【正文】 2020/9/15 1 第六章 方差分析 2020/9/15 2 主要內(nèi)容 第一節(jié) 方差分析簡(jiǎn)介 第二節(jié) 單因素方差分析 第三節(jié) 多因素方差分析 第四節(jié) 協(xié)方差分析 2020/9/15 3 第一節(jié) 方差分析簡(jiǎn)介 方差分析是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家 R. A. Fisher（ 18901962）在進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)為解釋試驗(yàn)數(shù)據(jù)而首先引入的。方差分析是一種通過分析樣本資料各項(xiàng)差異的來源以檢驗(yàn)三個(gè)以上總體平均數(shù)是否相等的統(tǒng)計(jì)方法。目前，方差分析方法在各個(gè)領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。 方差分析的核心就是方差可分解。即將總變異分解為由隨機(jī)誤差造成的變異（組內(nèi)SS）與由均數(shù)差異造成的變異（組間 SS）兩個(gè)部分。如果后者大于前者，且具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，我們將拒絕零假設(shè)，即認(rèn)為總體中均數(shù)間存在差異。 4 2020/9/15 一、方差分析的作用 在諸多領(lǐng)域的數(shù)量分析研究中，找到眾多影響因素中重要的影響因素是非常重要的。比如：在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，我們總是希望在盡量少的投入成本下得到較高的農(nóng)作物產(chǎn)量。這就需要首先分析農(nóng)作物的產(chǎn)量究竟受到哪些因素的影響。有許多因素會(huì)影響農(nóng)作物的產(chǎn)量，如種子的品種、施肥量、氣候、地域等，他們都會(huì)給農(nóng)作物的產(chǎn)量帶來或多或少的影響。如果我們能夠掌握在眾多的影響因素中，哪些因素對(duì)農(nóng)作物的產(chǎn)量起到了主要的、關(guān)鍵性的作用，我們就可以根據(jù)實(shí)際情況對(duì)這些關(guān)鍵因素加以控制。 進(jìn)一步，在掌握關(guān)鍵影響因素，如品種、施肥量因素等之后，我們還要對(duì)不同的品種、不同的施肥量條件下的產(chǎn)量進(jìn)行對(duì)比分析，研究究竟哪個(gè)品種的產(chǎn)量高，施肥量究竟多少最合適，哪種品種與哪種施肥量搭配最優(yōu)，等等。在這些分析研究的基礎(chǔ)上，我們就可以計(jì)算出各個(gè)組合方案的成本和收益，并選擇最合理的種植方案，主動(dòng)的在農(nóng)作物種植過程中對(duì)各種影響因素加以準(zhǔn)確控制，進(jìn)而獲得最理想的效果。 5 2020/9/15 二、相關(guān)概念 影響因素的分類：在所有的影響因素中根據(jù)是否可以人為控制可以分為兩類，一類是人為可以控制的因素，稱為控制因素或控制變量，如種子品種的選定，施肥量的多少；另一類因素是認(rèn)為很難控制的因素，稱為隨機(jī)因素或隨機(jī)變量，如氣候和地域等影響因素。在很多情況下隨機(jī)因素指的是實(shí)驗(yàn)過程中的抽樣誤差。 控制變量的不同水平：控制變量的不同取值或水平，稱為控制變量的不同水平。如甲品種、乙品種； 10公斤化肥、 20公斤化肥、 30公斤化肥等。 觀測(cè)變量：受控制變量和隨機(jī)變量影響的變量稱為觀測(cè)變量，如農(nóng)作物的產(chǎn)量等。 方差分析就是從觀測(cè)變量的方差入手，研究諸多控制變量中哪些變量是對(duì)觀測(cè)變量有顯著影響的變量以及對(duì)觀測(cè)變量有顯著影響的各個(gè)控制變量其不同水平以及各水平的交互搭配是如何影響觀測(cè)變量的一種分析方法。 