【正文】 167。 61 引言 一、 DF按頻率特性分類 可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通。 其特點為： （ 1）頻率變量以數(shù)字頻率 表示， ， 為模擬角頻率， T為抽樣時間間隔； （ 2）以數(shù)字抽樣頻率 為周期； （ 3）頻率特性只限于 范圍，這 是因為依取樣定理， 實際頻率特性只能為抽樣頻率的 一半 。 0 0 低通 0 高通 帶通 0 0 帶阻 全通 二、 DF的性能要求（低通為例） 0 通帶截止頻率 阻帶截止頻率 通帶 阻帶 過渡帶 平滑過渡 三、 DF頻響的三個參量 幅度平方響應(yīng) 相位響應(yīng) 群延遲 ??? ??dede jj )()( ??它是表示每個頻率分量的延遲情況；當(dāng)其為常數(shù)時， 就是表示每個頻率分量的延遲相同。 四、 DF設(shè)計內(nèi)容 按任務(wù)要求確定 Filter的性能指標(biāo)； 用 IIR或 FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求； 選擇適當(dāng)?shù)倪\算結(jié)構(gòu)實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)； 用軟件還是用硬件實現(xiàn)。 五、 IIR數(shù)字 filter的設(shè)計方法 借助模擬 filter的設(shè)計方法 （ 1）將 DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成 AF的技術(shù)指標(biāo)； （ 2）按轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo)、設(shè)計模擬低通 filter的 ； （ 3）將 （ 4）如果不是低通，則必須先將其轉(zhuǎn)換成低通 AF的技術(shù)指標(biāo)。 計算機輔助設(shè)計法（最優(yōu)化設(shè)計法） 先確定一個最佳準(zhǔn)則，如均方差最小準(zhǔn)則， 最大誤差最小準(zhǔn)則等，然后在此準(zhǔn)則下，確定系 統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。 )s(Ha)()( zHsH a ?167。 62 將 DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為 ALF的技術(shù)指標(biāo) 一、意義 AF的設(shè)計有一套相當(dāng)成熟的方法：設(shè)計公式； 設(shè)計圖表；有典型的濾波器，如巴特沃斯，切比雪 夫等。 二、一般轉(zhuǎn)換方法 A L FD L F ?A L FA H FDHF ??A L FABFD B F ??A L FA B S FD B S F ??三、轉(zhuǎn)換舉例 例如，一低通 DF的指標(biāo)：在 的通帶 范圍，幅度特性下降小于 1dB；在 的 阻帶范圍，衰減大于 15dB；抽樣頻率 ； 試將這一指標(biāo)轉(zhuǎn)換成 ALF的技術(shù)指標(biāo)。 解：按照衰減的定義和給定指標(biāo)，則有 假定 處幅度頻響的歸一化值為 1， 即 這樣，上面兩式變?yōu)? 由于 ，所以當(dāng)沒有混疊時，根據(jù)關(guān)系式 模擬 filter的指標(biāo)為 63 ALF的設(shè)計 ALF的設(shè)計就是求出 filter的系統(tǒng)函數(shù) Ha(S) ， 使其逼近理想 LF的特性，逼近的形式（ filter的類型） 有巴特沃斯型，切比雪夫型和考爾型等。而且逼近 依據(jù)是 幅度平方函數(shù) ，即由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng) 函數(shù)。 一、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù) 幅度平方函數(shù) 由于 所以 其中， 是 AF的系統(tǒng)函數(shù)， 是 AF的頻響， 是 AF的幅頻特性。 Ha（ S） Ha（ S） 的零極點分布特點 （ 1）如果 S1是 Ha（ S） 的極點，那麼 S1就是 Ha（ S） 的極點；同樣，如果 S0是 Ha（ S） 的零點，那麼 S0就是 Ha（ S） 的零點。所以 Ha（ S） Ha（ S） 的零極點是呈 象限對稱的 ,例如： （ 2） 虛軸上的零點一定是二階的 ，這是因為 ha（ t） 是實數(shù)時的 Ha（ S） 的零極點以共軛對存在； （ 3） 虛軸上沒有極點 （穩(wěn)定系統(tǒng)在單位圓上無極點）； （ 4）由于 filter是穩(wěn)定的，所以 Ha（ S） 的極點一定在 左半平面 ；最小相位延時，應(yīng)取左半平面的零點，如無此 要求，可取任一半對稱零點為 Ha（ S） 的零點。 由 確定 的方法 （ 1）求 （ 2）分解 得到各零極點，將左半面的 極點 歸于 ，對稱的零點任一半歸 。若要求 最小相位延時，左半面的零點歸 （全部零極點 位于單位圓內(nèi)）。 （ 3）按頻率特性確定增益常數(shù)。 例 61 由 確定系統(tǒng)函數(shù) 。 解： 所以，極點為 零點為 均為二階的。我們選極點 6， 7，一對虛軸零點 為 的零極點，這樣 由 ，可確定出 ， 所以 。 