體對(duì) 分社所出教材的滿(mǎn)意程度。 第年第個(gè)分社年利潤(rùn) 第年A出版社的年收益指數(shù) 第門(mén)課程年平均收益的均值 第門(mén)課程年平均收益的方差 教材使用者對(duì)第門(mén)課程教材滿(mǎn)意度的均值 教材使用者對(duì)第門(mén)課程教材滿(mǎn)意度的方差 分社每年實(shí)際總銷(xiāo)售量與計(jì)劃總銷(xiāo)售量比值的均值 分社每年實(shí)際總銷(xiāo)售量與計(jì)劃總銷(xiāo)售量比值的方差 讀者對(duì)第分社第門(mén)課程的滿(mǎn)意度均值 讀者對(duì)第分社第門(mén)課程滿(mǎn)意度的方差 第個(gè)分社申請(qǐng)書(shū)號(hào)的數(shù)量 第年分社在其出版類(lèi)別中的市場(chǎng)占有率 教材的利潤(rùn)率（在本題中為常量） ， 第年分社的年利潤(rùn)指數(shù) 第年A出版社的年利潤(rùn)指數(shù) ，其中， 第年分社的第門(mén)課程的實(shí)際銷(xiāo)售量，為分社所擁有的課程數(shù)目 ，分社的第門(mén)課程教材的平均售價(jià)，其中為分社所擁有的課程數(shù)目 分社的年最大工作量，即分社一年中所能夠處理的最大書(shū)號(hào)數(shù) 表示第三層（方案層）對(duì)于第二層（準(zhǔn)則層）中的準(zhǔn)則中社指標(biāo)與社指標(biāo)的的比值四、問(wèn)題分析 根據(jù)題目可知，我們需要在信息不足的條件下，建立有效的模型，給出有限資源配置的合理方法，使出版社獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益。由于題目中所給的數(shù)據(jù)量很大，條目繁多，這就需要我們通過(guò)建立合理的量化指標(biāo)來(lái)進(jìn)行深入分析。問(wèn)題關(guān)鍵為了實(shí)現(xiàn)獲得最大收益的目的，同時(shí)兼顧出版社的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，在分配書(shū)號(hào)的時(shí)候，我們應(yīng)該從評(píng)價(jià)各分社綜合實(shí)力的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行研究。這樣既可以滿(mǎn)足從整體上對(duì)各種因素的綜合考慮，又能夠體現(xiàn)增強(qiáng)強(qiáng)勢(shì)產(chǎn)品的支持力度原則。定性描述解決問(wèn)題的原則我們建立模型的總體思路是，首先可以通過(guò)層次分析法（The Analytic Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱(chēng)AHP）確定各分社在2006年的綜合實(shí)力排序，然后根據(jù)排序結(jié)果，結(jié)合題目的各項(xiàng)約束條件，如有限書(shū)號(hào)資源及人力資源等，利用整數(shù)規(guī)劃方法求出分配給各分社的具體書(shū)號(hào)數(shù)。最后，在模型的檢驗(yàn)部分，利用歷年的相關(guān)數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?，并且將其推廣到其他類(lèi)似的應(yīng)用領(lǐng)域。具體建模步驟及量化的手段首先，我們要解決的是如何建立評(píng)定綜合實(shí)力的量化指標(biāo)。分析題目，我們可以知道影響各分社綜合實(shí)力的因素主要有以下五個(gè)因素：（1） 生產(chǎn)計(jì)劃的準(zhǔn)確度。生產(chǎn)計(jì)劃的準(zhǔn)確度決定各分社實(shí)現(xiàn)計(jì)劃銷(xiāo)售量的能力，也是總社考慮分配書(shū)號(hào)的因素之一，所以說(shuō)，如何量化生產(chǎn)計(jì)劃的準(zhǔn)確度是建立量化指標(biāo)的重要組成部分。（2） 人力資源的約束。由于各分社的人力資源數(shù)量不一樣，所以在進(jìn)行書(shū)號(hào)分配時(shí)，我們還要考慮各分社人力資源的限制，即總社分配給某分社的書(shū)號(hào)數(shù)不應(yīng)超過(guò)該社所能完成的最大的書(shū)號(hào)數(shù)量。（3） 讀者對(duì)各分社的滿(mǎn)意度。滿(mǎn)意度直接影響著出版社的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，所以也要作為一個(gè)衡量各分社綜合實(shí)力的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于滿(mǎn)意度的量化，由于調(diào)查問(wèn)卷時(shí)是按照數(shù)值五分制（1表示不好，2表示勉強(qiáng)可以，3表示一般，4表示較好，5表示非常好）來(lái)對(duì)滿(mǎn)意度評(píng)價(jià)，所以我們可以直接將讀者對(duì)教材各項(xiàng)打分的平均值作為他對(duì)該教材的滿(mǎn)意度，這一點(diǎn)由假設(shè)（5）可知。（4） 市場(chǎng)占有率。