【正文】 Romberg積分 設(shè) 是任意數(shù) , 是關(guān)于步長 h逼近 的近似公式 ,它們的誤差估計式為 (1) 0h ? ()Fh*F* 2 31 2 3( ) .. .F F h k h k h k h? ? ? ? ? Richardson外推法 外推法是用精確度較低的近似公式組合成精確度較高的近似公式的一種方法 . 這里 , k1,k2,k3,… 是一組常數(shù) . 我們希望找到一種簡便的方法 ,用近似公式 F(h)的組合 ,得到誤差階較高的近似公式 ,使 (2) 此時 , 逼近 F* 的誤差為 O(h2) 類似地 ,用 組合產(chǎn)生逼近 F* 的誤差 為 O(h3) 的近似公式等 .下面我們給出一種具體的組合方法 . ()Fh *F ()Oh2()Oh~ ()Fh~* 39。 2 39。 323( ) .. .F F h k h k h? ? ? ?~ ()Fh~ ()Fh按 (1)式 ,稱 逼近 的誤差為 .把 h 的冪次稱為誤差的階 ,例如 , 稱為二階誤差 把 (1)式改寫為 (3) 用 h/2代替 (3)式中的 h,得 (4) 用 2乘 (4)式再減去 (3)式 ,消去含 h的項 ,得 (5) 令 ,且記 * 2 31 2 3( ) .. .F F h k h k h k h? ? ? ? ?23*1 2 3( ) .. .2 2 4 8h h h hF F k k k? ? ? ? ?23* 2 323[ ( ) ( ( ) ( ) ) ] ( ) ( ) . . .2 2 2 2h h h hF F F F h k h k h? ? ? ? ? ? ? ?1 ( ) ( )F h F h?2 1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]22hhF h F F F h? ? ?那么 (5)式可寫為 (6) 這里 , 逼近 的誤差為 再用 h/2 代替 h , 使 (6)式變?yōu)? (7) 用 4乘 (7)式減去 (6)式 ,消去含 的項 ,得 (8) 同樣記 * 2 32 2 313( ) . . .24F F h k h k h? ? ? ?2 ()Fh 2()Oh* 2 32 2 313( ) . . .8 3 2F F h k h k h? ? ? ?2h*3 2223( / 2 ) ( ) 1[ ( ) ] . . .2 3 8F h F hhF F k h?? ? ? ?2232( / 2 ) ( )( ) ( )23F h F hhF h F ???*F(8)式可以寫為 (9) 這里 逼近 的誤差為 還是用 h/2代替 h代入 (9)式后 ,類似上述過 程 ,可以得到誤差為 的 一般地 ,對 ,有逼近 的誤差為 的遞推公式 (10) 也稱為關(guān)于步長 h的外推公式 . 表 71列出了 時 ,按 (10)式產(chǎn)生 的計算次序 ,表中各列左邊黑體數(shù)字表示序號 . *3331( ) . . .8F F h k h? ? ?3()Fh*F 3()Oh4()Oh4 ()Fh2 , 3 , ... ,kn?()kOh*F111 1( / 2 ) ( )( ) ( )2 2 1kkkk kF h F hhF h F ??? ?????2 , 3 , 4k ? ()kFh 表 71 例 1 設(shè) 帶余項的差分公式為 ()Oh 2()Oh 3()Oh 4()Oh11 : ( ) ( )F h F h?122 : ( ) ( ) 3 : ( )22hhF F F h?1 2 34 : ( ) ( ) 5 : ( ) 6 : ( )4 4 2h h hF F F F h?1 2 3 47 : ( ) ( ) 8 : ( ) 9 : ( ) 1 0 : ( )8 8 4 2h h h hF F F F F h?39。0()fx (11) 導出具有誤差為 的外推公式 . 解 令 用 h/2代替 h,得 (12) 為消去含 的項 ,用 4乘 (12)式減去 (11)式 ,得 239。 39。39。39。0 0 0 01( ) [ ( ) ( ) ] ( )26hf x f x h f x h f xh? ? ? ? ?4( 5 )0( ) . . .120h fx??2()jOh1 0 01( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2F h F h f x h f x hh? ? ? ? ?2439。 39。39。39。 ( 5 )0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) . . .2 2 4 1 9 2 0h h hf x F f x f x? ? ? ?2h2h 從而有 (13) 這里 這時 , 逼近 的誤差為 . 重復用 h/2代替 h并消去含 的項 ,得到逼近 的誤差為 的 外推公式為 ( 4 )39。 ( 5 )0 1 1 03 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) .. .2 1 6 0hhf x F F h f x? ? ? ?( 4 )39。 ( 5 )0 2 0( ) ( ) ( ) . . .480hf x F h f x? ? ?1121( / 2 ) ( )( ) ( )23F h F hhF h F ???2 ()Fh 39。 0()fx ( 4 )()Oh2ih ( 2 , 3 , . . . , 1 )ij??46( , , ...)hh如 39。 0()fx 2()jOh 注意 (14)式中第二項的分母為 而不 是 (10)式中的 .這是由于 (11)式中的余項 為關(guān)于 的冪次而不是關(guān)于 h的冪次 . Romberg求積方法 Romberg求積方法是以復化梯形公式為基 礎(chǔ) ,應(yīng)用 Richardson外推法導出的數(shù)值求積方 法 . 回憶 ,分別把積分區(qū) 111 1( / 2 ) ( )( ) ( ) 2 , 3 , .. .,2 4 1jjjj jF h F hhF h F j k??? ??? ? ??141j? ?121j? ?2h間 [a， b]分為 1,2,4等分的結(jié)果列入表 72. 表 72 k 1 1 2 2 3 4 12 kkm ??kkbahm??1h b a??21 ()2h b a??31 ()4h b a??1 [ ( ) ( ) ]2h f a f b?22[ ( ) ( ) 2 ( ) ]2h f a f b f a h? ? ?33{ ( ) ( ) 2 [ ( )2h f a f b f a h? ? ? ?33( 2 ) ( 3 ) ] }f a h f a h? ? ?我們還可以進一步推導出它們的遞推關(guān)系 .由 可以化為 類似地 ,有 一般地 ,把區(qū)間 [a,b]逐次分半 k1次 , 區(qū)間長度 (步長 )為 ,其中 .為 222[ ( ) ( ) 2 ( ) ]2hT f a f b f a h? ? ? ?12 1 21 { [ ( ) ( ) ] ( ) ] }22hT f a f b h f a h? ? ? ?1 1 21 [ ( ) ]2 T h f a h? ? ?3 2 2 3 31 [ ( ( ) ( 3 ) ) ]2T T h f a h f a h? ? ? ? ?( 1 , 2 , ... , )kn?kkbahm?? 12 kkm ??敘述方便起見 ,記 ,那么 , (15) 或 (16) 從而有 (17) 其中 . 按外推法的思想 ,可以把 (15)看成是關(guān)于 (1)kkTT?1( 1 )1[ ( ) ( ) 2 ( ( ) ) ]2kmkkkjhT f a f b f a jh??? ? ? ??( 1 ) 2 39。39。( ) ( )12bk k kabaf x d x T h f ?????[ , ]k ab? ?kh/2( 1 ) (