【正文】 2006高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：41A題:出版社的資源配置摘 要本文根據(jù)題目的要求建立了合理的有限資源分配優(yōu)化模型，我們借助多種數(shù)學軟件的優(yōu)勢挖掘出大量數(shù)據(jù)潛在的信息，并將其合理運用，在此基礎上，以利潤最大為目標，長遠發(fā)展為原則，制定出信息不足條件下的量化綜合評價體系，并為出版社在2006年如何合理有效地分配有限的書號資源提供了最佳的分配方案。在本文所建立的模型中，我們采取了層次分析法（AHP）、數(shù)據(jù)統(tǒng)計擬合以及整數(shù)線性規(guī)劃相結合的手段，這樣既借鑒了層次分析法綜合評價的優(yōu)勢，又克服了該法中主觀因素的不確定性，使模型更具有科學性，作出了出版社2006年的分配方案，如下表最優(yōu)分配方案表分社（）書號分配量分社（）書號分配量1計算機類556機械能源類382經(jīng)管類337化工化學類203數(shù)學類1208地理地質類204外語類1029環(huán)境類405兩課類72—————————————經(jīng)過對模型的檢驗，單從生產(chǎn)計劃準確度一項來看，模型所得出的結果就比以往的高，這樣就首先保證了出版社獲得年度穩(wěn)定利潤的前提，其他幾個評價指標也都可以得出相似的結論。以2006年與2005年生產(chǎn)計劃的準確度為例，作比較：平均準確度提高約21%從數(shù)據(jù)的對比中，我們很容易看出本模型具有較高的有效性和合理性。 本文還借助了統(tǒng)計分析法詳細分析了幾種擬合歷年相關統(tǒng)計數(shù)據(jù)的函數(shù)的優(yōu)劣性，最后選取了較好的擬合函數(shù)，從而使得2006年的相關指標預測更加可信。 在模型的改進和推廣部分，我們又提出了一個計算量較小的優(yōu)化模型，在實際操作中可以先利用該模型從總體上對書號進行大致分配，然后進行局部調整，以期取得最優(yōu)的方案，獲取最大的經(jīng)濟效益。 最后，我們根據(jù)本文模型的所得出的結論向出版社提供了書號資源分配的合理化建議。關鍵字：書號分配 層次分析 整數(shù)規(guī)劃 數(shù)據(jù)統(tǒng)計擬合 綜合實力評價一、問題重述本題目主要討論如何對A出版社（以教材類出版物為主的出版社）進行書號的合理分配，從而使出版社的教材產(chǎn)生最好的經(jīng)濟效益。 已知出版社的主要資源如人力資源、生產(chǎn)資源、資金以及管理資源等都捆綁在書號上，它們經(jīng)過運作過程形成成本和利潤。出版社在分配總量有限的書號數(shù)的時候，為了獲得最佳的經(jīng)濟效益，總社領導每年都要根據(jù)各分社提交的生產(chǎn)計劃申請書、人力資源情況以及市場信息分析等幾個方面作出合理的分配方案。由于在事實上，每個分社所提交的需求書號總量遠大于總社的書號總量，因此分配書號一般按照增加強勢產(chǎn)品的支持力度的原則進行。資源配置完成以后，各分社（分社以學科劃分）根據(jù)分配到的書號數(shù)量，再重新對學科各課程作出版規(guī)劃，付諸實施。 在實際情況當中，市場信息（主要是需求與競爭力）通常是不完全的，試根據(jù)該出版社所掌握的一些數(shù)據(jù)資料，在信息不足條件下，利用數(shù)學建模的方法，提出以量化分析為基礎的書號配置方法，給出明確的分配方案，以此向出版社提供有益的建議。二、模型假設（1） 每年的問卷調查結果都是有效的，即調查對象都是如實作答，這就保證了所搜集信息的可靠性，事實上，這一點使很容易滿足的，對于這類關系切身利益的調查（因為讀者都希望獲得更好的教材），同學們一般都會積極相應的；（2） 當各分社需求書號總量大于總社書號總量時，總社會按照增加強勢產(chǎn)品支持力度的原則來進行書號資源的配置，這是很符合常理的，因為強勢產(chǎn)品擁有更大的市場份額、更高的讀者滿意度以及更多的收益等，所以分配書號應優(yōu)先考慮強勢產(chǎn)品；（3） 不考慮各分社的人力資源的調整，而僅以平均人力資源數(shù)作為評價分社生產(chǎn)能力的尺度，這樣可以適當?shù)睾喕Ｐ偷膹碗s度；（4） 與題目相一致，我們假定同一種課程的不同書目價格差別不大，同時銷售量也相近，這樣就可以獲得每一中課程的均價。