【正文】 濾波器 22 在 IIR級聯(lián)結(jié)構(gòu)中，極點、零點的配對方式及所得二階子系統(tǒng)級聯(lián)的次序具有較大的靈活性。對于無限精度運算來說，所有各種配對方式和級聯(lián)次序都是等效的，但對于有限精度運算而言，由于有限字長的影響，實際上他們可能差別很大，有一個 最優(yōu)選擇 問題，這也是為什么要討論網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的原因之一。 對于 IIR，級聯(lián)結(jié)構(gòu)中的每一個二階子系統(tǒng)只是關(guān)系到數(shù)字濾波器的某一對極點和一對零點，單獨調(diào)整第 k對極點和 (或 )零點 (調(diào)整二階子系統(tǒng)系數(shù) )，不影響其他極、零點，故級聯(lián)結(jié)構(gòu)的 優(yōu)點 就是便于準(zhǔn)確地實現(xiàn)數(shù)字濾波器的零、極點，也便于調(diào)整整個數(shù)字濾波器的性能。另外，這種結(jié)構(gòu)受參數(shù)量化影響較小，實際中使用較多。 第 3章 數(shù)字濾波器 23 例 設(shè)系統(tǒng)函數(shù) H(z)為： 1 2 31 2 38 4 1 1 2()1 1 . 2 5 0 . 7 5 0 . 1 2 5z z zHzz z z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ?試畫出其級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 解：將 H(z)分子分母進行因式分解 ， 得到 1 1 21 1 2( 2 0 . 3 7 9 )( 4 1 . 2 4 5 . 2 6 4 )()( 1 0 . 2 5 )( 1 0 . 5 )z z zHzz z z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ?圖 例 x ( n )z － 12 y ( n )z － 14z － 1－ 0 . 3 7 90 . 2 5－ 1 . 2 45 . 2 6 4－ 0 . 5第 3章 數(shù)字濾波器 24 (3)并聯(lián)型 如果將級聯(lián)形式的 H(z)， 展開部分分式形式 ， 得到 IIR并聯(lián)型結(jié)構(gòu) 。 式中 ， Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡(luò)和二階網(wǎng)絡(luò) ， 網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)均為實數(shù) 。 二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為 12( ) ( ) ( ) ( )kH z H z H z H z? ? ? ? ? ? ?() 1011212() 1 iiiiizHza z a z?? ???????式中 ， β0i、 β1i、 α1i和 α2i都是實數(shù) 。 如果 a2i=0則構(gòu)成一階網(wǎng)絡(luò) 。 由 ()式 ， 其輸出 Y(z)表示為 Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z) 第 3章 數(shù)字濾波器 25 對于 IIR，并聯(lián)結(jié)構(gòu)中的每個二階子系統(tǒng)的 極點位置可單獨調(diào)整 ，但 不能 像級聯(lián)結(jié)構(gòu)那樣 直接控制零點 。 在運算誤差方面，由于并聯(lián)型各二階子系統(tǒng)的誤差互不影響，故并聯(lián)型比級聯(lián)型誤差稍小些。 第 3章 數(shù)字濾波器 26 例 畫出例題 H(z)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu) 。 解 : 將例 H(z)展成部分分式形式： 11 1 28 1 6 2 0( ) 1 61 0 . 5 1 0 . 5zHzz z z?? ? ???? ? ?? ? ?將每部分用直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖。 x ( n ) y ( n )z－ 1z－ 11680 . 520－ 16－ 0 . 