6 2020/9/15 三、方差分析的原理 方差分析認(rèn)為，如果控制變量的不同水平對(duì)觀測(cè)變量產(chǎn)生了顯著影響，那么它和隨機(jī)變量共同作用必然使得觀測(cè)變量值顯著變動(dòng)；反之，如果控制變量的不同水平?jīng)]有對(duì)觀測(cè)變量產(chǎn)生顯著影響，那么觀測(cè)變量值的變動(dòng)就不明顯，其變動(dòng)可以歸結(jié)為隨機(jī)變量影響造成的。 建立在觀測(cè)變量各總體服從正態(tài)分布和同方差的假設(shè)之上，方差分析的問題就轉(zhuǎn)化為在控制變量不同水平上的觀測(cè)變量均值是否存在顯著差異的推斷問題了。 綜上所述，方差分析從對(duì)觀測(cè)變量的方差分解入手，通過推斷控制變量各水平下各觀測(cè)變量的均值是否存在顯著差異，分析控制變量是否給觀測(cè)變量帶來了顯著影響，進(jìn)而再對(duì)控制變量各個(gè)水平對(duì)觀測(cè)變量影響的程度進(jìn)行剖析。 根據(jù)控制變量的個(gè)數(shù)可將方差分析分為單因素方差分析、多因素方差分析；根據(jù)觀測(cè)變量的個(gè)數(shù)可將方差分析分為一元方差分析（單因變量方差分析）和多元方差分析（多因變量方差分析）。 2020/9/15 7 四、方差分析過程 OneWay過程：?jiǎn)我蛩睾?jiǎn)單方差分析過程。在 Compare Means菜單項(xiàng)中，可以進(jìn)行單因素方差分析、均值多重比較和相對(duì)比較。 General Linear Model(簡(jiǎn)稱 GLM)過程： GLM過程由 Analyze菜單直接調(diào)用。這些過程可以完成簡(jiǎn)單的多因素方差分析和協(xié)方差分析，不但可以分析各因素的主效應(yīng)，還可以分析各因素間的交互效應(yīng)。 2020/9/15 8 ? 在 General Linear Model菜單項(xiàng)下有四項(xiàng)： ? Univariate：提供一個(gè)因變量與一個(gè)或多個(gè)因素變量的方差分析。 ? Multivariate:可進(jìn)行多 因變量的多因素分析 ? Repeated Measure:可進(jìn)行重復(fù)測(cè)量方差分析 ? Variance Component：可進(jìn)行方差成分分析。通過計(jì)算方差估計(jì)值，可以幫助我們分析如何減小方差。 2020/9/15 9 第二節(jié) 單因素方差分析 一、簡(jiǎn)介 單因素方差分析是檢驗(yàn)由單一因素影響的多組樣本某因變量的均值是否有顯著差異的問題。如果各組之間有顯著差異，說明這個(gè)因素（分類變量）對(duì)因變量是有顯著影響的，因素的不同水平會(huì)影響到因變量的取值。 二、完全窗口分析 按 Analyze?Compared Means ? OneWay Anova順序單擊。打開 OneWay Anova主對(duì)話框，如圖 61。 2020/9/15 10 選入因變量，可有多個(gè)變量 選入分組變量，必須滿足只取有限個(gè)水平的條件。 圖 61 OneWay Anova主對(duì)話框 見圖 62 見圖 63 見圖 64 11 2020/9/15 （ 1） Contrasts選項(xiàng) Contrasts選項(xiàng)用來實(shí)現(xiàn)先驗(yàn)對(duì)比檢驗(yàn)和趨勢(shì)檢驗(yàn)。 如果進(jìn)行趨勢(shì)檢驗(yàn)，則應(yīng)選擇 Polynomial選項(xiàng)，然后在后面的下拉框中選擇趨勢(shì)檢驗(yàn)的方法。其中 Linear表示線性趨勢(shì)檢驗(yàn)； Quadratic表示進(jìn)行二次多項(xiàng)式檢驗(yàn)；Cubic表示進(jìn)行三次多項(xiàng)式檢驗(yàn)， 4th和 5th表示進(jìn)行四次和五次多項(xiàng)式檢驗(yàn)。 如果進(jìn)行先驗(yàn)對(duì)比檢驗(yàn)，則應(yīng)在 Coefficients后依次輸入系數(shù) ci，并確保 ∑ci＝ 0。應(yīng)注意系數(shù)輸入的順序，它將分別與控制變量的水平值相對(duì)應(yīng)。 