【正文】 第六章 方差分析 第一節(jié) 方差分析的基本原理 第二節(jié) 多重比較 第三節(jié) 方差分析的線性模型與期望均方 第四節(jié) 單向分組資料的方差分析 第五節(jié) 兩向分組資料的方差分析 第六節(jié) 方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 第一節(jié) 方差分析的基本原理 所謂 方差分析 (analysis of variance) ,是關(guān)于 k(k≥3)個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)測(cè)驗(yàn)方法，是將總變異剖分為各個(gè)變異來(lái)源的相應(yīng)部分，從而發(fā)現(xiàn)各變異原因在總變異中相對(duì)重要程度的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。 假設(shè)測(cè)驗(yàn)的依據(jù)是 :扣除了各種試驗(yàn)原因所引起的變異后的剩余變異提供了試驗(yàn)誤差的無(wú)偏估計(jì) 。 這里采用均方來(lái)度量試驗(yàn)處理產(chǎn)生的變異和誤差引起的變異 . 方差 是平方和除以自由度的商。 一、自由度和平方和的分解 設(shè)有 k組數(shù)據(jù)，每組皆具 n個(gè)觀察值，則該資料共有 nk個(gè)觀察值，其數(shù)據(jù)分組如表 。 表 每組具 n個(gè)觀察值的 k 組數(shù)據(jù)的符號(hào)表 組別 觀察值 ( yij， i=1， 2， … ， k； j=1,2… ， n) 總和 平均 均方 1 y11 y12 … y1j … y1n T1 2 y21 y22 … y2j … y2n T2 … … i yi1 yi2 … yij … yin Ti … … k yk1 yk2 … ykj … ykn Tk ?????? ??? ??? yyT ij????1y2yiykyy??21s22s2is??2ks 在表 ，總變異是 nk個(gè)觀察值的變異，故其自由度 v = nk－ 1，而其平方和 SST則為： ? ????? nk nk ijijT CyyySS1 122)(（ 61） 其中的 C稱為矯正數(shù)： nkTnkyC 22 ??? )( (62) 對(duì)于第 i 組的變異，有 212121121212)()()())((2)()()(yynyyyyyyyyyyyyyyyyinjiijnjinjiiijnjiijnjiiijnjij????????????????????????????從而總變異 (61)可以剖分為 : ? ??? ? ??? ? ???? ?? ?ki ikinj iijkinj ijTyynyyyySS121 121 12 )()()(（ 63） 即 總平方和 =組內(nèi) (誤差 )平方和 +處理平方和 組間變異由 k個(gè) 的變異引起，故其自由度 v =k－ 1 , 組間平方和 SSt 為： iy? ????? k k iit CnTyynSS1 122)( 組內(nèi)變異為各組內(nèi)觀察值與組平均數(shù)的變異，故每組具有自由度 v =n－ 1和平方和 ；而資料共有 k 組，故組內(nèi)自由度 v = k (n－ 1) ,組內(nèi)平方和 SSe 為： ? ?n iij yy12)(? ? ???? k n tTiije SSSSyySS1 12 ])([ (65) （ 64） 因此，得到表 ： 1)(1)(1)( ????? nkknk (66) 總自由度 DFT =組間自由度 DFt +組內(nèi)自由度 DFe 求得各變異來(lái)源的自由度和平方和后，進(jìn)而可得 : (67) ???????????????????????? ??? ?)()()()(1 2 1 222222nkyysMSkyynsMSnkyysMSiijeeittijTT組內(nèi)均方組間的均方總的均方 [例 ] 以 A、 B、 C、 D 4種藥劑處理水稻種子，其中 A為對(duì)照，每處理各得 4個(gè)苗高觀察值 (cm)，其結(jié)果如表 ，試分解其自由度和平方和。 