【正文】 ????? )(最小衰減）。（阻帶時的衰減稱為阻帶截止頻率當 ss ?)(???二、巴特沃斯低通濾波器的設計 7 0 )(,)(3 21212 ???????? jHjH aac 時，）當（；處衰減截止頻率，在即 dB3)(dB3)( cA ?????優(yōu)點：幅度特性平坦 ， 相位特性近似為線性相位； 缺點：階次 N一般較大 。 1)(02 ???? jH a時，）當（處無衰減；直流分量即在 )(0??二、巴特沃斯低通濾波器的設計 NH2c2a11|)j(|?????????????以 s替換 jΩ，將幅度平方函數(shù) |Ha(jΩ)|2寫成 s的函數(shù)： NssHsH2caaj11)()(????????????二、巴特沃斯低通濾波器的設計 ? 上式表明幅度平方函數(shù)有 2N個極點，極點 sk用下式表示： )2 1221(j πcc21e)j()1( NkNks???????2N個極點等間隔分布在半徑為 Ωc的圓上 (該圓稱為巴特沃斯圓 )，間隔是 π/N rad。 二、巴特沃斯低通濾波器的設計 ? 設 N=3，極點有 6個，它們分別為： ????31543533421320jccjcjccjcessesesses?????????????二、巴特沃斯低通濾波器的設計 ? 設 N=4，極點有 8個，它們分別為： ??????????????8113892871850jcjcjcjc eseseses二、巴特沃斯低通濾波器的設計 ? 為形成 因果穩(wěn)定 的濾波器， 2N個極點中只取 s平面 左半平面 的 N個極點構成 Ha(s)，而右半平面的 N個極點構成 Ha(－ s)。 ??????10ca)()(NkkNsssHa 1c0 cc1NkksGss????????????????????歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)： 二、巴特沃斯低通濾波器的設計 令 p=s/Ωc，（ p稱為歸一化復變量），則巴特沃斯濾波器的 歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù) 為： ?????10a)(1)(NkkpppG稱為歸一化極點；，式中 kNkk p,N,kp 110 e21221j π??? ?????? ???二、巴特沃斯低通濾波器的設計 a 121 2 1 01()N N NNNGpp b p b p b p b?????? ? ? ? ?得：帶入將 )( pGp ak歸一化原型系統(tǒng)函數(shù) Ga(p)的系數(shù) bk，以及極點 pk，可以由表 。 二、巴特沃斯低通濾波器的設計 表 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 二、巴特沃斯低通濾波器的設計 二、巴特沃斯低通濾波器的設計 cacNsHdBN??和是根據(jù)設計指標求的設計實質上。因而巴特沃斯濾波器便可得到截止頻率和階數(shù)求出巴特沃斯濾波器的)(3的求解和、 cN ?2Nca jH 2211)(?????????????由于22)(l o g10)(l o g10saspapjHjH????????二、巴特沃斯低通濾波器的設計 ?????????????pspsNl o g110110l o g??spNcsNcp??10)(110)(1????????得：階數(shù) N取大于或等于 N的最小整數(shù)。 NscNpcsp2121110110??????????）（或）（得??二、巴特沃斯低通濾波器的設計 低通巴特沃斯濾波器的設計步驟 (1) 根據(jù)技術指標 Ωp、 ?p、 Ωs和 ?s，求出濾波器的階數(shù) N和 Ωc (2) 求出歸一化極點 pk，及歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù) Ga(p)。 (3) 將 Ga(p)去歸一化。將 p=s/Ωc代入 Ga(p)，得到實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù) c|)()(a??? sppGsH二、巴特沃斯低通濾波器的設計 例 已知通帶截止頻率 fp=5 kHz，通帶最大衰減 ? p=2 dB，阻帶截止頻率 fs=12 kHz，阻帶最小衰減 ? s=30 dB，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。 解： (1) 確定階數(shù) N和 Ωc l o g110110l o g??????????????pspsN??