【正文】 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 28 第二章 一維 隨機(jī)變量及其分布 ■ 2020 考試內(nèi)容 隨機(jī)變量 隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì) 離散型隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 常見隨機(jī)變量的分布 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 ■ 2020 考試要求 1． 理解隨機(jī)變量的概念，理解分布函數(shù) ( ) { } ( )F x P X x x? ? ? ? ? ? ? ? 的概念及性質(zhì)，會計算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率。 2． 理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握 0— 1 分布、二項分布 ? ?, Bn p 、幾何分布、超幾何分布、泊松（ Poisson）分布 ??P? 及其應(yīng)用。 3． 了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會用泊松分布近似表示二項分布。 4． 理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布 U（ a,b）、正態(tài)分布 N（ 2,?? ）、指數(shù)分布及其應(yīng)用，其中參數(shù)為 ( 0)??? 的指數(shù)分布 E（ ? ）的概率密度為 , 0 ,() 0 , 0 .xefx x?? ???? ?????若 x若 5． 會求隨機(jī)變量函數(shù)的 分布。 本章 導(dǎo)讀 本章的核心內(nèi)容是 8 大 分布 函數(shù) 及其對應(yīng)的 模型 ；如何根據(jù)定義 求的函數(shù)分布一般方法 。介紹了作者用于分布函數(shù)求一維分布的 直角分割法 秘技 。 分布函數(shù)的定義歷來是使讀者感到迷茫的知識點(diǎn)，如為什么要求分布函數(shù)必須右連續(xù)等問題？目前的教材和參考書的講法都不清晰，作者系統(tǒng)地揭開了這一 神秘 數(shù)學(xué)面紗 。 一、 隨機(jī)變量 1 概 念 隨機(jī)試驗的每一個可能的結(jié)果 e （即每一基本事件）， 對 應(yīng) 樣本間 的 集合 ??e?? 中每一元素， 我們都可 以設(shè)令 一個實數(shù) ??Xe來表示該元素 ， 顯然， ??Xe為實值 單值 函 數(shù) ? ?X X e? ，稱 X 為隨機(jī)變量 。 對 e ，我們試驗前無法確定，也就無法事先確定 X 的值，只有在試驗后才會知道 X 的值 ，但 X 取值 一定 服從 某種 確定的 分布。 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 29 隨機(jī)變量與普通函數(shù)區(qū)別有三，第一，隨機(jī)變量定義 域為 樣本空間 的基本事件 ；第二，隨機(jī)變量取值是隨機(jī)的，只有它取每一個可能值有確定的概率；第三，隨即變量是隨機(jī)事件的人為數(shù)量化 ，而且這種數(shù)值只是一種符號表示 。 比如： 將一枚硬幣拋三次，以 X 表示三次投擲中出現(xiàn)正面 ? ? HT用 表 示 正 面 ， 表 示 反 面的總次數(shù)，那么，對于樣本空間 ??e?? 中的每一個樣本點(diǎn) e ， X 都有一個值與之對應(yīng)，即 樣本點(diǎn) HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X 的值 3 2 2 2 1 1 1 0 二、 隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 隨機(jī)變量的 分布 函 數(shù) （ 適合任何類型的隨即變量 ） 陳氏第 2 技 隨機(jī)變量的分布函數(shù)的全新揭秘。 ● 分布函數(shù) 定義形式的淵源 一般情況下，人們 只對某個區(qū)間內(nèi)的概率感興趣，即研究 下列四種可能的區(qū)間的概率 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2 P x X x P x X x P x X x P x X x? ? ? ? ? ? ? ? 或 或 或 讀者只要利用一維坐標(biāo)軸就分容易得出下列結(jié)論 當(dāng) 0??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 2 2 11 2 2 11 2 2 11 2 2 1 P x X x P X x P X xP x X x P X x P X xP x X x P X x P X xP x X x P X x P X x????