【正文】 分布函數(shù)可以描述任何類(lèi)型的隨 機(jī) 變量，不僅可以描述連續(xù)型，還可以 描述 離散 型及其其他非連續(xù)型 ，但不同的隨機(jī)變量可以有相同的分布函數(shù) 。 又，上式中根本不可能出現(xiàn) ? ?0Fx? 的形式， ? ? ? ?0F x F x?? 對(duì)上述 5 種關(guān)系沒(méi)有任何影響，即 ??Fx右連續(xù) ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 00 。 它就是 X 落在任意區(qū)間 ? ?,x?? 上的概率，本質(zhì)上是一個(gè) 累積函數(shù) ， 對(duì)于離散點(diǎn)，采用疊加，對(duì)于連續(xù)點(diǎn)，使用一元積分 。 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書(shū)系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 29 隨機(jī)變量與普通函數(shù)區(qū)別有三，第一，隨機(jī)變量定義 域?yàn)?樣本空間 的基本事件 ；第二，隨機(jī)變量取值是隨機(jī)的，只有它取每一個(gè)可能值有確定的概率；第三，隨即變量是隨機(jī)事件的人為數(shù)量化 ，而且這種數(shù)值只是一種符號(hào)表示 。介紹了作者用于分布函數(shù)求一維分布的 直角分割法 秘技 。 2． 理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握 0— 1 分布、二項(xiàng)分布 ? ?, Bn p 、幾何分布、超幾何分布、泊松（ Poisson）分布 ??P? 及其應(yīng)用。 3． 了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會(huì)用泊松分布近似表示二項(xiàng)分布。 分布函數(shù)的定義歷來(lái)是使讀者感到迷茫的知識(shí)點(diǎn)，如為什么要求分布函數(shù)必須右連續(xù)等問(wèn)題？目前的教材和參考書(shū)的講法都不清晰，作者系統(tǒng)地揭開(kāi)了這一 神秘 數(shù)學(xué)面紗 。 比如： 將一枚硬幣拋三次，以 X 表示三次投擲中出現(xiàn)正面 ? ? HT用 表 示 正 面 ， 表 示 反 面的總次數(shù)，那么，對(duì)于樣本空間 ??e?? 中的每一個(gè)樣本點(diǎn) e ， X 都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，即 樣本點(diǎn) HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X 的值 3 2 2 2 1 1 1 0 二、 隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 隨機(jī)變量的 分布 函 數(shù) （ 適合任何類(lèi)型的隨即變量 ） 陳氏第 2 技 隨機(jī)變量的分布函數(shù)的全新揭秘。 ● ??Fx具有下列 重要 性質(zhì) ： ??a 單凋不減 ； 因?yàn)閰^(qū)間越大，概率越大。 0 且 F x F x F x F x? ? ? ?????。 對(duì)連續(xù)型 任一點(diǎn) 的概率等于零，而 對(duì) 非連續(xù)型 任一點(diǎn)的概率不 一定 等于零 。 當(dāng)已知分布函數(shù)，求 分布律（概率分布） 的計(jì)算方法是 （參閱 【 例 9】 ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?00 0 0 0 00 l imxxP X x F x F x F x F x??? ? ? ? ? ?。 評(píng) 注 離散分布函數(shù) ? ? ? ?F x P X x??一般為階梯函數(shù) 。 ● 連續(xù)型 ??Fx具有下列性質(zhì) ??a 連續(xù)型 ??Fx是連續(xù)函數(shù) （左右均連續(xù)） ，即： ? ? ? ?0F x F x?? ； ??b 連續(xù)型 ??Fx幾何意義是面積，且： ? ?0 0F x x??； ??c ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 0F f t dt F f t dt? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ??? ??d 要求掌握的 連續(xù)型分布函共有 3 種 ：均勻分布，指數(shù)分布和正態(tài)分布。 ??2 若 ? ? ? ? ? ?1 2 n, , , F x F x F x均是分布函數(shù)，則當(dāng) 10, 1niiiaa???? 時(shí) ? ?1niii aF x??和 ? ?1niii aF x??仍然為分布函數(shù) 。 評(píng) 注 設(shè) 1X 和 2X 是任意兩個(gè)獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為 ? ? ? ?12, f x f x ；分布函數(shù)分別為 ? ? ? ?12, F x F x ，則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 21 2 1 2 必 為 某 一 的 概 率 密 度 。