依據(jù)附錄2中的數(shù)據(jù)，我們知道在整個(gè)教材市場(chǎng)中，A出版社的發(fā)行量占有額只是市場(chǎng)的一部分，也就是說(shuō)每個(gè)分社所出的教材都有一定的市場(chǎng)占有率，當(dāng)分析某個(gè)分社的綜合實(shí)力時(shí)，市場(chǎng)占有率也需要考慮，因?yàn)樵谄渌麠l件相同的情況下，市場(chǎng)占有率的高低理所應(yīng)當(dāng)該是出版社考慮的首要問(wèn)題。（5） 利潤(rùn)多少。根據(jù)題意可知，利潤(rùn)是A出版社最為關(guān)心的問(wèn)題，我們建立模型的一大制約因素也就是如何提高出版社收益的問(wèn)題，一切問(wèn)題都應(yīng)該圍繞這個(gè)中心，可以說(shuō)利潤(rùn)應(yīng)該是評(píng)價(jià)分社綜合實(shí)力的首要指標(biāo)。通過(guò)對(duì)影響各分社綜合實(shí)力的因素的分析，我們知道了組成評(píng)價(jià)綜合實(shí)力的幾個(gè)指標(biāo)。這樣，如何合理量化以上這五個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)就成了我們需要解決的問(wèn)題。由于各分社每一年的各項(xiàng)數(shù)據(jù)都有不同的變化，所以應(yīng)該考慮利用均值和方差來(lái)量化各分社的每項(xiàng)指標(biāo)。對(duì)于各分社生產(chǎn)計(jì)劃的準(zhǔn)確度，因?yàn)檫@一指標(biāo)較其他指標(biāo)更加具有隨機(jī)性，所以不僅要考慮均值的大小，還要考慮每年準(zhǔn)確度的分布狀況，即方差的大小，因而需要建立一個(gè)能夠較好反映計(jì)劃準(zhǔn)確度的量化指標(biāo)。相比之下，其他指標(biāo)（滿(mǎn)意度、市場(chǎng)占有率以及利潤(rùn)多少）通常每年都是會(huì)有較大變化的，而且應(yīng)該呈現(xiàn)某種發(fā)展趨勢(shì)，也就是說(shuō)它們每年的變化應(yīng)該有規(guī)律性，比如表現(xiàn)出滿(mǎn)意度提高或降低，市場(chǎng)占有率增加或減少等等狀態(tài)，這樣就可以考慮對(duì)這幾項(xiàng)指標(biāo)的歷年數(shù)據(jù)進(jìn)行有效擬合，作出指標(biāo)走勢(shì)圖像并觀(guān)察它們的變化，進(jìn)而利用合適的擬合函數(shù)求出2006年的各項(xiàng)指標(biāo)預(yù)測(cè)值，并以此為基礎(chǔ)，利用層次分析法分析出2006年各分社的預(yù)測(cè)綜合實(shí)力排名（這種預(yù)測(cè)排名對(duì)2006年的書(shū)號(hào)分配起著至關(guān)重要的指導(dǎo)作用，也就是說(shuō)這樣做是合理的）。在實(shí)際模型建立的過(guò)程中，我們只把因素（1）、（3）、（4）以及（5）作為對(duì)各分社綜合實(shí)力的評(píng)價(jià)指標(biāo)，而將因素（2）作為第二步（求整數(shù)規(guī)劃）的約束條件，這是因?yàn)楦魃绲娜肆Y源都是固定的，對(duì)層次分析時(shí)建立的偏愛(ài)程度并無(wú)直接影響，而且它們每年的生產(chǎn)能力的限制也都是確定的，另外這樣也可以減輕建模的復(fù)雜度。另外，模型的建立還要考慮各種約束條件，根據(jù)建模的總體思路，我們可將它們作為整數(shù)線(xiàn)性規(guī)劃的約束條件，從而使用方便的軟件工具Lingo求出結(jié)果。分析題目，可知約束條件主要有以下兩個(gè)：（1）各分社書(shū)號(hào)的最少分配數(shù)。根據(jù)題意，總社還要考慮各分社工作上的連續(xù)性以及對(duì)各分社生產(chǎn)計(jì)劃一定程度的認(rèn)可，由此分配書(shū)號(hào)不應(yīng)該少于各社申請(qǐng)書(shū)號(hào)的一半，即應(yīng)該有不等式 （1）成立。 （2）各分社獲得書(shū)號(hào)的總數(shù)應(yīng)該與出版社擁有的書(shū)號(hào)總量相等，即 （2） 實(shí)際建模中，將影響綜合指標(biāo)的因素（2）人力資源作為約束條件（3）加入線(xiàn)性規(guī)劃模型，即 （3）通過(guò)以上的詳細(xì)分析，我們確定出了層次分析法的各項(xiàng)準(zhǔn)則，以及各項(xiàng)準(zhǔn)則的量化思想，從而根據(jù)各分社綜合實(shí)力的排序結(jié)果建立合理的目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)結(jié)合前面的幾個(gè)約束條件確定出整數(shù)規(guī)劃模型的框架。這樣通過(guò)兩種數(shù)學(xué)模型的結(jié)合，就可以確定出合理的書(shū)號(hào)優(yōu)化配置方案，較好地滿(mǎn)足題目地要求。最后，還要對(duì)該模型進(jìn)行檢驗(yàn)，分析出模型的可靠性以及探討對(duì)其進(jìn)一步改進(jìn)的方法。 五、模型建立根據(jù)上面對(duì)問(wèn)題的分析，我們分三步建立優(yōu)化分配書(shū)號(hào)的模型。（1）量