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? 所以，我們只須 定義一個 ? ?P X x? 形式 就可以了， 其他區(qū)間 形式 都可以用它表示出來。 于是定義： ? ? ? ?F x P X x??為 X 的分布函數(shù) 。 它就是 X 落在任意區(qū)間 ? ?,x?? 上的概率，本質(zhì)上是一個 累積函數(shù) ， 對于離散點(diǎn)，采用疊加，對于連續(xù)點(diǎn)，使用一元積分 。 ● ??Fx具有下列 重要 性質(zhì) ： ??a 單凋不減 ； 因為區(qū)間越大，概率越大。 ??b ? ? ? ? ? ? ? ?l i m 1 , l i m 0xxF F x F F x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?； 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 30 ??c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?01 2 2 1 2 11 2 2 1 2 11 2 2 1 2 11 2 2 1 2 10 0 0 000 0 0000000 0 l im110xxP x X x P X x P X x F x F xP x X x P X x P X x F x F xP x X x P X x P X x F x F xP x X x P X x P X x F x F xP X x F x F x F x F xP X x P X x F xP X x F x??????? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ????????? 上述全部可能的表示中，只有 ? ?0Fx? ，但 ? ? ? ?0F x F x?? ，因為 假如 ? ? ? ?110F x F x?? ，那么， 當(dāng) 離散型在 1x 點(diǎn)的概率不為零 時 ， 等式 ? ? ? ?1 2 1 2P x X x P x X x? ? ? ? ?就會出現(xiàn) 矛盾 ，故 ??Fx不可能左連續(xù) 。 其中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?00 0 0 0 00 l imxxP X x F x F x F x F x??? ? ? ? ? ?是計算離散型分布函數(shù)的重要公式。 又，上式中根本不可能出現(xiàn) ? ?0Fx? 的形式， ? ? ? ?0F x F x?? 對上述 5 種關(guān)系沒有任何影響，即 ??Fx右連續(xù) ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 00 。 0 且 F x F x F x F x? ? ? ?????。 當(dāng)然， 由于連續(xù)型在一點(diǎn)的概率恒為零，所以， 連續(xù)型分布函數(shù) 左連續(xù)和右連續(xù)同時成立。 正是要求 ??Fx右連續(xù)，才使 ??Fx成為分布函數(shù)的 普適定義 。 評 注 分布函數(shù)可以描述任何類型的隨 機(jī) 變量，不僅可以描述連續(xù)型，還可以 描述 離散 型及其其他非連續(xù)型 ，但不同的隨機(jī)變量可以有相同的分布函數(shù) 。 對連續(xù)型 任一點(diǎn) 的概率等于零，而 對 非連續(xù)型 任一點(diǎn)的概率不 一定 等于零 。 我們要重點(diǎn)掌握離散和連續(xù)兩類隨機(jī)變量的分布規(guī)律。 注意，存在 既非離散型又非連續(xù)型的 分布函數(shù) ，如 ? ?0 , 01 , 0 121, 1xF x x xx????? ? ??? ???等類型。 2． 2 離散型隨機(jī)變量的分布律 （概率 分布 ） 當(dāng) 隨機(jī)變量所取的有限個或可 列個值，能夠按照由小到大的順序排列時，稱為離散型 隨機(jī)變量。 當(dāng)已知分布函數(shù)，求 分布律（概率分布） 的計算方法是 （參閱 【 例 9】 ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?00 0 0 0 00 l imxxP X x F x F x F x F x??? ? ? ? ? ?。 設(shè) 離散型隨機(jī)變量 X 的可能取值為 ? ?1,2,kxk? ，事件 ? ?kXx? 的概率為 ? ?kkP X x p?? ， 離散型分布函數(shù) 稱為 離散分布律 ，一般使用列表表示 。注意 : 1 1kk p?? ??。要求掌握的離散2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 31 性分布律有 5 種 ： 01? 分布，伯努利二項分布，泊松分布，幾何分布和超幾何分布。 