【正文】 1 概率與統(tǒng)計 【知識要點】 1 數(shù)據(jù)的收集與處理 ⑴ 通過調(diào)查收集數(shù)據(jù)的過程一般有下列六步：明確調(diào)查問題、確定調(diào)查對象、選擇調(diào)查方法、展開調(diào)查、記錄結(jié)果、得出結(jié)論． ⑵ 條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖是三種最常用的統(tǒng)計圖．這三種統(tǒng)計圖各具特點：條形統(tǒng)計圖可以直觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量特征；折線統(tǒng)計圖可以直觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量變化規(guī)律；扇形統(tǒng)計圖可以直觀地反映出各部分?jǐn)?shù)量在總量中所占的份額． ⑶ 我們把所要考察的對象的全體叫做總體，把組成總體的每一個考察對象叫做個體．從總體中取出的一部分個體叫做總體的一個樣本． 樣本中包含的個體的個數(shù)叫做樣本容量． ⑷ 普查是通過調(diào)查總體的方式來收集數(shù)據(jù)的，抽樣調(diào)查是通過調(diào)查樣本方式來收集數(shù)據(jù)的． ⑸ 用抽簽的辦法決定哪些個體進(jìn)入樣本．統(tǒng)計學(xué)家們稱這種理想的抽樣方法為簡單的隨機(jī)抽樣． ⑹ 在記錄實驗數(shù)據(jù)時，每個對象出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù)．每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值 (或者百分比 )稱為頻率． ⑺ 繪制頻數(shù)分布直方圖的步驟是： ① 計算最大值與最小值的差； ② 決定組距和組數(shù)； ③ 決定分點； ④ 畫頻數(shù)分布表； ⑤ 畫出頻數(shù)分布直方圖． 2 數(shù)據(jù)的代表 ⑻ 在一組數(shù)據(jù)中，用數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)就得到這組數(shù) 據(jù)的平均數(shù)． ⑼ 將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，位于正中間位置的數(shù)（或正中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． ⑽ 在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． ⑾ 在一組數(shù)據(jù)中，各個數(shù)在總結(jié)果中所占的百分比稱為這個數(shù)的權(quán)重，每個數(shù)乘以它相應(yīng)的權(quán)重后所得的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)． ⑿ 一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得差稱為極差． ⒀ 方差：我們可以用 “先平均，再求差，然后平方，最后再平均 ”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況 ， 這個結(jié)果通常稱為方差 ． 計算方差公式：設(shè)一組數(shù)據(jù)是 是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù) .則這組數(shù)據(jù)的方差是： ⒁ 標(biāo)準(zhǔn)差：一組數(shù)據(jù)的方差的算 術(shù)平方根，叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差 ． 用公式可表示為： 3 可能性與概率 ⒂ 那些無需通過實驗就能夠預(yù)先確定他們在每一次實驗中都一定會發(fā)生的事件稱為必然事件 ． 那些在每一次實驗中都一定不會發(fā)生的事件稱為不可 能事件 ． 