（5） 讀者認為教材評價的四個指標（教材內(nèi)容，作者權威，印刷及排版質量，教材價格）同等重要，不同讀者可能會對四個指標的側重程度不一樣，但是由于調查的數(shù)據(jù)量很大，整體平均起來，這種偏愛差異便會消除了，這樣我們就可認為這四個指標是同等重要的，讀者對某本書的整體評價就可以等于對不同指標評價的平均值，這從一定程度上簡化了建模的難度和復雜度。（6） 在模型中，我們假設市場占有率信息的獲得完全來自調查數(shù)據(jù)，這是與實際相符的，因為我們在考察某種商品的市場占有率時不可能調查整個市場的情況，所以只能從有限的市場調查數(shù)據(jù)中來獲取，另外其他類學科的統(tǒng)計信息對整個市場的影響很微小，所以我們可以將其忽略，以減少分析的復雜度。三、符號說明 2006年A出版社所擁有的待分配書號的數(shù)量 分社編號，其中（數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9分別表示下列類別的分社：計算機類，經(jīng)管類，數(shù)學類，外語類，兩課類，機械能源類，化學化工類，地理地質類，環(huán)境類） 分社所獲得的書號數(shù)量 分社每年所提交計劃的準確度 分社每年所提交計劃的可信度 分社在讀者心中的滿意程度，簡稱滿意度，反映讀者總體對 分社所出教材的滿意程度。 第年第個分社年利潤 第年A出版社的年收益指數(shù) 第門課程年平均收益的均值 第門課程年平均收益的方差 教材使用者對第門課程教材滿意度的均值 教材使用者對第門課程教材滿意度的方差 分社每年實際總銷售量與計劃總銷售量比值的均值 分社每年實際總銷售量與計劃總銷售量比值的方差 讀者對第分社第門課程的滿意度均值 讀者對第分社第門課程滿意度的方差 第個分社申請書號的數(shù)量 第年分社在其出版類別中的市場占有率 教材的利潤率（在本題中為常量） ， 第年分社的年利潤指數(shù) 第年A出版社的年利潤指數(shù) ，其中， 第年分社的第門課程的實際銷售量，為分社所擁有的課程數(shù)目 ，分社的第門課程教材的平均售價，其中為分社所擁有的課程數(shù)目 分社的年最大工作量，即分社一年中所能夠處理的最大書號數(shù) 表示第三層（方案層）對于第二層（準則層）中的準則中社指標與社指標的的比值四、問題分析 根據(jù)題目可知，我們需要在信息不足的條件下，建立有效的模型，給出有限資源配置的合理方法，使出版社獲得最好的經(jīng)濟效益。由于題目中所給的數(shù)據(jù)量很大，條目繁多，這就需要我們通過建立合理的量化指標來進行深入分析。問題關鍵為了實現(xiàn)獲得最大收益的目的，同時兼顧出版社的長遠發(fā)展，在分配書號的時候，我們應該從評價各分社綜合實力的角度對問題進行研究。這樣既可以滿足從整體上對各種因素的綜合考慮，又能夠體現(xiàn)增強強勢產(chǎn)品的支持力度原則。定性描述解決問題的原則我們建立模型的總體思路是，首先可以通過層次分析法（The Analytic Hierarchy Process，簡稱AHP）確定各分社在2006年的綜合實力排序，然后根據(jù)排序結果，結合題目的各項約束條件，如有限書號資源及人力資源等，利用整數(shù)規(guī)劃方法求出分配給各分社的具體書號數(shù)。最后，在模型的檢驗部分，利用歷年的相關數(shù)據(jù)來檢驗模型的合理性，并且將其推廣到其他類似的應用領域。具體建模步驟及量化的手段首先，我們要解決的是如何建立評定綜合實力的量化指標。分析題目，我們可以知道影響各分社綜合實力的因素主要有以下五個因素：（1） 生產(chǎn)計劃的準確度。生產(chǎn)計劃的準確度決定各分社實現(xiàn)計劃銷售量的能力，也是總社考慮分配書號的因素之一，所以說，如何量化生產(chǎn)計劃的準確度是建立量化指標的重要組成部分。