2020/9/15 12 圖 6— 2 Contrasts對(duì)話框 對(duì)組間平方和進(jìn)行多項(xiàng)式分解，并在其后的參數(shù)框中選定階數(shù)。 如一階：Linear，二階：Quadratic，三階：Cubic……. 最高可達(dá)五階 輸入多項(xiàng)式各組均值的系數(shù)，輸入一個(gè)系數(shù)單擊 Add按鈕，系數(shù)進(jìn)入下面方框，依次輸入各組均值的系數(shù)。 如果多項(xiàng)式中只包括第一與第四組的均值的系數(shù)，必須把第二、第三個(gè)系數(shù)輸入為 0。 如果只包括第一與第二組的均值，則第三、第四個(gè)可不輸入。 可同時(shí)建多個(gè)多項(xiàng)式，輸入一組后按 Next按鈕；如果要修改則按 Previous按鈕，修改后按 Change按鈕，刪除按 Remove按鈕。 顯示每組系數(shù)的總和。 13 2020/9/15 （ 2） Post Hoc選項(xiàng) Post Hoc選項(xiàng)用來實(shí)現(xiàn)多重比較檢驗(yàn)。 提供了 18種多重比較檢驗(yàn)的方法。其中 Equal Variances Assumed框中的方法適用于各水平方差齊性的情況。在方差分析中，由于其前提所限，應(yīng)用中多采用Equal Variances Assumed框中的方法。多重比較檢驗(yàn)中， SPSS默認(rèn)的顯著性水平為 ，可以根據(jù)實(shí)際情況修改 Significance level后面的數(shù)值以進(jìn)行調(diào)整。 2020/9/15 14 圖 6— 3 Post Hoc對(duì)話框 在此對(duì)話框中選擇進(jìn)行多重比較的方法 t檢驗(yàn)完成組間成對(duì)均值的比較，對(duì)多重比較錯(cuò)誤率不 進(jìn)行調(diào)整 ，但通過設(shè)置每個(gè)檢驗(yàn)的誤差率來控制整個(gè)誤差率 t檢驗(yàn)完成多重配對(duì)比較，為多重比較調(diào)整顯著值，但 比 2的界限要小 F檢驗(yàn)進(jìn)行多重比較 Studentized Range分布下進(jìn)行多重比較 Studentized Range分布進(jìn)行所有各組均值間的配對(duì)比較 Studentized Range統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行所有組間均值的配對(duì)比較 , 用所有配對(duì)比較集合的誤差率作為試驗(yàn)誤差率 8,但其臨界值是 TUKEY和 SNK的相應(yīng)值的平均值 ,使用的逐步順序與 StudentNewman Keuls檢驗(yàn)的順序一樣，但并不是給每個(gè)檢驗(yàn)設(shè)定一個(gè)誤差率 ,而是給所有檢驗(yàn)的誤差率設(shè)定一個(gè)臨界值 Studentized最大系數(shù)進(jìn)行比較檢驗(yàn)和范圍檢驗(yàn) Studentized最大系數(shù)進(jìn)行配對(duì)比較檢驗(yàn) Studentized最大系數(shù)進(jìn)行比較檢驗(yàn) ,使用貝葉斯逼近 t檢驗(yàn)進(jìn)行配對(duì)比較 t檢驗(yàn)進(jìn)行配對(duì)比較， Studentized 最大系數(shù)進(jìn)行配對(duì)比較檢驗(yàn) ,這種方法有時(shí)比較自由 Studentized Range統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行配對(duì)比較檢驗(yàn) 規(guī)定顯著性水平 ,默認(rèn)為 15 2020/9/15 （ 3） Option選項(xiàng) Option選項(xiàng)用來對(duì)方差分析的前提條件進(jìn)行檢驗(yàn)，并可輸出其他相關(guān)統(tǒng)計(jì)量和對(duì)缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。 