必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件 ． ⒃ 無法預(yù)先確定在一次實驗中會不會發(fā)生的事件稱為不確定事件或隨機(jī)事件 ． ⒄ 表示一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)，叫做該事件的概率 ． ⒅ 概率的理論計算有 ： ① 樹狀圖； ② 列表法 ． 4 知識脈絡(luò)圖 考點 1..頻數(shù)和頻率： 例 1． （ 2022 湖南衡陽） 從 n 個蘋果和 3 個雪梨中，任選 1 個，若選中蘋果的概率是 12，則 n 的值是 （） A． 6 B． 3 C． 2 D． 1 2 例 2．（ 2022 廣西梧州） 為了估計水塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者首先從魚塘中捕獲 30 條魚，在每條魚身上 做好記號后，把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈 200 條魚，如果在這 200 條魚中有 5 條魚是有記號的，則魚塘中魚的可估計為（ ） A． 3000 條 B． 2200 條 C． 1200 條 D． 600 條 【 舉一反三 】 1． （ 2022 年山西） 在一個不透明的袋中，裝有若干個除顏色不同外其余都相同的球，如果袋中有 3 個紅球且摸到紅球的概率為 41 ，那么袋中球的總個數(shù)為 （ ） A． 15 個 B． 12 個 C． 9 個 D． 3 個 2． （ 2022 遼寧本溪） 一個不透明的布 袋中，裝有紅、黃、白三種只有顏色不同的小球，其中紅色小球有 8 個，黃、白色小球的數(shù)目相 .為估計袋中黃色小球的數(shù)目，每次將袋中小球攪勻后摸出一個小球記下顏色，再次攪勻 …… 多次試驗發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率是 16，則估計黃色小球的數(shù)目是（ ） A． 2 個 B． 20 個 C． 40 個 D． 48 個 3．（ 2022 山東德州） 為了了解某校九年級學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽查了其中 50 名學(xué)生，測試 1 分鐘仰臥起坐的成績（次數(shù)），進(jìn)行整理后繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖（ 注： 15~20 包括 15，不包括 20，以下同 ），請根據(jù)統(tǒng)計圖計算成績在 20~30 次的頻率是（ A） （ B） （ C） （ D） 4.（ 2022 年臺灣?。?自連續(xù)正整數(shù) 10~99 中選出一個數(shù)，其中每個數(shù)被選出的機(jī)會相等。求選出的數(shù)其十位數(shù)字與個位數(shù)字的和為 9的機(jī)率為何？ (A) 908 (B) 909 (C) 898 (D) 899 考點 2. 統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖 ： 例 3 【 2022 泰州 】 春蘭集團(tuán)對應(yīng)聘者甲、乙、丙進(jìn)行面試，并從專業(yè)知識、工作經(jīng)驗、儀表形象三方面給應(yīng)聘者打分，每一方面滿分 20 分，最后的打分制成條形統(tǒng)計圖 ． （ 1）利用圖中提供的信息，在專業(yè)知識方面 3 人得分的極差是多少？在工作經(jīng)驗方面 3 人得分的眾數(shù)是多少？在儀表形象方面誰最有優(yōu)勢？（ 2）如果專業(yè)知識、工作經(jīng)驗、儀表形象三個方面的重要性之比為 10∶ 7∶ 3，那么作為人事主管，你應(yīng)該錄用哪一位應(yīng)聘者？為什么？ （ 3）在（ 2）的條件下，你對落聘者有何建議？ 【 舉一反三 】 （ 2022 年巴中市） 國家主管部門規(guī)定：從 2022 年 6 月 1 日起，各商家禁止向消費(fèi)者免費(fèi)提供一次性塑料購物袋．為了了解巴中市市民對此規(guī)定的看法，對本市年齡在 16—65 歲之間的居民，進(jìn)行了 400 個隨機(jī)訪問抽樣調(diào)查，并根據(jù)每個年齡段的抽查人數(shù)和該年齡段對此規(guī)定的支持人數(shù)繪制了下面的統(tǒng)計圖． 