研究生統(tǒng)計(jì)學(xué)講義第6講第7章分類(lèi)資料統(tǒng)計(jì)描述與推斷(已修改)
2024-10-28 19:50 本頁(yè)面
【正文】 第七章 兩分類(lèi)資料的統(tǒng)計(jì)描述與推斷 第一節(jié) 二項(xiàng)分布和 Poisson分布 二項(xiàng)分布 (binomial distribution)是一種重要的離散型分布。其應(yīng)用條件：① 每次試驗(yàn)結(jié)果只能是相互對(duì)立的兩種情況中的一種，例如，某藥的療效為有效或無(wú)效；動(dòng)物毒性試驗(yàn)的結(jié)果為存活或死亡；化驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性或陰性；等等，二者中必居其一，且僅居其一；② 已知發(fā)生某一結(jié)果 (如陽(yáng)性 )的概率為常數(shù) π，則另一結(jié)果 (陰性 )發(fā)生的概率為 (1－ π)；③ 在 n次重復(fù)試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，即每次試驗(yàn)的結(jié)果不會(huì)影響其他試驗(yàn)的結(jié)果。在醫(yī)藥學(xué)中二項(xiàng)分布常用于分類(lèi)資料的抽樣研究，如總體率的估計(jì)、兩率的比較等。 1． 定義 若隨機(jī)變量 X 的概率函數(shù)為 Pn(x) = Cnxπx(1－ π)n－ x ， (x =1， 2， … ， n) () 則稱(chēng) X服從參數(shù)為 n和 π的二項(xiàng)分布 。 式中 Pn(x)為Pn(X=x)的簡(jiǎn)寫(xiě)； n 為試驗(yàn)次數(shù)； Cnx為從 n 個(gè)不同元素中 ， 每次取出 x 個(gè)元素的不同組合的種數(shù)； π是二項(xiàng)分布一個(gè)的參數(shù) ， 而不是圓周率 。 在醫(yī)藥統(tǒng)計(jì)中應(yīng)用二項(xiàng)分布時(shí) ， π表示總體陽(yáng)性率 ，一般用大樣本率 p來(lái)估計(jì) π； Pn(x)表示 n次試驗(yàn)中 ， 發(fā)生陽(yáng)性次數(shù)為 x的概率 ， 二項(xiàng)分布的概率函數(shù)為 Pn(x)=Cnxpx(1－ p)n－ x， (x =1， 2， … ， n ) () 二項(xiàng)分布的圖形如圖 91所示。 ∵ ΣCnxπx (1π)n－ x = [π+ (1π)]n =1， ∴ ΣCnxpx(1p)n－ x = [p +(1 p)]n =1。 由于二項(xiàng)分布變量取值的概率函數(shù)值 Cnxπx (1π)n－ x 或 Cnxpx(1p)n－ x正好是二項(xiàng)式 [π+(1π)]n或 [p +(1 p)]n的展開(kāi)式中，按 ?或 p的升冪排列的各項(xiàng)，故名二項(xiàng)分布。 所以，在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，一個(gè)二項(xiàng)分布變量各取值的概率之和為 1。 2． 二項(xiàng)分布的分布函數(shù) 二項(xiàng)分布的分布函數(shù)為： F (x) =P ( X ≤x) = Pn(0)+Pn (1)+...+Pn(x) () 例 某療法治痹癥的治愈率 π=60% ，用該療法治療痹癥三例 (n=3)，治愈例數(shù) x(x=0， 1， 2， 3)的情況如表 91 。 表 91 三例患者中治愈 x 例的情況 (治愈率 p=；治愈例數(shù) x = 0， 1， 2， 3) 治愈 例數(shù) x 三例患者可能的情況 一患者 二患者 三患者 治愈 x例的概率 * P3(x)= x 3 － x P(X≤x)** P(X≥x) 0 未愈 未愈 未愈 0 3= 1 1 愈 未愈 未愈 未愈 愈 未愈 未愈 未愈 愈 1 2= 2 愈 愈 未愈 愈 未愈 愈 未愈 愈 愈 2 1= 3 愈 愈 愈 3 0= 注： *三例患者中治愈 x例的概率函數(shù)為 P3(x)；**P(X≤x)為分布函數(shù) 3． 二項(xiàng)分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差 記二項(xiàng)分布的總體陽(yáng)性率為 π， π未知時(shí) ， 用大樣本率 p 來(lái)估計(jì) π。 