【正文】 1 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 主講：沈火明 2 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)振動問題 ， 在我們所討論的范圍內(nèi)是線性定常方程 。 而多自由度系統(tǒng)則是二階多元聯(lián)立微分方程組 ， 各廣義坐標(biāo)間存在相互 “ 耦合 ” 現(xiàn)象 。 所謂耦合 ， 就是變量之間互相聯(lián)系 。 由于這種耦合 ， 使微分方程的求解變得非常困難 。 因此 ， 分析多自由度系統(tǒng)振動問題的重要內(nèi)容之一就是如何將方程 “ 解耦 ” ， 然后按單自由度的分析方法求解 。 兩自由度是多自由度系統(tǒng)最簡單的情況 。 3 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 建立運動微分方程的方法和單自由度系統(tǒng)基本一樣 , 但難度更大 。 運動微分方程 兩自由度系統(tǒng)的振動方程 —— 剛度矩陣和質(zhì)量矩陣 標(biāo)準(zhǔn)的 mkc系統(tǒng) ， 對每一質(zhì)量利用牛頓定律得： 4 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 坐標(biāo)原點仍取在靜平衡位置 寫成矩陣形式 1111111 )( xcxktFxm ??? ???2 1 2 2 1 2( ) ( )k x x c x x? ? ? ?2323222 )( xcxktFxm ??? ???2 1 2 2 1 2( ) ( )k x x c x x? ? ? ?)}({}]{[)]{[}]{[ tFxKxCxM ??? ???5 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 式中： ???????22211211][mmmmM ???????2100mm???????22211211][ccccC ???????????322221cccccc???????22211211][kkkkK ???????????322221kkkkkk???????21}{xxx???????)()()}({21tFtFtF6 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 [M]稱為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣 ， [K]稱為剛度矩陣 ， [C]稱為阻尼矩陣 ， {x}為系統(tǒng)的位移列陣 ， {F(t)}為外激勵列陣 。 對于其它形式的兩自由度振動系統(tǒng)同樣可得到相應(yīng)的質(zhì)量矩陣 、 剛度矩陣和阻尼矩陣 。 由于矩陣 [M]、 [K]、 [C]的非對角線元素不為 0，所以振動微分方程是互相耦合的非獨立方程 。 )}({}]{[)]{[}]{[ tFxKxCxM ??? ???7 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 剛度影響系數(shù)與剛度矩陣 剛度矩陣 [K]中的元素稱為剛度影響系數(shù) ， 其kij的力學(xué)意義是：僅在 j坐標(biāo)處產(chǎn)生單位廣義位移 ，系統(tǒng)平衡時需在 i坐標(biāo)處施加的廣義力 。 具體求解時 ， 只假設(shè) j坐標(biāo)處的位移為 1， 其它各坐標(biāo)的位移均為 0。 8 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 慣性影響系數(shù)與質(zhì)量矩陣 質(zhì)量矩陣 [M]中的元素稱為慣性 （ 質(zhì)量 ） 影響系數(shù) ， 其 mij的力學(xué)意義是：僅在 j坐標(biāo)處產(chǎn)生單位廣義加速度 ， 需在 i坐標(biāo)處施加的廣義力 。 具體求解時 ， 只假設(shè) j坐標(biāo)處的加速度為 1， 其它各坐標(biāo)的加速度均為 0。 9 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 例：用剛度影響系數(shù)和慣性影響系數(shù)求標(biāo)準(zhǔn) mkc系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣 。 10 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 柔度影響系數(shù) Rij的力學(xué)意義是：在 j坐標(biāo)處作用單位廣義力 ， 引起 i坐標(biāo)處的廣義位移 。 由柔度影響系數(shù)就可以形成系統(tǒng)的柔度矩陣 [R]。 由材料力學(xué)的位移互等定理可知 Rij＝ Rji， 即柔度矩陣是對稱的 。 兩自由度系統(tǒng)的位移方程 —— 柔度矩陣 柔度影響系數(shù)與柔度矩陣 11 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 例：用柔度影響系數(shù)求標(biāo)準(zhǔn)mkc系統(tǒng)的柔度矩陣 。 12 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 以柔度矩陣表示的方程為位移方程 。 對標(biāo)準(zhǔn) mkc振動系統(tǒng) ， 質(zhì)量 m1和 m2上的靜位移可以表示為 {xst}=[R]{F}， 而系統(tǒng)的動位移為 1 1 1 1 1 2 1 22 2 2 3 2 2 1 2(){ } [ ]()F m x c x c x xxRF m x c x c x x? ? ? ???? ??? ? ? ???})]{[}]{[}]({[ xCxMFR ??? ???這就是系統(tǒng)振動方程的位移形式 。 位移方程 13 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 因為 [R]為正定矩陣 ， 于是位移方程又可寫為 }]{[}]{[}{}{][ 1 xCxMFxR ??? ???－與力形式的方程比較知 [K]=[R]－ 1， [R]=[K]－ 1 即對于正定系統(tǒng) [R]和 [K]互為逆矩陣 。 