根據(jù)上圖提供的信息回答下列問題： （ 1）被調(diào)查的居民中，人數(shù)最多的年齡段是 歲． （ 2）已知被調(diào)查的 400 人中有 83% 的人對此規(guī)定表示支持，請你求出 31—40 歲年齡段的滿意人數(shù)，并補(bǔ)全圖 b ． 012345678910111213141516171819專業(yè)知識 工作經(jīng)驗 儀表形象甲 乙 丙 甲 乙 丙 甲 乙 丙 0 15 20 25 30 35 次數(shù) 人數(shù) 20 15 10 5 第 3 題圖 3 （ 3）比較 21—30 歲和 41—50 歲這兩個年齡段對此規(guī)定的支持率的高低（四舍五入到 1% ，注：某年齡段的支持率100??該 年 齡 段 支 持 人 數(shù)該 年 齡 段 被 調(diào) 查 人 數(shù) %）． 考點 3. 數(shù)據(jù)的收集： 例 6． （ 2022 重慶） 下列調(diào)查中，適宜采用全面調(diào)查（普查）方式的是 （ ） A． 對全國中學(xué)生心理健康現(xiàn)狀的調(diào)查 B．對市場上的冰淇林質(zhì) 量的 調(diào)查 C． 對我市市民實施低碳生活情況的調(diào)查 D．對我國首架大型民用直升機(jī)各零部件的檢查 例 7． （ 2022 四川廣安） 下列說法正確的是 A．為了解全省中學(xué)生的心理健康狀況，宜采用普查方式 B．某彩票設(shè) “中獎概率為 1100”，購買 100 張彩票就 —定會中獎一次 C．某地會發(fā)生地震是必然事件 D．若甲組數(shù)據(jù)的方差 2 ?甲 ，乙組數(shù)據(jù)的方差 2 ?乙 ，則甲組數(shù)據(jù)比乙組穩(wěn)定 【 舉一反三 】 1（ 2022 福建德化） 下列調(diào)查方式合適的是（ ） A、為了了解市民對電影《南京》的感受，小華在某校隨機(jī)采訪了 8名初三學(xué)生 B、為了了解全校學(xué)生用于做數(shù)學(xué)作業(yè)的時間，小民同學(xué)在網(wǎng)上向 3位好友做了調(diào)查 C、為了了解 “嫦娥一號 ”衛(wèi)星零部件的狀況，檢測人員采用了普查的方式 D、為了了解全國青少年兒童的睡眠時間，統(tǒng)計人員采用了普查的方式 2． （ 2022 貴州貴陽） 下列調(diào)查，適合用普查方式的是 （ A）了解貴陽市居民的年人均消費(fèi) （ B）了解某一天離開貴陽市的人口流量 （ C）了解貴州電 視臺《百姓關(guān)注》欄目的收視率 （ D）了解貴陽市某班學(xué)生對 “創(chuàng)建全國衛(wèi)生城市 ”的知曉率 3． （ 2022 內(nèi)蒙呼和浩特） 下列說法正確的個數(shù)是 （ ） ① 要了解一批燈泡的使用壽命，采用全面調(diào)查的方式 ② 要了解全市居民對環(huán)境的保護(hù)意識，采抽樣調(diào)查的方式 ③ 一個游戲的中獎率是 1%，則做 100 次這這樣的游戲一定會中獎 ④ 若甲組數(shù)據(jù)的方差 ?甲S ，乙組數(shù)據(jù)的方差 ?乙S ，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定 4 （ 2022 年貴陽市） 以下適合普查的是 （ ） （ A）了解一批燈泡的使用壽命 （ B）調(diào)查全國八年級學(xué)生的視力情況 （ C）評價一個班級升學(xué)考試的成績 （ D）了解貴州省的家庭人均收入 考點 、個體、樣本、樣本容量： 例 8． （ 2022 年海淀區(qū)） 某班主任老師想了解本班學(xué)生平均每月有多少零用錢，隨機(jī)抽取了 1 0 名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，他們每 月的零用錢數(shù)目是（單位：元） 10， 20， 20， 30， 20， 30， 10， 10， 50， 100，則該班學(xué)生每月平均零用錢約為（ ） A. 10 元 B. 20 元 C. 30 元 D. 40 元 例 9．