【正文】 263m? 或263m?? , 因為直線 y kx m??為圓心在原點的圓的一條切線 ,所以圓的半徑為21mr k? ? , 222228381318mmrmk? ? ??? ?, 263r? ,所求的圓為 2283xy??,此時圓的切線 y kx m??都滿足 263m? 或 263m?? ,而當切線的斜率不存在時切線為 263x??與橢圓 22184xy??的兩個交點為 2 6 2 6( , )33? 或 2 6 2 6( , )33??滿足 OA OB? ,綜上 , 存在圓心在原點的圓 2283xy??，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B,且OA OB? . 因為12 2212 24122812kmxxkmxxk? ? ? ??? ???? ?? ??, 所以 2 2 22 2 21 2 1 2 1 2 2 2 2 24 2 8 8 ( 8 4 )( ) ( ) 4 ( ) 41 2 1 2 ( 1 2 )k m m k mx x x x x x k k k? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?, ? ? 2222 2 2 21 2 1 2 1 2 228 ( 8 4 )| | ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 2 )kmA B x x y y k x x k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 24 2 4 23 2 4 5 1 3 2 [ 1 ]3 4 4 1 3 4 4 1k k kk k k k??? ? ? ?? ? ? ?, ①當 0k? 時2232 1| | [1 ]13 44AB k k?? ?? 因為 2214 4 8k k? ? ?所以2 2110 1844k k????, 所以2 232 32 1[1 ] 12133 44k k? ? ???, 所以 4 6 | | 2 33 AB??當且僅當 22k?? 時取 ”=”. ② 當 0k? 時 , 46||3AB? . ③ 當 AB 的斜率不存在時 , 兩個交點為 2 6 2 6( , )33? 或 2 6 2 6( , )33??, 所以此時 46||3AB? , 綜上 , |AB |的取值范圍為 4 6 | | 2 33 AB??即 : 4| | [ 6 , 2 3 ]3AB ? 【命題立意】 :本題屬于探究是否存在的問題 ,主要考查了橢圓的標準方程的確定 ,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法 ,能夠運用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系 . 5.（ 2020 廣東卷 理 ） 已知曲線 2:C y x? 與直線 : 2 0l x y???交于兩點 ( , )AAAx y 和( , )BBB x y ，且 ABxx? ．記曲線 C 在點 A 和點 B 之間那一段 L 與線段 AB 所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為 D ．設(shè)點 (, )Pst 是 L 上的任一點，且點 P 與點 A 和點 B 均不重合． （ 1） 若點 Q 是線段 AB 的中點，試求線段 PQ 的中點 M 的軌跡方程； （ 2） 若 曲線 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a? ? ? ? ? ?與 D 有公共點，試求 a 的最小值． 解 （ 1）聯(lián)立 2xy? 與 2??xy 得 2,1 ??? BA xx ，則 AB 中點 )25,21(Q ， 設(shè) 線段 PQ 的中點 M 坐標為 ),( yx ，則 225,221 tysx ???? ，即 252,212 ???? ytxs ，又點 P 在曲線 C 上， ∴ 2)212(252 ??? xy化簡可得8112 ??? xxy，又 點 P 是 L 上的任一點， 且 不 與點 A 和點 B 重合 ，則 22121 ???? x，即4541 ??? x， ∴ 中點 M 的軌跡方程 為8112 ??? xxy（4541 ??? x） . （ 2）曲線 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a? ? ? ? ? ?， 即圓 E ： 2549)2()( 22 ???? yax ，其圓心坐標為 )2,(aE ，半徑 57?r 由圖可知，當 20 ??a 時，曲線 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a? ? ? ? ? ?與點 D 有公共點； 當 0?a 時，要使曲線 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a? ? ? ? ? ?與點 D 有公共點，只需圓心 E 到直線 : 2 0l x y???的距離572||2 |22| ????? aad，得 05 27 ??? a ，則 a 的最小值為 527? . 6. （ 2020 安 徽 卷 理 ） 點 00( , )Px y 在橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?上，00c o s , si n , 0 .2x a y b ?? ? ?? ? ? ?直線 2l 與直線 001 22:1xyl x yab??垂直， O 為坐標原點，直線 OP 的傾斜角為 ? ，直線 2l 的傾斜角為 ? . （ I）證明 : 點 P 是橢圓 221xyab??與直線 1l 的唯一交點； （ II）證明 : tan , tan , tan? ? ?構(gòu)成等比數(shù)列 . 解析 ： 本小題主要考查直線和橢圓的標準方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識?？疾榫C合運用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分 13 分。 證明 （ I）（方法一）由 00221xyxyab??得 2 202 0 ( ),by a x xay??代入橢圓 221xyab??, xyoxA xB D 得 2 2 2 22002 4 2 2 20 0 021( ) ( 1 ) 0b x b x bxxa a y a y y? ? ? ? ?. 將 00cossinxayb????? ??代入上式 ,得 2 2 22 c os c os 0 ,x a x a??? ? ? ?從而 cos .xa?? 因此 ,方程組2222002211xyabxyxyab? ?????? ????有唯一解 00xxyy??? ??,即直線 1l 與橢圓有唯一交點 P. (方法二 )顯然 P 是橢圓與 1l 的交點，若 Q 1 1 1( c o s , sin ) , 0 2ab? ? ? ???是橢圓與 1l 的交點，代入 1l 的方程 co s si n 1xyab????，得 11c os c os si n si n 1 ,? ? ? ??? 即 11c os ( ) 1, ,? ? ? ?? ? ?故 P 與 Q 重合。 （方法三）在第一象限內(nèi)，由 221xyab??可得 2 2 2 200,bby a x y a xaa? ? ? ? 橢圓在點 P 處的切線斜率 2000 222 00( ) ,b x b xk y x aya a x?? ? ? ? ?? 切線方程為 2 0002 0 ( ) ,bxy x x yay? ? ? ?即221x x y yab??。 因此， 1l 就是橢圓在點 P 處的切線。 根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)， P 是橢圓與直線 1l 的唯一交點。 （ II） 00ta n ta n ,y bxa???? 1l 的斜率為 20 20 ,xbya? 2l 的斜率為 20 20ta n ta n ,ya ax b b???? 由此得 2ta n ta n ta n 0 ,? ? ???tan , tan , tan? ? ?構(gòu)成等比數(shù)列。 7.（ 2020江西卷 理 ） 已知點 1 0 0( , )P x y 為雙曲線 2218xybb??（ b為正常數(shù)）上任一點 , 2F 為雙曲線的右焦點 ,過 1P 作右準線的垂線 ,垂足為 A ,連接 2FA并延長交 y 軸于 2P . (1) 求線段 1P 2P 的中點 P 的軌跡 E 的方程 。 2F1F OyxA2P1PP(2) 設(shè) 軌跡 E 與 x 軸交于 BD、 兩點 ,在 E 上任取一點 1 1 1, ( 0)Q x y y ?（ ） ,直線 QB QD， 分別交 y 軸于 MN， 兩點 .求證 :以 MN 為直徑的圓過兩定點 . (1) 解 由已知得20830 3F b A b y（ ， ） ， （ ， ）,則直線 2FA的方程為 : 03 ( 3 )yy x bb? ? ?, 令 0x? 得 09yy? ,即 20(0,9 )Py, 設(shè) Px y（ ， ） ,則0000 29 52xxyyyy? ?????? ????,即 0025xxyy???? ???代入 220208xybb??得 : 224 18 25xybb??, 即 P