【正文】 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 1 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 摘要 ： IIR數(shù)字濾波器是經(jīng)典數(shù)字濾波器的一種。 介紹 了 怎樣運(yùn)用 MATLAB這一編程效率高、 形象直觀的可視化軟件來設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)（ IIR）數(shù)字濾波器的方法和步驟。 給出 了 運(yùn)用 MATLAB 設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)（ IIR）數(shù)字濾波器的方法 ： 間 接法 。 該方法 主要 是 先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再進(jìn)行 sz平面轉(zhuǎn)換而 達(dá)到設(shè)計(jì)目的。 關(guān)鍵詞 ： 濾波器 ， IIR數(shù)字濾波器 ， 設(shè)計(jì) ， MATLAB IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2 Design of IIR Digital Filter Abstract: IIR digital filter is one kind of the classical digital filter. Method and step of limitless pulse respond digital filter are introduced by MATLAB that have high efficiency and visual as an image visual software. Indirect method of designing infinite impulse respond digital filter by MATLAB is given. The method is to design the simulation filter at first, and then change sz level to achieve the design purpose. Keywords: filter, IIR digital filter, design, MATLAB IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 3 引 言 IIR 數(shù)字濾波器屬于經(jīng)典數(shù)字濾波器中的一種，在很多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。與FIR 數(shù)字 濾波器相比，它可以用較低的階數(shù)獲得較高的性能，所以存儲單元少， 經(jīng)濟(jì)效益高，在相同門級規(guī)模和相同時(shí)鐘速度下可以提供更好的帶外衰減性 [1]。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)要進(jìn)行復(fù)雜的推導(dǎo)和計(jì)算，所以運(yùn)算量非常龐大 [2]。目前，數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)常借助 于 計(jì)算機(jī)，利用 MATLAB 軟件來實(shí)現(xiàn)。 MATLAB(即 matrix 和laboratory 的前 3 位字母組合，意為“矩陣實(shí)驗(yàn)室” )是美國 MathWorks 公司于 1984年推出 的數(shù)學(xué)軟件，是一種用于科學(xué)工程計(jì)算的高級語言 [3]。它集數(shù)值分析 、 矩陣運(yùn)算 、信號處理和圖形顯示于一體 ,功能強(qiáng)大，編程效率高，是設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的強(qiáng)有力的工具 [4]。 1 數(shù)字濾波器 綜述 數(shù)字濾波器的基本概念 所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。數(shù)字濾波器的概念和模擬濾波器相同，只是信號的形式和實(shí)現(xiàn)濾波方法不同 [5]。正因?yàn)?這些 不同點(diǎn)，數(shù)字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配以及實(shí)現(xiàn) 模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能等優(yōu)點(diǎn) [6]。如果要處理的是模擬信號， 則 可通過 A/DC 和D/AC，在信號形式上進(jìn)行匹配轉(zhuǎn)換，同樣可以使用數(shù)字濾波器對模擬信號進(jìn)行濾波 [7]。 數(shù)字濾波器的描 述 與 分類 一般情況下，數(shù)字濾波器是一個(gè)線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，可用差分方程、脈沖響應(yīng)h(n)、傳輸函數(shù) H(z)及頻率響應(yīng) 來描述。圖 1 示出了所有描述濾波器的方法。這幾種描述方式相互關(guān)聯(lián)，從不同方面說明了濾波器的特性。 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 4 圖 1 數(shù)字濾波器的描述方法 數(shù)字濾波器按照不同的 分類方法，有許多種類，但總起來可分為經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器兩類。 經(jīng)典濾波器即一 般的濾波器，特點(diǎn)是輸入信號中有用的頻率成 份 和希望濾除的頻率成 份 占有不同的頻帶，通過一個(gè)合適的選頻濾波器達(dá)到濾波的目的。如果信號和干擾的頻帶互相重疊，則不能完成對干擾的有效濾除，這時(shí)需要采用另一類所謂的現(xiàn)代濾波器，這些濾波器可按照隨機(jī)信號內(nèi)部的一些統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾中最佳地提取信號。 數(shù)字 濾波器從功能上可分為四種：即低通（ LP, Low Pass） 、 高通（ HP, High pass） 、帶通 （ BP, Band Pass）和帶阻 (BS, Band Stop)濾波器 。 它們的幅頻特性 如下圖 。 