取 N=5 二、巴特沃斯低通濾波器的設計 sk r adNpc p / 2?????? ? ?? ）（)()(1)(e ee ee10aπ57j4π56j3j π2π54j1π53j0pGpppGpppppaNkk，即可求出通原型系統(tǒng)函數(shù)再將極點帶入歸一化低，，??????????可得極點為：）根據(jù)（ ?????? ??? Nkkp21221j πe2二、巴特沃斯低通濾波器的設計 或直接 查表 可得極點： － 177。 ， － 177。 , － 歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 式中 , b0=， b1=， b2=， b3=， b4= 012233445a1)(bpbpbpbpbppG??????二、巴特沃斯低通濾波器的設計 (3) 去歸一化 將 p=s/Ωc代入 Ga(p)中 , 得到： 5c04c123c232c34c455ca )( ????????????bsbsbsbsbssH二、巴特沃斯低通濾波器的設計 ? 巴特沃斯模擬濾波器 的 設計總結： ① 上述歸一化公式和表格是相對 3dB 截止頻率 給出的。由指定的技術指標 ，利用上述公式和表格進行設計時，最關鍵的 2個參數(shù)是濾波器的階數(shù) N和 3dB 截止頻率 。 ② N用來求巴特沃思多項式， 用來去歸一化，求實際濾波器的參數(shù)。 c?ssPp ?? , ??c?c?二、巴特沃斯低通濾波器的設計 ? 切比雪夫低通濾波器 切比雪夫低通濾波器 采用 切比雪夫函數(shù) 來逼近給定的指標，該函數(shù)具有 等波紋 特性。它可將指標要求均勻發(fā)布在通帶（或阻帶）內(nèi)，故如此設計出的濾波器階數(shù)較低。 切比雪夫低通濾波器 切比雪夫 Ⅰ 型 切比雪夫 Ⅱ 型 ：通帶等波紋、阻帶單調(diào) ：通帶單調(diào)、阻帶等波紋 巴特沃斯低通濾波器 的缺點是 階次較高 ，原因是它的頻率特性在通帶和阻帶內(nèi)都是隨 Ω的增大而單調(diào)減小， 如果在通帶（阻帶）滿足指標，則在阻帶（通帶）內(nèi)肯定有富裕量。 三、切比雪夫濾波器的設計 切比雪夫 Ⅰ 型的幅度平方函數(shù)為： )/(11)(222pNa CjH ????? ?ε為小于 1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度， ε愈大，波動幅度也愈大 。 Ωp稱為通帶截止頻率。令 λ=Ω/Ωp，稱為對 Ωp的歸一化頻率。 CN(x)稱為 N階切比雪夫多項式。 三、切比雪夫濾波器的設計 設計過程： 1)根據(jù)要求的濾波器指標確定波紋參數(shù) 和階數(shù) N。 2) 求歸一化傳輸函數(shù) 。 3) 去歸一化 。 將 代入歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù) ， 即得到實際濾波器傳輸函數(shù) 。 ?110 ?? p??)/(])110/()110([ psa r c ha r c hN ps????? ?? ??)(pGapsp ?? /)(sHa三、切比雪夫濾波器的設計 四、橢圓濾波器 橢圓 (Elliptic)濾波器允許在 通帶和阻帶內(nèi)都有等間隔的波動，可進一步減少濾波器的階次，但通帶上的相位響應非線性失真（波形）較大。 五、三種濾波器比較 濾波器 幅頻特性 相頻特性 巴特沃斯 通帶和阻帶都單減 接近線性相位 切比雪夫 通帶或阻帶單減 介于兩者之間 橢圓 通帶和阻帶都波動 線性相位最差 復雜性 : 在滿足相同的濾波器幅頻響應指標條件下，巴特沃思濾波器階數(shù)最高，橢圓濾波器的階數(shù)最低，而且階數(shù)差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應指標而言，橢圓濾波器的性能價格比最高，應用較廣泛。 當階數(shù)相同時，對相同的通帶最大衰減 ? p和阻帶最小衰減 ?s，巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。 兩種類型的切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。切比雪夫 Ⅰ 型濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶是單調(diào)下降的幅頻特性。切比雪夫 Ⅱ 型濾波器的通帶幅頻響應幾乎與巴特沃思濾波器相同，阻帶是等波紋幅頻特性。