【正文】 第九章 直線回歸和相關 ? 第一節(jié) 回歸和相關的概念 ? 第二節(jié) 直線回歸 ? 第三節(jié) 直線相關 ? 第四節(jié) 直線回歸與相關的內在關系 和應用要點 ? 第五節(jié) 協(xié)方差分析 ? 引言 這一章研究的對象： ? 由 一個變數 兩個或多個變數 ，因為在實際生產實踐和科學實驗中所要研究的變數往往不止一個，例如： ? 研究溫度高低和作物發(fā)育進度快慢的關系，就有溫度和發(fā)育進度兩個變數； ? 研究每畝穗數、每穗粒數和每畝產量的關系，就有穗數、粒數和產量三個變數。 第一節(jié) 回歸和相關的概念 ? 1. 函數關系與統(tǒng)計關系 ? 2. 自變數與依變數 ? 3. 回歸分析和相關分析 ? 4. 兩個變數資料的散點圖 函數關系 有精確的數學表達式 （確定性的關系） 直線回歸分析 一元回歸分析 變量間的關系 因果關系 曲線回歸分析 (回歸分析） 多元回歸分析 多元線性回歸分析 統(tǒng)計關系 多元非線性回歸分析 （非確定性的關系） 簡單相關分析 —— 直線相關分析 相關關系 復相關分析 （相關分析） 多元相關分析 偏相關分析 ? 函數關系 是一種確定性的關系，例如圓面積與半徑的關系為 。其不包含誤差的干擾。 ? 統(tǒng)計關系 是一種非確定性的關系。例如，作物的產量與施肥量的關系，兩類變數受誤差的干擾表現為統(tǒng)計關系。 2RS ??? 因果關系 ：兩個變數間的關系若具有原因和反應 (結果 )的性質。 ? 相關關系 ：呈現一種共同變化的特點，則稱這兩個變數間存在。 ? 回歸分析 ：計算回歸方程為基礎的統(tǒng)計分析方法。 為 Y 依 X 的回歸方程 (regression equation of Y on X )。 ? 相關分析 ：計算相關系數為基礎的統(tǒng)計分析方法。計算表示 Y 和 X 相關密切程度的統(tǒng)計數，并測驗其顯著性。 ? 這個統(tǒng)計數在兩個變數為直線相關時稱為相關系數(correlation coefficient)，記為 r；在多元相關時稱為復相關系數 (multiple correlation)，記作Ry12… m ；在兩個變數曲線相關時稱為相關指數(correlation index)，記作 R。 )( xfy ??? 一般規(guī)則 ： ? 當兩個變數中 Y 含有試驗誤差而 X 不含試驗誤差時著重進行回歸分析；而當 Y 和 X 均含有試驗誤差時則著重去進行相關分析。 ? 4. 兩個變數資料的散點圖 ? 對具有統(tǒng)計關系的兩個變數的資料進行初步考察的簡便而有效的方法，是將這兩個變數的 n對觀察值 (x1， y1)、 (x2， y2)、 … 、 (xn， yn)分別以坐標點的形式標記于同一直角坐標平面上，獲得散點圖 (scatter diagram)。 ? 根據散點圖可初步判定雙變數 X 和 Y 間的關系，包括：① X 和 Y 相關的性質 (正或負 )和密切程度； ② X 和 Y 的關系是直線型的還是非直線型的； ③是否有一些特殊的點表示著其他因素的干擾等。 ? 例如圖 3幅散點圖，圖 的生物產量 (X )和稻谷產量 (Y )，圖 米土地上的總穎花數 (X )和結實率 (Y )，圖 最高葉面積指數 (X )和每畝稻谷產量 (Y )。從中可以看出：① 圖 ，但方向 相反；前者 Y 隨 X 的增大而增大，表示兩個變數的關系是正的，后者 Y 隨 X 的增大而減小，表示關系是負的。② 圖 ，圖 ；因此，圖 X 和 Y 相關的密切程度必高于圖 。③ 圖 X 和 Y 的關系是非直線型的；大約在 x≤(6 —7)時， Y 隨 X 的增大而增大，而當 x＞ (6—7)時， Y 隨 X 的增大而減小。 x，生物產量 (g) 水稻單株生物產量與稻谷產量的散點圖 x，每 m2穎花數 (萬 ) 水稻每 m2穎花數和結實率的散點圖 x，最高葉面積指數 水稻最高葉面積指數和畝產量的散點圖 第二節(jié) 直線回歸 ? 一、直線回歸方程 ? 二、直線回歸的假設測驗和區(qū)間估計 ? 三、直線回歸的矩陣求解 一、直線回歸方程 (一 )直線回歸方程式 (91) ? 回歸截距 (regression intercept） ： a是 x=0時的值，即回歸直線在 y 軸上的截距。 ? 回歸系數 (regression coefficient） ： b是 x 每增加一個單位數時，平均地將要增加 (b＞ 0時 )或減少 (b＜ 0時 )的單位數。 