圖 2 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)（ Infinite Impulse Response Filter 簡稱 IIR）濾波器和有限脈沖響應(yīng)（ Finite Impulse Response Filter 簡稱 FIR）濾波器。 數(shù)字濾波器的技術(shù)要求 通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù) 用 下式表示： IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 5 （ 1－ 1） 式中 ， │)│H(e ω j 稱為幅頻特性；φ (ω )稱為相頻特性。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成 份衰減情況，而相頻特性反映各頻率成份 通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。因此，即使兩個(gè)濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不一樣，對相同的輸入，濾波器的輸出信號波形也是不一樣的。一般選頻濾波器的技術(shù)要求由幅頻特性給出，相頻特性一般不作要求，但如果對輸出波形有要求 ，則需要考慮相頻特性的技術(shù)指標(biāo)，如語音合成、波形傳輸、圖 像 信號處理等。如果對輸出波形有嚴(yán)格要求，則需要設(shè)計(jì)線性相位數(shù)字濾波器。 2 設(shè)計(jì)方案的實(shí)現(xiàn)和選擇 IIR 濾波器設(shè)計(jì)方法有兩類 ,常用的 間接法 是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的 。而直接法 是直接在頻域或時(shí)域中進(jìn)行設(shè)計(jì)的。由于要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī) 作輔助。 間接法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器 間接法是指通過先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再進(jìn)行 sz 平面轉(zhuǎn)換，來達(dá)到設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的目的，這種設(shè)計(jì)的幅度特性受到所選模擬濾波器特性的限制。 其 設(shè)計(jì)過程是：按照技術(shù)要 求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù) )(sHa ，再按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將 )(sHa 轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(zH 。這樣設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題 就 是找這種轉(zhuǎn)換關(guān)系，將 S平面上的 )(sHa 轉(zhuǎn)換成 Z 平面上的 )(zH 。將傳輸函數(shù) )(sHa 從 S平面轉(zhuǎn)換到 Z平面的方法有多種，但工程上常用的 是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性 變換 法。 脈沖響應(yīng)不變法的特點(diǎn) 脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)是頻率坐標(biāo)變換是線性，如果不考慮頻率混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器會很好的重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性。另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時(shí)域特性逼近好。 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是會產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，使數(shù)字濾波器的頻響偏移模擬濾波器的頻響。適合低通、帶通濾波器的設(shè)計(jì)，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。 雙線性變換法的特點(diǎn) 由于從 s 平面到 s1 平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此 不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，這是雙線性變換法比較脈沖響應(yīng)不變法最大的優(yōu)點(diǎn)。但 ω 與Ω之間的非線性關(guān)系是IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6 雙變換法的缺點(diǎn)，它直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響。 直接法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器 直接法是直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行設(shè)計(jì)的，由于要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)做輔助設(shè)計(jì)。其特點(diǎn)是適合設(shè)計(jì)任意幅度特性的濾波器。具體又分成以下三類方法。 零極點(diǎn)累試法 是根據(jù)其幅度特性先確定零極點(diǎn)位置，再按照確定的零極點(diǎn)寫出其系統(tǒng)函數(shù)，畫出其幅度特性，并與希望的進(jìn)行比較，如不滿足要求，可通過移動零極點(diǎn)位置或 增加（減少）零極點(diǎn)，進(jìn)行修正。這種修正是多次的，在確定零極點(diǎn)位置是要注意： （ 1） 極點(diǎn)必須位于 Z平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定。 （ 2） 復(fù)數(shù)零極點(diǎn)必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實(shí)的。 