由式 ()推導(dǎo)出二項(xiàng)分布變量 X的均數(shù)用絕對(duì)數(shù)表示時(shí)的計(jì)算公式為：總體均數(shù) μ= E (X) =nπ 相應(yīng)的樣本均數(shù) =n p () 改用相對(duì)數(shù) (率 )表示為： 總體率 =π，相應(yīng)的樣本率＝ p () 二項(xiàng)分布變量 X 的標(biāo)準(zhǔn)差用絕對(duì)數(shù)表示時(shí)的計(jì)算公式為： )1( ??? ?? n )1( pnps ?? () 二項(xiàng)分布變量的標(biāo)準(zhǔn)差用相對(duì)數(shù) (率 )表示時(shí)，稱(chēng)為率的標(biāo)準(zhǔn)誤，總體率的標(biāo)準(zhǔn)誤記為 σp，樣本率的標(biāo)準(zhǔn)誤記為 Sp，計(jì)算公式為： np)1( ????? nppS p /)1( ??() 二、 Poisson分布 Poisson分布 (Poisson distribution)是一種重要的離散型分布。適用條件：① 兩分類(lèi)的資料；② 所考察的事件發(fā)生率 π(一般用大樣本率 p來(lái)估計(jì) π)很小， n很大，nπ(或 np)為一不大的常數(shù)；③ 事件的發(fā)生是獨(dú)立的，如各病人的患病與否與他人無(wú)關(guān)。如人群中，對(duì)某種物質(zhì)中過(guò)敏的人數(shù)，遺傳缺陷、癌癥等非傳染性疾病的發(fā)病例數(shù)；又如大量產(chǎn)品中不合格品出現(xiàn)的次數(shù)；用顯微鏡觀察片子上每一格子內(nèi)的細(xì)菌數(shù)；細(xì)胞發(fā)生某種變化或細(xì)菌死亡的數(shù)目等等，都服從或近似服從Poisson分布。 Poisson分布可視為二項(xiàng)分布的特例。Poisson分布常用于研究單位容積 (或面積、時(shí)間 )內(nèi)稀有事件發(fā)生數(shù)的規(guī)律。 1．定義 若隨機(jī)變量 X 的概率函數(shù)為 ?? ?? exxPx!)((x=0,1,2,…,) () 參數(shù) λ系 Poisson分布的總體均數(shù) (即數(shù)學(xué)期望 )μ,μ=λ。 2． Poisson分布的均數(shù) 、 方差 Poisson分布的總體均數(shù) μ=λ= nπ，相應(yīng)的樣本均數(shù) = n p , 式中 π為稀有事件發(fā)生的概率 (π很小 )， π未知時(shí)，用大樣本率 p 來(lái)估計(jì) π。 式 ()的意思是：稀有事件在 n(n很大 )次試驗(yàn)中平均發(fā)生 nπ次 (π未知時(shí) ， 用大樣本率 p 來(lái)估計(jì) π)。 Poisson分布的方差 = 均數(shù) 3． Poisson分布的分布函數(shù)為 ?????xkkekxXP0!)( ?? () 4． Poisson分布具有可加性 如果相互獨(dú)立的 k 個(gè)隨機(jī)變量都服從 Poisson分布，則它們之和仍服從 Poisson分布，且均數(shù)為 k 個(gè)隨機(jī)變量的均數(shù)之和。如果以較小的度量單位觀察某一現(xiàn)象的發(fā)生數(shù)呈 Poisson分布時(shí)，把若干個(gè)小單位合并為一個(gè)大單位后，總計(jì)數(shù)亦呈Poisson分布，其均數(shù)等于以較小的度量單位時(shí)的均數(shù)之和。例如已知某放射性物質(zhì)每 10分鐘放射脈沖數(shù)呈Poisson分布， 5次測(cè)量的結(jié)果分別為 35， 34， 36， 38，34次，那么 50分鐘的脈沖數(shù) Σx = 35 + 34 + 36 + 38 + 34 =177次，亦呈 Poisson分布。 Poisson分布資料常利用可加性原理使均數(shù) μ＝ λ≥20，以便用正態(tài)近似法處理。 5． 三種分布的漸近關(guān)系 二項(xiàng)分布 、 Poisson分布和正態(tài)分布 ， 是三種基本的也是最重要的概率分布 ， 它們之間有著密切的漸近關(guān)系 ， 若所考察的事件發(fā)生率為 p，試驗(yàn)次數(shù)為 n， 則如圖 93。 (1) 二項(xiàng)分布資料 ， 當(dāng) p ( p≈ )，n50時(shí) ， 可用正態(tài)分布法近似計(jì)算；當(dāng) p p， n50， 均數(shù) μ＝ np10時(shí) ， 可用
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