無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)iir濾波器設(shè)計(jì)(已修改)
2025-01-19 16:26 本頁(yè)面
【正文】 167。 3． 3 從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（原型變換） 對(duì)于模擬濾波器 ,已經(jīng)形成了許多成熟的設(shè)計(jì)方案 ， 如巴特沃茲濾波器 ,切比雪夫?yàn)V波器 ,考爾濾波器 ,每種濾波器都有自己的一套準(zhǔn)確的計(jì)算公式 ， 同時(shí) ， 也已制備了大量歸一化的設(shè)計(jì)表格和曲線 ， 為濾波器的設(shè)計(jì)和計(jì)算提供了許多方便 ， 因此在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中 ， 只要掌握原型變換 ， 就可以通過(guò)歸一化低通原型的參數(shù) ， 去設(shè)計(jì)各種實(shí)際的低通 、 高通 、 帶通或帶阻濾波器 。 這一套成熟 、 有效的設(shè)計(jì)方法 ， 也可通過(guò)前面所討論的各種變換應(yīng)用于數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ， 具體過(guò)程如下： 原型變換 映射變換 原型變換 也可把前兩步合并成一步 ， 直接從模擬低通歸一化原型通過(guò)一定的頻率變換關(guān)系 ， 完成各類數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 模擬原型 模擬低通、高通 帶通、帶阻 數(shù)字低通、高 通帶通、帶阻 下面舉例討論應(yīng)用模擬濾波器低通原型，設(shè)計(jì)各種數(shù)字濾波器的基本原理，著重討論雙線性變換法。 一．低通變換 通過(guò)模擬原型設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的四個(gè)步驟： 1）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率 {ωk}。 2）由變換關(guān)系將 {ωk}映射到模擬域，得出模擬濾波器的 臨界頻率值 {Ωk}。 3）根據(jù) {Ωk}設(shè)計(jì)模擬濾波器的 Ha(s) 4） 把 Ha(s) 變換成 H(z)（數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)） 例 1 設(shè)采樣周期 ,設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲 LP濾波器 ,其 3dB截止頻率 fc=1khz。 分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解 。 解： a. 脈沖響應(yīng)不變法 由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線性的 ， 所以可直接按 Ωc =2πfc設(shè)計(jì) Ha(s)。 根據(jù)上節(jié)的討論 ， 以截止頻率 Ωc 歸一化的三階巴特沃茲 濾波器的傳遞函數(shù)為： 以 代替其歸一化頻率 ， 得： 322211)(ssssHa ????32 )/()/(2)/(211)(ccca ssssH ???????cs ?/)4(2 5 0 k h zfsT s ?? ? 也可以查表得到。由手冊(cè)中查出巴特沃茲多項(xiàng)式的系數(shù)，之后以 代替歸一化頻率，即得 。 將 代入，就完成了模擬濾波器的設(shè)計(jì)，但為簡(jiǎn)化運(yùn)算，減小誤差積累， fc數(shù)值放到數(shù)字濾波變換后代入。 )(sHacc f?2??cs ?/ 為進(jìn)行脈沖響應(yīng)不變法變換，計(jì)算 Ha(S)分母多項(xiàng)式的 根，將上式寫成部分分式結(jié)構(gòu)： 對(duì)照前面學(xué)過(guò)的脈沖響應(yīng)不變法中的部分分式形式有 將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： , 極點(diǎn) 2/)31(3/2/)31(3/)( 6/6/jcsecjcseccscsHa jj???????????????? ? ??6/211 3/。, ?jcc ecAsA ????????2/)31(,3/。2/)31( 36/32 jsecAjs cjc ??????????? ? ??????NiTSiZeAZHi1 11)(iS并將 代入 ， 得： 合并上式后兩項(xiàng) ， 并將 代入 ， 計(jì)算得： 12/)31(6/12/)31(6/1 1)3/(1)3/(1/)(????????? ???????? ZeeTZeeTZeTZHjjcjjcCccc ??????????? ?? Tf cc??????????????? ???? 2111 )(ZZZZTZHTcc /??? 可見(jiàn)， H（ Z）與采樣周期 T有關(guān)， T越小， H（ Z）的相對(duì)增益越大，這是不希望的。為此，實(shí)際應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)稍作一點(diǎn)修改，即求出 H（ Z）后，再乘以因子 T,使 H（ Z）只與 有關(guān)，即只與 fc和 fs的相對(duì)值有關(guān)，而與采樣頻率 fs無(wú)直接關(guān)系。 最后得： 例如， 與 的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù) ,這一結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)。 sc ff /2111 20 55 20 )(???? ??????? zzzzZHC? b. 雙線性變換法 P85例 4 （ 一 ） 首先確定數(shù)字域臨界頻率 （ 二 ） 根據(jù)頻率的非線性關(guān)系 ， 確定預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率 (三 ) 以 代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù) 并將 代入上式 。 （ 四 ） 將雙線性變換關(guān)系代入 ， 求 H(Z)。 ??? ?? Tf ccTtgTcc222 ????????? ?cs ?/32 )/()/(2)/(211)(ccca ssssH ???????Tc /2??311211111121111211211)()(11??????????????????????????????????????????????zzzzzzsHZHzzTsa? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?231112312111121131311131313111113131311212113131312111312122122211111141111111211111211211??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 圖 1 三階 Butterworth 數(shù)字濾波器的頻響 脈沖響應(yīng)不變法 雙線性變換法 fs/2 我們也可以用 MA T L A B 完成設(shè)計(jì)，在 MA T L A B 中相關(guān)的語(yǔ)句有b u t t e r （ 巴特
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