頻域最小均方誤差設(shè)計(jì)法 這種方法實(shí)際上就是一種計(jì)算機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，優(yōu)化的原則是幅度平方誤差最小。由于需要通過計(jì)算機(jī)編程并進(jìn)行迭代求濾波器的系數(shù)，這種方法也稱為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法。 在設(shè)計(jì)過程中，對系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)位置未給任何約束，零、極點(diǎn)可能在單位圓內(nèi)，也可能在單位圓外。這里主要問題是如果極點(diǎn)在單 位圓外，則會造成濾波器不是因果穩(wěn)定的，因此需要對這些單位圓外的極點(diǎn)進(jìn)行修正。這種設(shè)計(jì)方法計(jì)算比較繁復(fù)，一般用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解，但可以得到任意給定幅度特性且性能比較好。 在時(shí)域直接設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器 這種時(shí)域逼近法限制脈沖響應(yīng)的長度，使得濾波器的選擇受到限制，如果濾波器阻帶衰減要求很高，則不適合用這種方法。但用此方法得到的系數(shù)，可作為其他更好的優(yōu)化算法的初始估計(jì)值。實(shí)際中，有時(shí)要求給一定的輸入信號波形，濾波器的輸出為希望波形，這種濾波器稱為波形形成濾波器，也屬于這種時(shí)域的直接設(shè)計(jì)法。 方法 的選擇 由上述比較可知，因?yàn)槟M濾波器設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟 ,它不僅有完整的設(shè)計(jì)公式 ,還有完善的圖表供查閱 。另外還一些典型的濾波器類型可以供我們使用，通常我們都 采用間接法來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，而間接法中的脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法是比較好的兩種設(shè)計(jì)方法。 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 7 3 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 用間接法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，其設(shè)計(jì)步驟是 :先設(shè)計(jì)模擬濾波器得到傳輸函數(shù) )(sHa ,然后將 )(sHa 按某種方法換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(zH 。 下面將具體說明數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。 模擬濾波器的設(shè)計(jì) 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展的相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯（ Butterworth）濾波器、切比雪夫 (Chebyshev)濾波器、橢圓 (Ellipse)濾波器、貝塞爾 (Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。這些典型的濾波器又各有特點(diǎn)： 巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，其具體的設(shè)計(jì)方法如下： 巴特沃斯濾波器 的幅度平方函數(shù) 2|)(| ?jHa 用下式表示： 2|)(| ?jHa =Nc2)(11??? (3－ 1) 式 (3－ 1)中， N 稱為濾波器的階數(shù)。當(dāng) 0?? 時(shí)， ca jH ????? 。1|)(| 時(shí)，2/1|)(| ??jHa ， c? 是 3dB 截止頻率。當(dāng) c??? 時(shí)，隨 ? 加大，幅度迅速下降。下降的速度與階數(shù) N有關(guān)， N 愈大，幅度下降的速度愈快，過渡帶愈窄。 切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動，可以提高選擇性； 貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位特性； 橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的。 這樣根據(jù)具體要求可以選用不同類型的濾 波器。模擬濾波器按幅度特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器 ， 它們的理想幅度特性如圖 3所示。 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 數(shù)字濾波器的基本原理 與 表示方法 數(shù)字濾波器（ Digital Filter，簡稱為 DF）是數(shù)字信號處理的重要基礎(chǔ)，在對信號的過濾、檢測與參數(shù)的估計(jì)等信號處理中，數(shù)字濾波器是使用最為廣泛的一種線性系統(tǒng)。數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實(shí)現(xiàn)濾波的線性時(shí)不變系統(tǒng)。數(shù)字濾波實(shí)質(zhì)上是一種運(yùn)算過IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 8 程，實(shí)現(xiàn)對信號的運(yùn)算處理。輸入的數(shù)字信號（數(shù)字序列）通過特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此數(shù)字濾波器本質(zhì)上 是一個(gè)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算過程。 圖 3 各種理想濾波器的幅頻特性 時(shí)域離散系統(tǒng)的頻率特性： )()()( jwjwjw eHeXeY ? （ 3－ 2） 其中 )( jweY ， )( jweX 分別是數(shù)字