14 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 例 31】 求系統(tǒng)的振動微分方程 。 已知梁的抗彎剛度為 EI。 33aFawEI? 解：用影響系數(shù)法 。由材料力學(xué)撓度公式 2( 3 )6lFaw l aEI??15 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 3311( / 2 )3 2 4llRE I E I??則 231 2 2 1( / 2 ) 5( 3 )6 2 4 8l l lR R lE I E I? ? ? ?322 3lREI?3 25[]5 1 648lREI???????而 則方程為 120[]0mMm???????311 122202 5 005 1 6 048xx mlmEI? ? ? ??? ??????? ? ? ? ? ??????? ????? ? ? ?16 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 若寫為力方程形式 131 6 548[ ] [ ]527EIKRl? ??????????則方程為 11132 220 1 6 5 0480 52 07xxm EIm l?? ? ? ??? ??????? ? ? ? ? ??? ????? ???? ? ? ? ?下面用影響系數(shù)法直接求 [K]: 17 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 設(shè) x1=1,x2=0， 則由材料力學(xué)公式有： 3311 213311 215124 485048 3llkkE I E IllkkE I E I???????????同理有 3312 223312 225024 485148 3llkkE I E IllkkE I E I??????????? 求出各個剛度系數(shù)即組成剛度矩陣 [K]。 18 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 對于非標(biāo)準(zhǔn)的 mkc多自由度振動系統(tǒng) ， 用傳統(tǒng)的動力學(xué)方法建立運動微分方程比較困難 ， 更適合使用拉格郎日方程和能量的方法 。 拉格郎日方程為： 用拉格朗日方程 建立振動系統(tǒng)的運動微分方程 拉格朗日方程 ii i id T T VQd t x x x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?19 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 1ki k k kkk iirQ F F rxx???????? 其中： T為系統(tǒng)的動能 ， V為勢能 ， Qi為非有勢力的廣義力 ， drk為與非有勢廣義力 Fk對應(yīng)的廣義虛位移 。 實際計算廣義力 Qi時 ， 通常假設(shè)與 xi對應(yīng)的廣義虛位移不等于零 ， 其它虛位移都等于零 。 （ i＝ 1， 2） 20 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 例 32】 用拉格郎日方程推導(dǎo)兩自由度 mkc系統(tǒng)微振動微分方程 。 解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點和零勢能位置 。 221 1 2 21 ()2T m x m x??21 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 靜平衡位置： 2 2 2 21 1 1 1 2 1 2 2 2223 2 3 3 1 1 2 211[ ( ) ] [ ( ) ]221[ ( ) ]2V k x k x xk x m g x m g x? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?2 2 21 1 2 1 2 3 21 1 1()2 2 2V k x k x x k x? ? ? ?1 1 1 2 2 ,k m g k???? 2 2 2 3 3k m g k????則： 22 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 1 1 1 11()d T d m x m xd t x d t??????????2 2 2 22()d T d m x m xd t x d t??????????10Tx? ??20Tx? ??1 1 2 1 2 1 2 1 2 21( ) ( )V k x k x x k k x k xx? ? ? ? ? ? ??2 1 2 3 2 2 1 3 2 22( ) ( )V k x x k x k x k k xx? ? ? ? ? ? ? ? ??23 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 計算廣義力 ， 設(shè) m1產(chǎn)生虛位移 dx1， 而 dx2＝ 0， 則 1 1 1 1 1 2 1 2 1111 1 2 1 2 2()()F x c x x c x x xQxF c c x c x? ? ??? ? ??? ? ? ?同樣設(shè) m2產(chǎn)生虛位移 dx2， 而 dx1＝ 0， 則 2 2 3 2 2 2 2 1 2222 3 2 2 2 1()()F x c x x c x x xQxF c c x c x? ? ??? ? ??? ? ? ?24 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 代入拉格朗日方程 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 20 ( ) ( )m x k k x k x F c c x c x? ? ? ? ? ? ? ?得 ii i id T T V Qd t x x x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 1 3 2 2 2 3 2 2 2 10 ( ) ( )m x k x k k x F c c x c x? ? ? ? ? ? ? ?整理寫成矩陣形式即可 。 25 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 例 33】 用拉格郎日方程建立系統(tǒng)微