因此 因 二、巴特沃斯低通濾波器 幅度平方函數(shù) 其中， N為整數(shù)，是 filter的階數(shù)； 為 3dB截止頻率。 當(dāng) 時，則 即 ? ? dBjH ca 3lg20 ???（ 1）通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性； （ 2）不管 N為多少，都通過 點。 )3(2/1 dB?幅頻特性 0 N=2 N=4 N=8 巴特沃斯 filter的系統(tǒng)函數(shù) 由于 所以其 零點全部 在 處 ；即所謂 全極點型 ，它的極點為 也就是說，這些極點也是呈象限對稱的。而且分布 在巴特沃斯圓上（半徑為 ），共有 2N點。 例如， N=2時， N=3時， 4 ?????? ???? 6 1221 kjck eS?取 左半平面的極點為 的極點， 這樣極點僅有 N個，即 其中，常數(shù) 由 的低頻特性決定。 則 23j21eS 34j3 ?????[例 62]導(dǎo)出三階巴特沃斯 LF的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè) s/r a d1C ??解： 所以 )1(6622111/1)()(jjjHA?????????其極點為 因此有 取前三個極點，則有 ,1)0(AK)0(H 0a ???1S2S2S1)S(H23a ????歸一化的系統(tǒng)函數(shù) 如果 將系統(tǒng)函數(shù)的 S, 用濾波器的截止頻率去除，這 樣對應(yīng)的截止頻率變?yōu)?1，即所謂歸一化，相應(yīng)的系統(tǒng) 函數(shù)稱作歸一化的系統(tǒng)函數(shù) 記作 例如，對于巴特沃斯 filter )S(H an ?,)SS(K)S(H N1kk0a????????? )N2 1k221(jCk eSN,2,1k ?????)21221(10 ,)()( NkjkCNkkan eSSSSSKSH?????????????? 如果將低通 filter歸一化，就稱作歸一化原型 濾波器。 三、歸一化原型 filter的設(shè)計數(shù)據(jù) 不論哪種形式（巴特沃斯，切比雪夫）的 filter， 都有自己的歸一化原型 filter，而且它們都有現(xiàn)成的數(shù) 據(jù)表可查和設(shè)計公式 例如，歸一化巴特沃斯原型 filter的系統(tǒng)函數(shù)（這 里的 S即 ）為 當(dāng) ,增益為 1，則有 ， N=1— 9階的各 個系數(shù)，如表 ， P157所示。 * 由歸一化系統(tǒng)函數(shù) 得 ，只需將 S代 入 即可。 S?N2210an SSaSa1d)S(H????????0?? 1ad00 ??)S(H an )S(H aC/S ?0a/ 10/ 10221 ( ) 101 ( ) 10psap NcaNsc???????? 式中， S`k為歸一化極點，令 S`=P，用下式表示： 將極點表示式 ()代入 ()式，得到的 Ha(p)的分母是 p的 N階多項式，用下式表示： 1 2 1()22 , 0 , 1 , , 1kjNkp e k N? ??? ? ? ? ? ?() 將 Ω=Ωs代入 ()式中 ， 再將 |Ha(jΩs)|2代入 ()式中 ， 得到： () () ?)21221(10 ,)()( NkjkCNkkan eSSSSSKSH ??????????????() 由 ()和 ()式得到： / 1 0/ 1 01 0 1()1 0 1psap Nas? ????令 10101 0 1/,1 0 1psas p s p s p ak??? ? ? ??,則 N由下式表示： lglgspspkN???() 用上式求出的 N可能有小數(shù)部分 ， 應(yīng)取大于等于 N的最小整數(shù) 。 關(guān)于 3dB截止頻率 Ωc， 如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出 ， 可以按照 ()式或 ()式求出 ， 由()式得到： 10 .1210 .1 2( 1 0 1 )( 1 0 1 )psaNcpa Ncs??? ? ? ?? ? ? ?由 ()式得到： () () 總結(jié)以上 ， 低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下： (1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo) Ωp,αp,Ωs和 αs， 用()式 求出濾波器的階數(shù) N。 (2)按照 ()式 ， 求出歸一化極點pk， 將 pk代入 ()式 ， 得到歸一化傳輸函數(shù) Ha(p)。 (3)將 Ha(p)去歸一化 。 將 p=s/Ωc代入Ha(p)， 得到實際的濾波器傳輸函數(shù) Ha(s)。 四、設(shè)計舉例（巴特沃斯 filter） 技術(shù)指標(biāo) 計算所需的階數(shù)及 3dB截止頻率 將技術(shù)指標(biāo)，代入上式，可得 1)102j(Hlg20 3a ????15)103j(Hlg20 3a ?????C?])(1/[1)j(H N2C2a ??????])(1l g [10)j(Hlg20 N2Ca ???????1])102(1lg [10 N2C3???????15])103(1lg [10 N2C3????????解上述兩式得： C310)102(1 ?????C310)103(1 ??????因此，