數(shù)字信號處理模擬濾波器設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器(已修改)
2025-01-19 15:46 本頁面
【正文】 模擬濾波器基本概念及設計方法 輸入 、 輸出均為模擬信號的濾波器即模擬濾波器 。通常用幅頻響應和相頻響應來表征一個濾波器的特性 。對幅頻響應 ， 通常把能夠通過的信號的頻率范圍定義為通帶 ， 而把受阻或衰減的信號頻率范圍稱為阻帶 ，通帶和阻帶的界限頻率稱為截止頻率 。 按照通帶和阻帶的相互位置不同 ， 模擬濾波器可分為低通 、 高通 、帶通和帶阻四類 。 圖 各種理想濾波器的幅頻特性 )(jaΩHΩΩΩΩ低通帶通 帶阻高通)(jaΩH)(jaΩH)(jaΩH0 00c模擬濾波器的設計方法 模擬濾波器的設計就是要將一組規(guī)定的設計要求 ， 轉換為相應的模擬系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)， 使其逼近某個理想濾波器的特性 ， 這種逼近是根據(jù)幅度平方函數(shù)來確定的 ，也就是說 ， 模擬濾波器設計中 ， 通常只考慮幅頻特性 。 模擬低通濾波器的設計指標有 αp, Ωp,αs和 Ωs。 其中Ωp和 Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率 ， αp是通帶 Ω(=0~Ωp)中的最大衰減系數(shù) ， αs是阻帶 Ω≥Ωs的最小衰減系數(shù) ， αp和 αs一般用 dB數(shù)表示 。 對于單調(diào)下降的幅度特性 ， 可表示成： 如果 Ω=0處幅度已歸一化到 1， 即 |Ha(j0)|=1,αp和 αs表示為 以上技術指標用圖 52表示 。 圖中 Ωc稱為 3dB截止頻率 ，因 221 0 lg ( )1 0 lg ( )p a ps a sHjHj??? ? ?? ? ?(53) (54) ( ) 1 / 2 , 2 0 l g ( ) 3a c a cH j H j d B? ? ? ? ?22)()0(lg10paapjHjH???22)()0(lg10saasjHjH???(51) (52) 圖 52 低通濾波器的幅度特性 濾波器的技術指標給定后 ， 需要設計一個傳輸函數(shù) Ha(s)， 希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標 αp和 αs，一般濾波器的單位沖激響應為實數(shù) ， 因此 ???????????? jsaaaaaaa sHsHjHjHjHjHjH )()()()()()()( *2如果能由 αp、 αs、 Ωp、 Ωc求出 ，那么濾波器的設計就轉化為如何由 求得 Ha(s)，分析如下： 因為脈沖響應 ha(t)是實的，因而 Ha(s)的極點 (或零點 )必成共軛對存在。 Ha(s) Ha(s)的極點、零點分布如圖 ，是成象限對稱的。 S平面 圖 、 極點分布 2)( ?jH a2)( ?jH a 由于任何實際可實現(xiàn)的濾波器都是穩(wěn)定的，因此其系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)的極點一定落于 s的左半平面，所以左半平面的極點一定屬于 Ha(s),而右半平面的極點必屬于 Ha(s) 。零點的分布則無此限制，它只和濾波器的相位特性有關，如果要求是最小相位延時特性，則 Ha(s)應取左半平面零點；如無特殊要求，則可將對稱零點的任一半 (應為共軛對 )取為 Ha(s)的零點。由此，得到由 確定 Ha(s)的方法： (1)由 得到象限對稱的 s平面函數(shù) (2) 尋找 Ha(s) Ha(s)的零點和極點。將左半平面的極點歸于Ha(s)，如無特殊要求，可取 Ha(s) Ha(s)以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半 (應是共軛對 )作為 Ha(s)的零點。 jΩ軸上的零點或極點都是偶次的，其中一半 (應為共軛對 )屬于Ha(s) (3) 求出 Ha(s)的零極點和增益，即可確定系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)。 2)( ?jH a????? jsaaa sHsHjH )()()(2 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù) |Ha(jΩ)|2用下式表示： 221()1 ( )aNcHj ?? ???(57) 圖 54 巴特沃斯幅度特性和 N的關系 將幅度平方函數(shù) |Ha(jΩ)|2寫成 s的函數(shù)： 21( ) ( )1 ( )aaNcH s H s sj????(57) 此式表明幅度平方函數(shù)有 2N個極點 ， 極點 sk用下式表示： 1 1 2 1()2 2 2( 1 ) ( )kjNNk c cs j e ???? ? ? ? ?k=0,1,…,2N 1 (58) ? ? NcNca jjjH 222)/(11)/(11????????? 這 2N個極點分布在 s平面半徑為 Ωc的圓上 (巴特沃斯圓 )，角度間隔 π/N弧度。為 形成穩(wěn)定的濾波器，取平面左半平面的 N個極點構成 Ha(s)。 所以取左半平面的極點時，應滿足 )2 1221π( Nkjck es???? 12,1,0 ?? Nk ? 因 2π3)21221π(2π ????Nk2121 ???? Nk而 k為整數(shù)，所以 k=0,1,…, N1。所以巴特沃斯濾波器的 N個極點為 1,1,0。e )21221(j??????Nks Nkck ??則濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)為 )()(10kNkNcasssH??????圖 55 三階巴特沃斯濾波器極點分布 以 N＝ 3為例， Ha(s)Ha(s)極點分布如圖，分別為 1,1,0。e )2 1221(j ???? ?? Nks Nkck ??12,1,0。e )2 1221(j ???? ?? Nks Nkck ???320jc es ?? cs ???1?322jc es??? ?313jc es???cs ??4 ?315jces ??， ， ， Ha(s)取左半平面極點，即 所以 Ha(s) 極點為 s0,s1,s2 ))()(()(π32jπ32j3?????????esesssHccca 由于各濾波器的幅頻特性不同 ， 為使設計統(tǒng)一 ，將所有的頻率歸一化 。 這里采用對 3dB截止頻率 Ωc歸一化 ， 歸一化后的 Ha(s)表示為 式中 ， s/Ωc=jΩ/Ωc。 令 λ=Ω/Ωc， λ稱為歸一化頻率；令 p=jλ， p稱為歸一化復變量 ， 這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為 101()()a Nkk ccHs
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