數(shù)學(xué)分析中極限問題及淺析(已修改)
2025-01-23 01:45 本頁面
【正文】 齊齊哈爾大學(xué)成人高等教育畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）用紙 1 《數(shù)學(xué)分析》中極限問題的淺析 極限理論是數(shù)學(xué)分析這門學(xué)科的基礎(chǔ)，極限方法是數(shù)學(xué)分析的基本方法，通過極限思想、借助極限工具使數(shù)學(xué)分析內(nèi)容更加嚴(yán)謹(jǐn)，可以說，極限貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)分析的始末，學(xué)好極限十分重要。 完整的極限理論的建立，依賴于實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，即實(shí)數(shù)系的所謂連續(xù)性，我們已經(jīng)熟悉的單調(diào)有界原理，就是連續(xù)性的一個(gè)等價(jià)命題。極限問題類型很多，變化復(fù)雜，解決極限問題在數(shù)學(xué)分析中更顯得尤為重要。這里舉一些比較典型的實(shí)例，希望從中歸納出解決極限問題的方法。 下面舉例說明求解極限問題的若干方法，其主要是根據(jù)極限的定義、運(yùn) 算法則和性質(zhì)、定理，以及數(shù)學(xué)上的其他知識(shí)和技巧。 一 求數(shù)列極限 （一） 利用迫斂性定理求極限 首先說明迫斂性定理 [1]求極限，這是一種簡單而常用的方法。 例 證明 （ 1） (a 0) （ 2） 證明： （ 1）當(dāng) a = 1 時(shí)，等式顯然成立。 當(dāng) a 1 時(shí)，令 則： a = (1 + hn )n = 1 + nhn + 故 0 hn hn = 0 即： (1 + hn) = 1 當(dāng) 0 a 1 時(shí)： lim ??n 1?nalim ??n 1?nnnn ha ??1 (hn 0) nnnn nhhhnn ???? ?22 )1(na 由迫斂性定理 lim ??nlim ??n ?nalim ??nlim ??n ?na lim ??n ?n a111 lim ??n na1= 1 齊齊哈爾大學(xué)成人高等教育畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）用紙 2 （ 2） 設(shè) n = (1 + hn)n = 1 + nhn + 由迫斂性定理得 hn = 0 從而： 例：求極限 即： en 由迫斂性定理可得： 從而：由連續(xù)函數(shù)定義知： 極限定義是判定極限是某個(gè)數(shù)的充要條件，因此有時(shí)要用到它的否定形式 [2]，現(xiàn)敘述如下： （二）單調(diào)有界原理求極限 單調(diào)有界原理是判定極限存在的重要法則，雖 然它不能判定極限是什么數(shù)，但許多問題當(dāng)斷定極限存在時(shí)，極限值是不難求出的。 nn hn ??1 其中 hn 0 則2?nnnn hhnn ??? ?22 )1(22 )1( nhnn ?即： 0 hn )2(12 ?? nnlim ??nlim ??n ?nnlim ??n (1 + hn) = 1 lim ??0? ??????????? ??? neeen ?? 21時(shí)：解：當(dāng) 0?? ???? nnn neeee ???? ?1nn enee ???? ???????????? ?1 令 ??0?lim ??0n nn eeee ???????????? ???? ?21lim ??0n ? neen n ????????? ?? ?
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