表 水稻不同藥劑處理的苗高 (cm) 藥劑 苗高觀察值 總和 Ti 平均 A 18 21 20 13 72 18 B 20 24 26 22 92 23 C 10 15 17 14 56 14 D 28 27 29 32 116 29 T=336 =21 iyy 根據(jù) (66)進(jìn)行總自由度的剖分： 總變異自由度 DFT=(nk－ 1)=(4?4)－ 1=15 藥劑間自由度 DFt=(k－ 1)=4－ 1=3 藥劑內(nèi)自由度 DFe=k(n－ 1)=4?(4－ 1)=12 根據(jù) (63)進(jìn)行總平方和的剖分： 7 0 5 6443 3 622???? nkTC6 0 2322118 2222 ???????? ? ? CCySS ijT ?5044)116569272()(2222122?????????? ? ?C/CnTyynSSkiit或 5 0 4])2129()2114()2123()2118[(4 2222 ??????????tSS98504602)(1 1 1 1222????????? ? ? ? ?tTk n nk kiijiijeSSSSnTyyySS或 藥劑 A內(nèi)： 藥劑 B內(nèi)： 藥劑 C內(nèi)： 藥劑 D內(nèi)： 3847213202118 222221 ??????eSS2049222262420 222222 ??????eSS2645614171510 222223 ??????eSS1441 1 632292728 222224 ??????eSS所以 ? ? ??????? k n iije yySS1 12 9814262038)( 進(jìn)而可得均方： 1340156022 ./sMS TT ???0016835042 ./sMS tt ???17812982 ./sMS ee ???二、 F分布與 F測(cè)驗(yàn) 在一個(gè)平均數(shù)為 、方差為 的正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取兩個(gè)獨(dú)立樣本，分別求得其均方 s12 和 s22，將 s12 和 s22 的比值定義為 F： ? 2?2221)( ssF ?21， ??（ 68） 此 F值具有 s12 的自由度 v1 和 s22 的自由度 v2。 所謂 F分布 ，就是在給定的 v1 和 v2 下按上述方法從正態(tài)總體中進(jìn)行一系列抽樣，就可得到一系列的 F 值而作成一個(gè)分布。 F分布下一定區(qū)間的概率可從已制成的統(tǒng)計(jì)表查出。 F分布曲線特征： （ 1）具有平均數(shù) =1 （ 2）取值區(qū)間為 [0， ∞]； （ 3）某一特定曲線的形 狀則僅決定于參數(shù) v1和 v2 。 ?在 v1=1或 v1=2時(shí)， F分布 曲線是嚴(yán)重傾斜成反向 J型； F? Ff(F)?當(dāng) v1≥3時(shí)，曲線轉(zhuǎn)為偏態(tài) (圖 )。 4,5 21 ?? ??5,2 21 ?? ??5,1 21 ?? ??圖 F分布曲線 （隨 v1和 v2的不同而不同） F測(cè)驗(yàn)需具備條件： (1)變數(shù) y遵循正態(tài)分布 N( ， )， (2) s12 和 s22 彼此獨(dú)立 。 ? 2? 另外，在 F 測(cè)驗(yàn)中，如果作分子的均方小于作分母的均方，則 F1；此時(shí)不必查 F表即可確定 P，應(yīng)接受H0。 [例 ] 測(cè)定東方紅 3號(hào)小麥的蛋白質(zhì)含量 10次，得均方 s12 =；測(cè)定農(nóng)大 139小麥的蛋白質(zhì)含量 5次，得均方 s22 =。試測(cè)驗(yàn)東方紅 3號(hào)小麥蛋白質(zhì)含量的變異是否比農(nóng)大 139為大。 假設(shè) H0：東方紅小麥總體蛋白質(zhì)含量的變異和農(nóng)大 139一樣，即 ，對(duì) 。 