Homogeneity of variance test選項(xiàng)實(shí)現(xiàn)方差齊性檢驗(yàn)； Descriptive選項(xiàng)輸出觀測(cè)變量的基本描述統(tǒng)計(jì)量； BrownForsythe、 Welch選項(xiàng)可計(jì)算其統(tǒng)計(jì)量以檢驗(yàn)各組均值的相等性，當(dāng)方差齊性不成立時(shí)應(yīng)選擇使用這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量而不是 F統(tǒng)計(jì)量 。 Means Plot選項(xiàng)輸出各水平下觀測(cè)變量均值的折線圖； Missing Values框中提供了兩種缺失數(shù)據(jù)的處理方式。 2020/9/15 16 圖 6— 4 Options對(duì)話框 選擇缺失值的處置方式 : 在檢驗(yàn)變量中含有缺失值的觀測(cè)將不被計(jì)算 在任何一個(gè)變量中含有缺失值的觀測(cè)都將不被計(jì)算 規(guī)定輸出的統(tǒng)計(jì)量 : 輸出描述統(tǒng)計(jì)量 ,包括觀測(cè)量數(shù)目 ,均值 ,最小值 ,最大值 ,標(biāo)準(zhǔn)差 ,標(biāo)準(zhǔn)誤差 ,各組中每個(gè)因變量均值的95%的置信區(qū)間 用 Levene檢驗(yàn)進(jìn)行方差一致性檢驗(yàn) 輸出均數(shù)分布圖 三、例題分析 例 1 [061]某燈泡廠用四種不同配料方案制成的燈絲，生產(chǎn)了四批燈泡。每批燈泡中隨機(jī)抽取若干個(gè)燈泡測(cè)其使用壽命 (單位：小時(shí) )，數(shù)據(jù)如表 61，求四種燈絲的燈泡的使用壽命有無顯著差異。 2020/9/15 17 表 61 燈泡使用壽命 在該例中，設(shè)燈泡的使用壽命為因變量，燈絲的配料為因子，四種配料方案為四水平，為單因子四水平的實(shí)驗(yàn)。 (數(shù)據(jù)文件： 061燈泡壽命 .sav) 燈泡 燈絲 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 1600 1610 1650 1680 1700 1700 1780 乙 1500 1640 1400 1700 1750 丙 1640 1550 1600 1620 1640 1600 1740 1800 丁 1510 1520 1530 1570 1640 1680 2020/9/15 18 不使用選擇項(xiàng)操作步驟 1）定義兩個(gè)變量： Filament變量，取值 4分別代表甲、乙、丙、丁，標(biāo)簽為“燈絲” Hours變量其值為燈泡的使用壽命，標(biāo)簽為“燈泡使用壽命” 2）按 Analyze?Compared Means ? OneWay Anova順序打開“單因素分析”主對(duì)話框。 3）從源變量框中選取 hours進(jìn)入 Dependent List框中； 選取filament變量進(jìn)入 Factor框中，單擊“ OK”運(yùn)行。 4）輸出結(jié)果及分析 2020/9/15 19 A N O V AH O U R S3 9 7 7 6 . 4 5 6 3 1 3 2 5 8 . 8 1 9 1 . 6 3 8 . 2 0 91 7 8 0 8 8 . 9 3 22 8 0 9 4 . 9 5 12 1 7 8 6 5 . 3 8 25B e t w e e n G r o u p sW i t h i n G r o u p sT o t a lS u m o fS q u a r e s df M e a n S q u a r e F S i g .表 62 燈泡使用壽命的單因素方差分析結(jié)果 表 62說明： 第一列：方差來源；第二列：離差平方和； 第三列：自由度； 第四列：均方； 第五列： F值； 第六列： F統(tǒng)計(jì)量的 P值。 使用選擇項(xiàng)操作步驟 1）定義變量和選取變量同 1（第 13步）的操作步驟 2020/9/15 20 2）在主對(duì)話框中單擊“ Contrast”，在 Contrast對(duì)話框中選擇