[理學(xué)]華科數(shù)理方程課件第3章(已修改)
2024-12-20 00:49 本頁(yè)面
【正文】 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 上午 12時(shí) 44分 1 第三章 行波法與積分變換法 一、行波法 基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。 ??????????)()0,(),()0,(,0 ,2xxuxxuRxtuautxxtt??特征方程 為 0)()( 222 ?? dtadx特征線 為 1catx ?? 2catx ??作 特征線性變換 ,atx ??? atx ???由鏈?zhǔn)椒▌t ,有 ?? ???????? uuxu22222222???? ???????????? uuuxu?????? ????????? ?? uuatu????????????????????222222222????uuuatu則原振動(dòng)方程化簡(jiǎn)為 02???? ?? u數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 上午 12時(shí) 44分 2 02???? ?? u )(* ?? Fu ???)()( )()(),( *???????GFGdFu???? ?)()(),( atxGatxFtxu ????此即為原方程的 通解 。 利用初值條件確定函數(shù) F， G )()0,( xxu ??)()()( xxGxF ???)()0,( xxu t ??)()]()([ xxGxFa ????????? dCxGxFa xx?????0)()]()([)()()( xxGxF ???aCdaxGxFxx ???? ? ???0 )(1)()(aCdaxxFxx 2)(21)(21)(0??? ? ????aCdaxxGxx 2)(21)(21)(0??? ? ?????????daatxatxtxuatxatx????????)(21 2)()(),(一維波動(dòng)方程的 達(dá)朗貝爾公式 其中 為任意一點(diǎn)，而C為積分常數(shù)， 0x數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 上午 12時(shí) 44分 3 達(dá)朗貝爾解的物理意義 )(),(~ atxFtxu ??)()0,(~ xFxu ?0?t0tt? )(),(~ 00 atxFtxu ??uxxtuOO),(~)0,(~ 00 tatxuxu ??)( 0xF右傳播波 (右行波 ) 0x00 atx ?)( 0xF????? daatxatxtxu atxatx???????? )(2 12 )()(),()]()([2 1)]()([21 atxatxaatxatx ?????????? ??數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 上午 12時(shí) 44分 4 xO 0xatx ?0)(~ xFu ? )(~ atxFu ??atxO 0xatx ?0)(~ atxGu ?? )(~ xGu ?at左傳播波(左行波 ) 把定解問(wèn)題的解表示為左、右行進(jìn)波相疊加的方法稱為 行波法 。 右傳播波 (右行波 ) ????? daatxatxtxu atxatx???????? )(2 12 )()(),(數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 上午 12時(shí) 44分 5 ??????????????????222|,|,0002xttxtxxttax eueuxuau解：將初始條件代入 達(dá)朗貝爾公式 ，得 ? ?? ????? ??? atx atx satxatx dseee 221)()(21 222 ][2)( atxe ???例 1 求解初值問(wèn)題 atxatxsatxatx eee ??????? ??? 22221][21 )()(????? daatxatxtxu atxatx???????? )(2 12 )()(),(dsa s eaeetxu atxatxsatxatx ? ??????? ??? 222 221][21),( )()(數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 上午 12時(shí) 44分 6 影響區(qū)域、依賴區(qū)域、決定區(qū)域 ????? daatxatxtxu atx atx? ??????? )(212 )()(),(波動(dòng)是以一定的速度 a 向兩個(gè)方向傳播的。 如果在初始時(shí)刻 t＝ 0， 擾動(dòng)僅僅在有限區(qū)間 ],[21 xx上存在，則經(jīng)過(guò)時(shí)間 t 后，擾動(dòng)傳到的范圍為 atxxatx ???? 211x 2x xtatxx ?? 1 atxx ?? 2影響區(qū)域 定義： 上式所定義的區(qū)域稱為區(qū)間 的 影響區(qū)域 。 ],[ 21 xx????? daatxatxtxu atxatx???????? )(2 12 )()(),(數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 上午 12時(shí) 44分 7 定義 : 區(qū)間 ],[ atxatx ??稱為解在（ x， t）的值的 依賴區(qū)間 。 從達(dá)朗貝爾公式中可以看出， u(x, t) 僅僅依賴于 ],[ atxatx ??中的初始條件。 atx? atx?x依賴區(qū)間 ),( txt它是過(guò)（ x， t）點(diǎn)，斜率分別為 a1? 的直線與 x 軸所截而得到 的區(qū)間（如右圖）。 ????? daatxatxtxu atx atx? ??????? )(2 12 )()(),(數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 上午 12時(shí) 44分 8 過(guò) 1x作斜率為 a1的直線 atxx ?? 1過(guò) 2x作斜率為 的直線 atxx ??2a1?則它們與區(qū)間 ],[ 21 xx一起圍成的三角形區(qū)域 中的任意一點(diǎn) ( x, t ) 的依賴區(qū)間都落在區(qū)間 ],[21 xx內(nèi)，因此該三角區(qū)域稱為決定區(qū)域 。 x1x x at??t1x決定區(qū)域 2x2x x at??????? daatxatxtxu atxatx???????? )(2 12 )()(),(x at C?? 特征線 特征變換 行波法又叫特征線法 atx ???atx ???數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 上午 12時(shí) 44分 9 無(wú)界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題（非齊次問(wèn)題的齊次化原理 ) ????????????????????xxxuxxutxtxfuautxxtt),()0,(),()0,(0,),(2??怎么求解此定解問(wèn)題？ 利用疊加原理將問(wèn)題進(jìn)行分解： ),(),(),( txqtxptxu ???????????????????????xxxpxxptxpaptxxtt),()0,(),()0,(0,2??????? daatxatxtxp atx atx? ??????? )(2 12 )()(),(????????????????????xxqxqtxtxfqaqtxxtt,0)0,(,0)0,(0,),(2數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 上午 12時(shí) 44分 10 齊次化原理 (Duhamel原理或沖量原理 ) ???????????0)0,(,0)0,(,0 ),(2xuxuRxttxfuautxxtt???????????? ),()。,(,0)。,(, ,2?????? xftxwtxwRxtwawtttxxtt設(shè) )。,( ?txw是問(wèn)題 的解， 則 ?? dtxwtxu t?? 0 )。,(),(是非齊次方程初值問(wèn)題 的解。 齊次化原理的證明需要用到含參變量積分的求導(dǎo)公式。 ?? dtxwtxu t?? 0 )。,(),(?? dtxwttxwtxu t tt ??? 0 )。,()。,(),(0)0,( ?xu0)0,( ?xu t?? dtxwttxwtxu t ttttt ??? 0 )。,()。,(),(? dtxwt t?? 0 )。,(?? dtxwatxf t xx??? 02 )。,(),(),(),( 2 txuatxf xx??數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 第 3章行波法與積分變換法 上午 12時(shí) 44分 11 下面來(lái)求解定解問(wèn)題 令 ,???? tt????????????????????),()。,(,0)。,(,0 ,002??? xftxwtxwRxtwawtttxxtt利用 達(dá)朗貝爾公式
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