數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限無(wú)窮大量與無(wú)窮小量(已修改)
2025-08-31 12:13 本頁(yè)面
【正文】 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 二、無(wú)窮小量階的比較 167。 5 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量 由于 等同于 因 0li m [ ( ) ] 0,xx f x A? ??0li m ( )xx f x A? ?分析 ” . 相同的 . 所以有人把 “ 數(shù)學(xué)分析 ” 也稱為 “ 無(wú)窮小 此函數(shù)極限的性質(zhì)與無(wú)窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是 四、漸近線 三、無(wú)窮大量 一、無(wú)窮小量 返回返回 后頁(yè) 前頁(yè) 一、無(wú)窮小量 定義 1 內(nèi)有定義，的某鄰域在點(diǎn)設(shè) )( 00 xUxf ?? ? ,0l i m0?? xfxx若 .0 時(shí)的無(wú)窮小量為則稱 xxf ?為類似地可以分別定義 f.時(shí)的無(wú)窮小量和有界量.0 時(shí)的有界量xx ?0fx若 在 點(diǎn) 的 某 個(gè) 空 心 鄰 域 內(nèi) 有 界 ，則稱 f 為 , 00 ???? ?? xxxxx ?????? xx ,返回 后頁(yè) 前頁(yè) 顯然，無(wú)窮小量是有界量 .而有界量不一定是無(wú)窮 時(shí)的無(wú)窮小量；為 11 ?? xx例如 : 對(duì)于無(wú)窮小量與有界量，有如下關(guān)系： ；時(shí)的無(wú)窮小量為 ??? 11 2 xxsin 。x xx ??為 時(shí)的無(wú)窮小量s in .xx ??為 時(shí)的有界量小量 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1. 兩個(gè) (類型相同的 )無(wú)窮小量的和，差，積仍是 2. 無(wú)窮小量與有界量的乘積仍為無(wú)窮小量 . 性質(zhì) 1可由極限的四則運(yùn)算性質(zhì)直接得到 . ? ? 所以因?yàn)榈?,0lim,00?? ? xfxx? 使得當(dāng)存在 ,0??無(wú)窮小量 . 下面對(duì)性質(zhì)２加以證明 . 00 | | , | ( ) | ,1x x f x M??? ? ? ??時(shí) 從而0 0li m ( ) 0, | ( ) | , ( ) .xx f x g x M x U x? ? ? ?設(shè) 對(duì)于任意返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0( ) ( ) .f x g x x x?這 就 證 明 了 是 時(shí) 的 無(wú) 窮 小 量例如 : 時(shí)為時(shí)的無(wú)窮小量，為 01si n0 ?? xxxx.01sin 時(shí)的無(wú)窮小量為的有界量，那么 ?xxx.01si nlimlim1si nlim000?????? xxxxxxx應(yīng)當(dāng)注意 , 下面運(yùn)算的寫法是錯(cuò)誤的： | ( ) ( ) | .f x g x ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) xxy1s i n?從幾何上看，曲線 在 近旁發(fā)生無(wú) 0?x限密集的振動(dòng)，其振幅被兩條直線 xy ?? 所限制 . y O xxy?xxy1sin?xy ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 二、無(wú)窮小量階的比較 兩個(gè)相同類型的無(wú)窮小量，它們的和 、 差 、 積仍 ? ?? ? ? ? ? ?xgxfxxxgxfxx是關(guān)于時(shí)則稱，若 00l i 0???? ? ? ? .,0 均是無(wú)窮小量時(shí)，設(shè)當(dāng) xgxfxx ?出如下定義 . 兩個(gè)無(wú)窮小量之間趨于零的速度的快慢，我們給 這與它們各自趨于零的速度有關(guān) .為了便于考察 是無(wú)窮小量，但是它們的商一般來(lái)說(shuō)是不確定的 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 的高階無(wú)窮小量，記作.)())(()( 0xxxgoxf ??.)()1()( 0xxoxf ??.)0,0()(1 ???? kxxox kk。)0()1(s i n ?? xox例如： 。)0()(c os1 ??? xxox0()f x x x?當(dāng) 為 時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)，我們記返回 后頁(yè) 前頁(yè) 2. 若存在正數(shù) K 和 L，使得在 x0 的某一空心鄰域 )( 0xU ? 內(nèi)，有 ,)( )( Mxg xfL ??根據(jù)函數(shù)極限的保號(hào)性，特別當(dāng) 0)( )(lim0???cxg xfxx時(shí)，這兩個(gè)無(wú)窮小量一定是同階的 . 例如 : ,0 時(shí)當(dāng) ?x xcos1 ? 與 2x 是同階無(wú)窮小量 。 則稱 與 是 0xx ? 時(shí)的同階無(wú)窮小量 . )(xf )(xg返回 后頁(yè) 前頁(yè) 3. 若兩個(gè)無(wú)窮小量在 )( 0xU ? 內(nèi)滿足 : ,)( )( Lxg xf ?則記 ).())(()( 0xxxgOxf ??當(dāng) 0?x 時(shí)， x 與 ?????? ? xx 1s in2 是同階無(wú)窮小量 . ,)( 0 時(shí)的有界量時(shí)為 xxxf ?我們記 .)()1()( 0xxOxf ??應(yīng)當(dāng)注意，若 )(,)( xgxf 為 0xx ? 時(shí)的同階無(wú) 窮小量，當(dāng)然有 返回 后頁(yè) 前頁(yè) .)())(()( 0xxxgOxf ??反之不一定成立 , 例如 .)0()(1si n ?? xxOxx但是這兩個(gè)無(wú)窮小量不是同階的 . 注意： 這里的 ))(()())(()( xgOxfxgoxf ?? 與)( 0xx ? 和通常的等式是不同的，這兩個(gè)式子的 右邊，本質(zhì)上只是表示一類函數(shù)．例如 ))(( xgo表示 的所有高階無(wú)窮小量的集合． )(xg)( 0xx ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) .)( )(~)( 0xxxgxf ?。)0(~sin ,1sinlim0???xxxx xx所以因?yàn)椤?0(~a rc ta n ,1a rc ta nlim 0???xxxx xx所以因?yàn)閯t稱若 ,1)( )(lim .40?? xgxfxx 時(shí)的為與 0 )( )( xxxgxf ?等價(jià)無(wú)窮小量，記作 也就是說(shuō)，這里的 “ =” 類似于 .”“?返回 后頁(yè) 前頁(yè) .0)(21~c o s1 2 ?? xxx同樣還有根據(jù)
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