A f x f x X B f x f x XC F x F x X D F x F x X?? 解：選 ??D 。 正 確 。 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書(shū)系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 33 ? ? ? ?1 , 0 1P X p P X p q? ? ? ? ? ? 01 分布為： ? ? ? ? ? ?1 11 1 ~ 1 , , 0 , 1 .kk k k kP X k C p p p q B p k? ?? ? ? ? ? （ 2） 伯 努利二項(xiàng)分布 ? ?, Bn p 模 型 ：隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果只有兩種，如每次 A 發(fā)生的概率為 p ，共 試驗(yàn) 了 n 次，求其中 A 發(fā)生 k 次的概率（ 放回抽樣 ）。 例如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)放射性物質(zhì)放射出的粒子數(shù)；單位時(shí)間內(nèi)某電話(huà)交換臺(tái)接到的呼喚次數(shù)； 單位時(shí)間內(nèi)走進(jìn)商店的顧客數(shù)等等；均可認(rèn)為它們服從泊松分布。 ? ? ? ? ? ?1 11 ~ , 1 , 2 , 3 ,k kP X k p p q p G p k? ?? ? ? ? ? 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書(shū)系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 34 【例 2】 袋中有 a 個(gè)白球， b 個(gè)紅球，從袋中先后取 出 k 個(gè)球， 放回 ， 求 第 k 次取到白球的概率。 解：服從超幾何分布 放回抽樣： ? ? ? ?12 , 0 , 1 , 2 , , m i n , ,kkabkabCCP X k k a b kC ?? ? ? 不放回抽樣： ? ? ? ?1 2 1 2 , 0 , 1 , 2 , , m i n , ,k k k kka b k a bkka b a bC C P C CP X k k a b kPC??? ? ? ? 可見(jiàn)： 超幾何分布遵循抽簽原理 。 （ 7）指數(shù) 分布 ??E? 模 型 ：在實(shí)踐中，如果隨機(jī)變量 X 表示某一隨機(jī)事件發(fā)生所需 等待 的時(shí)間，則一般 ~ ( )XE? 。試證明之。 而且，根據(jù)中心極限定理，若干個(gè)未知分布的隨機(jī)變量之和近似地服從正態(tài)分布，它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，是概 率與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 中的 第一大分布 。誤差產(chǎn)生的分布有： ? ?, Ua b ， ? ?2, N ?? 。 0 , 0230 , 0 0 0 1 11 1 1 1 12 2 3 3P A P B P A B P X YP X Y P X P Y P A B P A BP A B P A P B P A B? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ????? ● 分位數(shù) ： 如無(wú)特別說(shuō)明， 正態(tài)分布 專(zhuān)指下分位數(shù) ；三個(gè)抽樣分布專(zhuān)指上分為數(shù)。 如計(jì)算 12x??區(qū)間的 ??Fx， 先在 12x??區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn) x ，然后，由 x 點(diǎn)向數(shù)軸左邊（往左邊畫(huà)是為了滿(mǎn)足 ? ?P X x? 的分布函數(shù)定義）畫(huà)一個(gè)直角區(qū)域，該直角區(qū)域與樣本空間的交集就是所求的 ??Fx，即把該直角區(qū)域包含全部樣本點(diǎn)的概率相加， 如為連續(xù)則相加變?yōu)榉e分。又由于每一區(qū)間的 ??Fx為常數(shù)，故 X 具有離散型特征。 根據(jù)概率歸一化： 1 0 . 2 5 0 . 1 5 0 . 3 5 0 . 2 5 0 . 0 5a b b a? ? ? ? ? ? ? ? ? 利用直角分割法，如計(jì)算區(qū)間 12x??的 ??Fx ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1 0 . 6F x P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ?， 其 余 區(qū)間 類(lèi)推，故： ? ?0 , 1 , 1 0 , 0 1 , 1 2 , 2 31 , 3xxxFxxxx???? ? ? ??? ??? ????? ????? 