5z－ 1圖 例 第 3章 數(shù)字濾波器 27 有限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點是沒有反饋支路 ， 即沒有環(huán)路 ，其單位脈沖響應(yīng)是有限長的 。 設(shè)單位脈沖響應(yīng) h(n)長度為 N， 其系統(tǒng)函數(shù) H(z)和差分方程為 1010( ) ( )( ) ( ) ( )NnnNmH z h n zy n h m x n m??????????第 3章 數(shù)字濾波器 28 (1)直接型 按照 H(z)或者差分方程直接畫出結(jié)構(gòu)圖如圖 。這種結(jié)構(gòu)稱為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者稱為 卷積型 結(jié)構(gòu) ， 由該結(jié)構(gòu)確定的濾波器也叫 橫向濾波器 。 (2) 級聯(lián)型 將 H(z)進行因式分解 ， 并將共軛成對的零點放在一起 ，形成一個系數(shù)為實數(shù)的二階形式 ， 這樣就構(gòu)成由一階或二階因子組成的級聯(lián)結(jié)構(gòu) (也有最優(yōu)選擇問題 )， 其中每一個因式都用直接型實現(xiàn) 。 圖 FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) x ( n )y ( n )z － 1 z － 1 z － 1h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N － 2) h ( N － 1)第 3章 數(shù)字濾波器 29 例 設(shè) FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù) H(z)為： H(z)=+++ 畫出 H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解：將 H(z)進行因式分解 ， 得到 H(z)=(+)(+2z1+3z2) 其直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖 。 圖 例 z － 1 z － 1z－ 1x ( n ) 0 . 60 . 51 . 623y ( n )y ( n )x ( n ) z－ 1z－ 1z－ 10 . 9 6 2 2 . 8 1 . 5( a ) ( b )第 3章 數(shù)字濾波器 30 3. 數(shù)字濾波器設(shè)計步驟 (1) 按照實際任務(wù)要求 ， 確定濾波器的 性能指標(biāo) ； (2) 用一個因果 、 穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) (或頻率響應(yīng) )去 逼近 這一性能要求 。 可以用 IIR系統(tǒng)函數(shù) ， 也可以用 FIR系統(tǒng)函數(shù)； (3) 利用有限精度算法實現(xiàn) 系統(tǒng)函數(shù) 。 這里包括選擇結(jié)構(gòu) 、 合適的字長 、 有效的處理方法 。 在實際實現(xiàn)時 ， 還要選擇是用計算機軟件還是專用數(shù)字濾波器硬件實現(xiàn) ， 或者采用兩者的結(jié)合 。 后面介紹的濾波器設(shè)計方法主要解決 (2)。 第 3章 數(shù)字濾波器 31 數(shù)字濾波器分析 (1)對于一個已有的濾波器 ， 如何了解它的性能 ，它是否可以為我們所用 ， 需要通過分析才能加以確定 。 (2)數(shù)字濾波器的設(shè)計常常不是一次性設(shè)計就可以達到目的 ， 一般需要有一個反復(fù)修正 、 多次逼近希望構(gòu)造的濾波器 (性能 )的過程 。 在這個過程中 ， 除了采取有效的設(shè)計方法外 ， 還需要對所設(shè)計的濾波器進行分析 ，以便確定所設(shè)計的濾波器是否滿足性能要求 ， 采用何種實現(xiàn)方法確保系統(tǒng)在有限精度條件下的性能與設(shè)計指標(biāo)相符 。 因此 ， 對數(shù)字濾波器進行分析 ， 也是濾波器設(shè)計的一個環(huán)節(jié) ， 對濾波器的成功設(shè)計十分有用 。 第 3章 數(shù)字濾波器 32 下面通過一些簡單的例子來說明數(shù)字濾波器的分析方法，并給出一些有用的概念。 