評 注 離散分布函數(shù) ? ? ? ?F x P X x??一般為階梯函數(shù) 。已知離散分布函數(shù) ??Fx，根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì) ， 可以計算出離散分布律 ? ?kP X x? ；反過來， 已知離散分布律 ? ?kP X x? ， 根據(jù)一維直角分割法， 可以 計算出離散分布函數(shù) ??Fx。 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度（分布密度） ? ? ? ?xF x f t dt??? ? 稱為連續(xù)分布函數(shù) ? ? ? ?f t F x?? 稱為概率密度，或分布密度 。 離散型分布函數(shù)反應(yīng)在各個分布點(diǎn)上，而連續(xù)型分布點(diǎn)上的分布函數(shù)為 0，顯然不能反應(yīng)其分布本質(zhì)，故而使用其相應(yīng)的 ??fx概率 密度 或稱 分布密度 來反 應(yīng)分布規(guī)律 。 ● 連續(xù)型 ??Fx具有下列性質(zhì) ??a 連續(xù)型 ??Fx是連續(xù)函數(shù) （左右均連續(xù)） ，即： ? ? ? ?0F x F x?? ； ??b 連續(xù)型 ??Fx幾何意義是面積，且： ? ?0 0F x x??； ??c ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 0F f t dt F f t dt? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ??? ??d 要求掌握的 連續(xù)型分布函共有 3 種 ：均勻分布，指數(shù)分布和正態(tài)分布。 陳氏第 3 技 常年考點(diǎn)用到的 5 個 分布函數(shù)組合的 重要結(jié)論 。 ??1 只有存在 概率密度 （不恒為零） 的隨機(jī)變量才稱為連續(xù)型，但不能錯誤認(rèn)為分布函數(shù)連續(xù)的隨機(jī)變量為連續(xù)型。 如分布函數(shù) ? ? 100, 1F x x?? 就 不是連續(xù)型。 ??2 若 ? ? ? ? ? ?1 2 n, , , F x F x F x均是分布函數(shù)，則當(dāng) 10, 1niiiaa???? 時 ? ?1niii aF x??和 ? ?1niii aF x??仍然為分布函數(shù) 。 ??3 若 ? ? ? ? ? ?12, , , nf x f x f x均是分布函數(shù)，則當(dāng) 10, 1niiiaa???? 時 ? ?1niii af x??仍然為分布函數(shù)，但 ? ?1niii af x??不一定 是 分布函數(shù) 。 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 32 ??4 如果 X 為連續(xù)型，則 Y aX b??也是連續(xù)型，且 ? ? 1YXybf y faa???? ????，若 如果 X 為離散型，則 Y aX b??卻不一定為離散型 ，如 X 服從 泊松分布 ， Y aX b??就 不再 是 泊松分布 。 ??5 普適分布函數(shù)和 離散型分布函數(shù)右連續(xù)；連續(xù)型分布函數(shù)左右都連續(xù)；但密度函數(shù)不 一定連續(xù) ，而且一般規(guī)定： 區(qū)間 端點(diǎn)（注意不是分界點(diǎn)）處密度函數(shù)值取零 。 評 注 設(shè) 1X 和 2X 是任意兩個獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為 ? ? ? ?12, f x f x ；分布函數(shù)分別為 ? ? ? ?12, F x F x ，則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 21 2 1 2 必 為 某 一 的 概 率 密 度 。 必 為 某 一 的 概 率 密 度 。 必 為 某 一 的 分 布 函 數(shù) 。 必 為 某 一 的 分 布 函 數(shù) 。A f x f x X B f x f x XC F x F x X D F x F x X?? 解：選 ??D 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 2 1 212,1 2 1 21 2 1 21 1 2 11 1 2 11 , 2 1 1 , 0 1。 0 10 , 0 , 錯 誤 ；錯 誤 ； 取 錯 誤 。 取 xf x f x d x f x d x f x d x AF F Cxxf x f x f x f x Bo the r o the rX M a x X X F x P X x P M a x X X x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?