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書(shū)系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 39 評(píng) 注 由于分布函數(shù)右連續(xù)，故等號(hào)位置不能 放在小于號(hào)上。 ??b ? ? ? ?0 。 解： 由分布函數(shù)的性質(zhì)知 ? ? ? ?0 , 1 Y F Z Y? ? ? ? ? ? ?0 0 。 解： ? ? 1 , 1 3 , 1 3, 4 0, xyf x yo th e r? ? ? ? ?????? 根據(jù) ? ? ? ?, 1 , 3 0 , 2 X Y U X Y? ? ? ? ?（值域）。 解 法 ： 公式法 ? ? 1 , , 220, xfx ???? ????? ??? ????? 其 它， 而 sinyx? 在 , 22?????????存在反函數(shù) arcsinxy? 且211yx y? ? ? ，使用公式法 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?112, , 0 , 1, 1 , 1a r c sin a r c sin a r c sin , 1 , 1 10 , 0 , XYXXf g y g y y a bfxothe ryf y x f y y yyothe r othe r???? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??????? ?? ??? ? ????? ???? ? 【例 14】 已知隨機(jī)變量 X 的 服從 ? ?0, ? 上的均勻分布， 求 sinYX? 的概率密度。 YYy F y y F y? ? ? ? ? ? 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書(shū)系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 42 當(dāng) 01y??時(shí) x 的單調(diào)區(qū)域 D 有兩個(gè)，即 ? ? ? ?| 0 a r c s i n | a r c s i nD x x y x y x??? ? ? ? ? ? ?，根據(jù)反函數(shù) 的定義， D 的兩個(gè)單調(diào)區(qū)域存在反函數(shù)。 【例 16】 X 服從 ? ?0, 1 N ，求 XYe? , 221YX??, YX? 的 概率密度。 【 例 18】 已知 ? ? ? ? ? ? 52 , 3 , 1 9X B p Y B p P X? ? ? ?， ，求 ? ?1PY? 。 解：顯然， ? ? ? ?1 0 。 評(píng) 注 求連續(xù)函數(shù)的概率時(shí)， 積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域與概率密度分布的正概率點(diǎn)區(qū)域的交 集。 3． 設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 2 , 0 1,()0 , .xxfx ????? ??? 其 他以 Y表示對(duì) X的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件 1{}2X?出現(xiàn)的次數(shù)，則 P（ Y=2） =_________。 7． 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密 度為 34 , 0 1()0 , .xxfx ? ???? ??? 其 他 又 a 為（ 0， 1）中的一個(gè)實(shí)數(shù)，且( ) ( )P X a P X a? ? ?，則 a? _______。 二．選擇題 1．下列函數(shù)中能夠作為分布函數(shù)的是 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書(shū)系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 48 （ A）0 , 1,1( ) , 1 2 ,31, 2.xF x xx?????? ? ? ?????? （ B） 0 , 0 ,() ln (1 ), 0 .1xFx x xx???? ?? ???? （ C）0 , 0 ,2( ) , 0 2 ,51, 2 .xxF x xx??? ??? ? ?????? （ D） 0 , 0 ,( ) s in , 0 ,1, .xF x x xx?????? ? ????? [ ] 2．設(shè)隨機(jī)變量 2( 2020 , 2020 ),XN 而且 C 滿(mǎn)足 ( ) ( )P X C P X C? ? ?，則 C 等于 （ A） 0 （ B） 2020 （ C） 1998 （ D） 2020 [ ] 3．設(shè) 2 2() xxf x ke??? 為一概率密度，則 k 的值為 （ A） 1e?? （ B） 1? （ C） 12 （ D） 2? [ ] 4．下列命題正確的是 （ A）連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。 [ ] 5．設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 ()fx，分布函數(shù)為 ()Fx