22210 : σσH ? 2221: σσH A ? 顯著水平 =， v1=9， v2 =4時(shí)， =。 ?測(cè)驗(yàn)計(jì)算 : F = 此 F，即 P。 推斷：否定 H0，接受 HA，即東方紅 3號(hào)小麥蛋白質(zhì)含量的變異大于農(nóng)大 139。 [例 ] 在例 st2=，藥劑內(nèi)均方 se2=，具自由度 v1=3， v2=12。試測(cè)驗(yàn)藥劑間變異是否顯著大于藥劑內(nèi)變異？ 假設(shè) 對(duì) 220 : et σσH ? 22: etA σσH ?顯著水平 =， =。 ?測(cè)驗(yàn)計(jì)算： F = 查附表 5 v1 =3， v2=12時(shí) =， =，實(shí)得 F 。 推斷：否定 ，接受 ；即藥劑間變異顯著地大于藥劑內(nèi)變異，不同藥劑對(duì)水稻苗高是具有不同效應(yīng)的。 220 : et σσH ? 22: etA σσH ? 例 ，列出方差分析表，如表 。 表 水稻藥劑處理苗高方差分析表 變異來(lái)源 DF SS MS F 顯著 F值 藥劑處理間 3 504 ＊＊ F (3,12) = 藥劑處理內(nèi)(誤差 ) 12 98 F (3,12) = 總 15 602 第二節(jié) 多重比較 所謂 多重比較（ multiple parisons） 是指一個(gè)試驗(yàn)中 k個(gè)處理平均數(shù)間可能有 k(k－ 1)/2個(gè)比較，亦稱為 復(fù)式比較 。 多重比較有多種方法，本節(jié)將介紹常用的三種： 最小顯著差數(shù)法 復(fù)極差法 ( q法 ) Duncan氏新復(fù)極差法 一、最小顯著差數(shù)法 最小顯著差數(shù)法 (least significant difference，簡(jiǎn)稱 LSD法 )， 法實(shí)質(zhì)上是第五章的 t 測(cè)驗(yàn)。 其程序是： （ 1）在處理間的 F測(cè)驗(yàn)為顯著的前提下，計(jì)算出顯著水平為 的最小顯著差數(shù) ； （ 2）任何兩個(gè)平均數(shù)的差數(shù) ( )，如其絕對(duì)值≥ ，即為在水平上差異顯著；反之，則為在水平上差異不顯著。 ? αLSDji yy ?αLSD已知： )21 ji，k，jis yytji yyji ?????；，( ?若 |t|≥ ， 即為在 水平上顯著。 ?t因此，最小顯著差數(shù)為： ji yy ? ?ji yystL S D ?? ??(69) 當(dāng)兩樣本的容量 n相等時(shí)， nss eyy ji 22?? 在方差分析中，上式的 se2有了更精確的數(shù)值 MSe（因?yàn)榇俗杂啥仍龃螅?，因?(69)中 的為： ji yys ?eMSnMSs eyy ji 2?? (610) [例 ] 試以 LSD法測(cè)驗(yàn) 表 均數(shù)間的差異顯著性。 由 (例 )計(jì)算得 F=， MSe=， DFe=12， 故 )( cm0224 1782 ..sji yy????由附表 4， v =12時(shí)， =， = 故 = =(cm) = =(cm) 然后將各種藥劑處理的苗高與對(duì)照苗高相比，差數(shù)大于 ；大于 。 二、 q法 q測(cè)驗(yàn)是 StudentNewmanKeul基于極差的抽樣分布理論提出來(lái)的，或稱復(fù)極差測(cè)驗(yàn)，有時(shí)又稱 SNK測(cè)驗(yàn)或 NK測(cè)驗(yàn)。 q法是將一組 k個(gè)平均數(shù)由大到小排列后，根據(jù)所比較的兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)是幾個(gè)平均數(shù)間的極差分別確定最小顯著極差值 的。 q測(cè)驗(yàn)因是根據(jù)極差抽樣分布原理的，其各個(gè)比較都可保證同一個(gè) 顯著水平。 ?LSR? q測(cè)驗(yàn)尺度值構(gòu)成為： SEqL S R