（2） 人力資源的約束。由于各分社的人力資源數(shù)量不一樣，所以在進行書號分配時，我們還要考慮各分社人力資源的限制，即總社分配給某分社的書號數(shù)不應超過該社所能完成的最大的書號數(shù)量。（3） 讀者對各分社的滿意度。滿意度直接影響著出版社的長遠發(fā)展，所以也要作為一個衡量各分社綜合實力的標準。對于滿意度的量化，由于調查問卷時是按照數(shù)值五分制（1表示不好，2表示勉強可以，3表示一般，4表示較好，5表示非常好）來對滿意度評價，所以我們可以直接將讀者對教材各項打分的平均值作為他對該教材的滿意度，這一點由假設（5）可知。（4） 市場占有率。依據(jù)附錄2中的數(shù)據(jù)，我們知道在整個教材市場中，A出版社的發(fā)行量占有額只是市場的一部分，也就是說每個分社所出的教材都有一定的市場占有率，當分析某個分社的綜合實力時，市場占有率也需要考慮，因為在其他條件相同的情況下，市場占有率的高低理所應當該是出版社考慮的首要問題。（5） 利潤多少。根據(jù)題意可知，利潤是A出版社最為關心的問題，我們建立模型的一大制約因素也就是如何提高出版社收益的問題，一切問題都應該圍繞這個中心，可以說利潤應該是評價分社綜合實力的首要指標。通過對影響各分社綜合實力的因素的分析，我們知道了組成評價綜合實力的幾個指標。這樣，如何合理量化以上這五個評價指標就成了我們需要解決的問題。由于各分社每一年的各項數(shù)據(jù)都有不同的變化，所以應該考慮利用均值和方差來量化各分社的每項指標。對于各分社生產(chǎn)計劃的準確度，因為這一指標較其他指標更加具有隨機性，所以不僅要考慮均值的大小，還要考慮每年準確度的分布狀況，即方差的大小，因而需要建立一個能夠較好反映計劃準確度的量化指標。相比之下，其他指標（滿意度、市場占有率以及利潤多少）通常每年都是會有較大變化的，而且應該呈現(xiàn)某種發(fā)展趨勢，也就是說它們每年的變化應該有規(guī)律性，比如表現(xiàn)出滿意度提高或降低，市場占有率增加或減少等等狀態(tài)，這樣就可以考慮對這幾項指標的歷年數(shù)據(jù)進行有效擬合，作出指標走勢圖像并觀察它們的變化，進而利用合適的擬合函數(shù)求出2006年的各項指標預測值，并以此為基礎，利用層次分析法分析出2006年各分社的預測綜合實力排名（這種預測排名對2006年的書號分配起著至關重要的指導作用，也就是說這樣做是合理的）。在實際模型建立的過程中，我們只把因素（1）、（3）、（4）以及（5）作為對各分社綜合實力的評價指標，而將因素（2）作為第二步（求整數(shù)規(guī)劃）的約束條件，這是因為各社的人力資源都是固定的，對層次分析時建立的偏愛程度并無直接影響，而且它們每年的生產(chǎn)能力的限制也都是確定的，另外這樣也可以減輕建模的復雜度。另外，模型的建立還要考慮各種約束條件，根據(jù)建模的總體思路，我們可將它們作為整數(shù)線性規(guī)劃的約束條件，從而使用方便的軟件工具Lingo求出結果。分析題目，可知約束條件主要有以下兩個：（1）各分社書號的最少分配數(shù)。根據(jù)題意，總社還要考慮各分社工作上的連續(xù)性以及對各分社生產(chǎn)計劃一定程度的認可，由此分配書號不應該少于各社申請書號的一半，即應該有不等式 （1）成立。 （2）各分社獲得書號的總數(shù)應該與出版社擁有的書號總量相等，即 （2） 實際建模中，將影響綜合指標的因素（2）人力資源作為約束條件（3）加入線性規(guī)劃模型，即 （3）通過以上的詳細分析，我們確定出了層次分析法的各項準則，以及各項準則的量化思想，從而根據(jù)各分社綜合實力的排序結果建立合理的目標函數(shù)，通過結合前面的幾個約束條件確定出整數(shù)規(guī)劃模型的框架。這樣通過兩種數(shù)學模型的結合，就可以確定出合理的書號優(yōu)化配置方案，較好地滿足題目地要求。最后，還要對該模型進行檢驗，分析出模型的可靠性以及探討對其進一步改進的方法。 五、模型建立根據(jù)上面對問題的分析，我們分三步建立優(yōu)化分配書號的模型。（1）量