bxay ??? 時，分別對 a和 b 求偏導數并令其為 0，可得正規(guī)方程組 （ normal equations） ： 得 ? 最小為)()( 2121bxayyyQnn???????????????????xyxbxayxban2xbya ??(92) xSSSPxxyyxxxnxyxnxyb ???????????????22 )())(()(112)(? xxbybxxbyy ?????? )((93) (94) 將 (92)代入 (91)可得： y ① ② ③ ① a0,b0 ② a0,b0 ③ a0,b0 x 直線回歸方程的圖象 ? 由 (94)可看到：①當 x以離均差 (x )為單位時 ， 回歸直線的位置僅決定于 和 b ；② 當將坐標軸平移到以 ( ， )為原點時，回歸直線的走向僅決定于 b，所以一般又稱 b為 回歸斜率 (regression slope） 。 xyx y? (二 )直線回歸方程的計算 ? [例 ] 一些夏季害蟲盛發(fā)期的早遲和春季溫度高低有關 。 江蘇武進連續(xù) 9年測定 3月下旬至 4月中旬旬平均溫度累積值 (x， 旬 度 )和水稻一代三化螟盛發(fā)期(y， 以 5月 10日為 0)的關系 ， 得結果于表 。 試計算其直線回歸方程 。 ? 首先由表 6個一級數據 (即由觀察值直接算得的數據 )： x累積溫 y盛發(fā)期 12 16 9 2 7 3 13 9 1 表 累積溫和一代三化螟盛發(fā)期的關系 ?x? 2x?y2? yyx?n = 9 =++…+= =++…+ 2= =12+16+…+( 1)=70 =122+162+…+( 1)2=794 =( 12)+( 16)+…+[ (1)]= 然后，由一級數據算得 5個二級數據： ? ?? nxx 22 )(? ?? nyy 22 )(????? nyxyx?x ?? nx?y ?? ny SSx = =()2/9 = =794(70)2/9 = ( 70)/9= 70/9= *SSy = SP= ?xSSSP /xby ?因而有： b= [天 /(旬 度 )] a= =( )=(天 ) ? 故得表 ： ? 上述方程中回歸系數和回歸截距的意義為：當 3月下旬至 4月中旬的積溫 (x)每提高 1旬 度時，一代三化螟的盛發(fā)期平均將提早 ；若積溫為 0，則一代三化螟的盛發(fā)期將在 6月 27—28日 (x=0時， =；因 y是以 5月 10日為 0，故 6月 27—28日）。 ? 由于 x變數的實測區(qū)間為 [， ]，當 x＜ 或＞ ， y的變化是否還符合 =，觀察數據中未曾得到任何信息。 = y?? 所以，在應用 =，需限定 x的區(qū)間為 [， ]；如要在 x＜ ＞ 延，則必須有新的依據。 ? (三 )直線回歸方程的圖示 ? 直線回歸圖包括回歸直線的圖象和散點圖，它可以醒目地表示 x 和 y 的數量關系。 ? 方法：制作直線回歸圖時，首先以 x為橫坐標，以 y為縱坐標構建直角坐標系 (縱、橫坐標皆需標明名稱和單位 )；然后取 x坐標上的一個小值 x1代入回歸方程得 ，取一個大值 x2代入回歸方程得 ，連接坐標點 (x1， )和 (x2， )即成一條回歸直線。如例 資料，以 x1= =； y?1y?2y?1y?2y?1? 以 x2= =。在圖 定 (， )和 (， )這兩個點，再連接之，即為 =。注意：此直線必通過點 ( ， )，它可作為制圖是否正確的核對。最后，將實測的各對 (xi， yi)數值也用坐標點標于圖 。 y?2y?x y x， 3月下旬至 4月中旬旬平均溫度累積值圖 旬平均溫度累積值和一代三化螟盛發(fā)期的關系 ? 圖 9個觀察坐標點的代表，它不僅表示了例 ，也便于預測。如某年3月下旬至 4月中旬的積溫為 40旬 度，則在圖 查到一代三化螟盛發(fā)期的點估計值在 5月 14—15日，這和將 x=40代入原方程得到 =( 40)=。因為回歸直線是綜合 9年結果而得出的一般趨勢，所以其代表性比任何一個實際的坐標點都好。當然，這種估計仍然有隨機誤差，下文再作討論。 y?? (四 )直線回歸的估計標準誤 ? Q 就是誤差的一種度量，稱為 離回歸平方和 (sum of squares due to deviation from regression)或剩余平方和 。 ? 建立回歸方程時用了 a 和 b 兩個統(tǒng)計數，故 Q 的自由度 2?? n?? 得