例 1：某數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 H(z)=z+1 (1)確定零、極點結(jié)構(gòu)及頻率特性； (2)推導(dǎo)濾波器的遞推公式； (3)確定沖激響應(yīng) h(n)； (4)畫出濾波器結(jié)構(gòu)圖。 第 3章 數(shù)字濾波器 33 解： (1)H(z)由單一零點構(gòu)成，結(jié)構(gòu)圖為圖 1(a)。 由系統(tǒng)函數(shù)確定頻率響應(yīng)為 用上式計算或根據(jù)零、極點結(jié)構(gòu)進行幾何作圖得頻率特性曲線為圖 1(b)。 ?????????????????????????????????????????????????????43 223 20 2)(c o s22)2c o s (2)()()2c o s (21)()()(2jjjjjezjeHeeHeezHeHj第 3章 數(shù)字濾波器 34 由頻率特性曲線可知，該濾波器為低通濾波器。但也可以看出低通特性不夠理想。 圖 1(b) 幅頻 、 相頻特性曲線 π/2 π/2 π 3π ω )(??π 2π 3π π ω )( ?jeH2 圖 1(a) Z平面零 、 極點結(jié)構(gòu)圖 Im Re 第 3章 數(shù)字濾波器 35 (2) Y(z)=H(z)X(z)=(z+1)X(z) 作 Z反變換得輸入輸出遞推公式為 y(n)=x(n+1)+x(n) 該遞推公式表明，濾波器的輸出由輸入信號的當(dāng)前值x(n)和超前時刻值 x(n+1)決定。如果要求實時實現(xiàn)該濾波器，顯然是做不到的。所以，該濾波器是 不可實現(xiàn)的 。 從 H(z)可以看出，當(dāng) 零點數(shù)目 極點數(shù)目 時，遞推公式中必然出現(xiàn)輸入的超前時刻值，從而導(dǎo)致實時不可實現(xiàn)性。 第 3章 數(shù)字濾波器 36 (3) h(n)的求解可利用 4種方法實現(xiàn)： a. 對 H(z)求 Z反變換得 h(n)； b. 將 H(z)展開成 z1多項式，利用 Z變換定義， (z1)i項系數(shù)即為 h(i)； c. 利用沖激響應(yīng) h(n)的概念，即令 x(n)=δ(n)，利用遞推公式求出 y(n)，則 h(n)=y(n)； d. 遞推公式與卷積 y(n)=h(n)*x(n)均是對濾波器輸入輸出關(guān)系的描述，用非遞歸遞推公式與卷積表示式做比較確定出 h(n)。 若求解出 h(n)，濾波器的輸出就可以用卷積實現(xiàn)(用 FFT實現(xiàn)快速卷積 )，這是濾波器實現(xiàn)的一種途徑。 第 3章 數(shù)字濾波器 37 ∵ y(n)=x(n+1)+x(n)=h(n)*x(n)=h(1)x(n+1)+h(0)x(n) ∴ 由于 h(n)中含有 n0的序列值，所以該系統(tǒng) (濾波器 )是非因果的，同樣也說明其具有不可實現(xiàn)性。 增加 (零點數(shù) 極點數(shù) )個原點上的極點，可將系統(tǒng)的 不可實現(xiàn)轉(zhuǎn)化為可實現(xiàn) ，且保持系統(tǒng)的幅頻特性不變，即 ??? ??其它， 00 1n 1)( nh)1()()(11)( 1??????? ?nxnxnyzzzzH第 3章 數(shù)字濾波器 38 (4) 軟件可按遞推公式實現(xiàn)，硬件可按結(jié)構(gòu)圖實現(xiàn)。 Z1 y(n) x(n1) x(n) x(n) x(n1) y(n) z1 第 3章 數(shù)字濾波器 39 例 2：將例 1系統(tǒng)函數(shù)改為 解： (1) 該濾波器為高通濾波器。 有 z=1處的零點，使高通性能得到改善 (利用零、極點作用 )。 ????zzzH 1)( (α略小于 1) 圖 2(a) Z平面零 、 極點結(jié)構(gòu)圖 α π 2π ω )( ?jeH2/(1α) 圖 2(b) 幅頻特性曲線 第 3章 數(shù)字濾波器 40 (2) 為遞歸濾波器。遞歸實現(xiàn)有 累計誤差 。 (3) 將 H(z)展開為 z1多項式，即 為 IIR濾波器。 )1()()1()(1)()()(???????????nxnxnynyzzzXzYzH?????????????????????????????????????????0 01 )1()1(0 1)( )1()1()1(1 ))(1( 1)1()(13221433221nnnnhzzzzzzzzzzzHnn?????????????第 3章 數(shù)字濾波器 41 也可將該 遞歸濾波器轉(zhuǎn)化為非遞歸形式 ，即 用非遞歸