【 05 宿遷 】今年我市有 9 萬名初中畢業(yè)生參加升學(xué)考試，為了了解 9 萬名考生的數(shù)學(xué)成績，從中抽取 2022 名考生數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計分析．在這個問題中總體是 A． 9 萬名考生 B． 2022 名考生 C． 9 萬名考生的數(shù)學(xué)成績 D． 2022 名考生的數(shù)學(xué)成績 【 舉一反三 】 1． （ 2022 青海西寧） “建設(shè)大美青海，創(chuàng)建文明城市 ”，西寧市加快了郊區(qū)舊房拆遷的步伐．為了解被拆遷的 236 戶家庭對拆遷補(bǔ)償 4 方案是否滿意，小明利用周末調(diào)查了其中的 50 戶家庭，有 32 戶對方案表示滿意．在這一抽樣調(diào)查中，樣本容量為 ． 2．（ 2022 江蘇徐州） 為了解我市市區(qū)及周邊近 170 萬人的出行情況，科學(xué)規(guī)劃軌道交通， 2022 年 5 月， 400 名調(diào)查者走入 1 萬戶家庭，發(fā)放 3 萬份問卷，進(jìn)行調(diào)查登記．該調(diào)查中的樣本容量是 A． 170 萬 B． 400 C． 1 萬 D． 3 萬 3． （ 2022 四川樂山） 某廠生產(chǎn)上第世博會吉祥物： “海寶 ”紀(jì)念章 10 萬個，質(zhì)檢部門為檢測這批紀(jì)念章質(zhì)量的合格情況，從中隨機(jī)抽查 500 個，合格 499 個。下列說法正確的是（ ） （ A）總體是 10 萬個紀(jì)念章的合格情況，樣本是 500 個紀(jì)念章的合格情況 （ B）總體是 10 萬個紀(jì)念章的合格情況，樣本是 499 個紀(jì)念章的合格情況 （ C）總體是 500 個紀(jì)念章的合格情況，樣本是 500 個紀(jì)念章的合格情況 （ D）總體是 10 萬個紀(jì)念章的合格情況，樣本是 1 個紀(jì)念章的合格情況 考點 5. 平均數(shù)、中位 數(shù)、眾數(shù)： 例 10． 【 05 重慶課改】 劉翔在出征雅典奧運(yùn)會前刻苦進(jìn)行 110 米跨欄訓(xùn)練，教練對他 10 次的訓(xùn)練成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，判斷他的成績是否穩(wěn)定，則教練需要知道劉翔這 10 次成績的 A．眾數(shù) B．方差 C．平均數(shù) D．頻數(shù) 例 11． （ 2022遼寧丹東市） 為了估計某市空氣質(zhì)量情況，某同學(xué)在 30天里做了如下記錄： 污染指數(shù)（ w ） 40 60 80 100 120 140 天數(shù)（天） 3 5 10 6 5 1 其中 w 50時空氣質(zhì)量為優(yōu)， 50≤w ≤100時空氣質(zhì)量為良， 100w ≤150時空氣質(zhì)量為輕度污染，若 1年按 365天計算，請你估計該城市在一年中空氣質(zhì)量達(dá)到良以上（含良）的天數(shù)為 天． 例 12. （ 2022 年長春市） 某商場家電部為了調(diào)動營業(yè)員的工作積極性，決定實行目標(biāo)等級管理。商場家電部統(tǒng)計了每人營業(yè)員在某月的銷售額，數(shù)據(jù)如下：（單位：萬元） 23 17 16 20 32 30 16 15 15 26 15 32 23 17 15 15 28 28 16 21 （ 1）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 _________________萬元；中位數(shù)為 _________________萬元。 （ 2）商場規(guī)定月銷售額達(dá)到或超過 25 萬元為 A 級，低于 19 萬元為 C 級，其他為 B 級，為了使商場負(fù)責(zé) 人對各等級人數(shù)比例情況一目了然，請作出扇形統(tǒng)計圖。 【 舉一反三 】 1． （ 2022 四川眉山） 某班一個小組七名同學(xué)在為地震災(zāi)區(qū) “愛心捐助 ”活動中，捐款數(shù)額分別為 10， 30， 40， 50， 15， 20， 50（單位：元）．這組數(shù)據(jù)的