新人教b版高中數(shù)學(xué)（選修2-3）122《組合》-文庫(kù)吧
2024-11-18 22:39 本頁(yè)面
【正文】 合數(shù) ． ． ． ．用符號(hào) mnC 表示． 3．組合數(shù)公式的推導(dǎo)： （ 1） 從 4個(gè)不同元素 , , ,abcd 中取出 3個(gè)元素的組合數(shù) 34C 是多少呢？ 啟發(fā)：由于 排列是先組合再排列 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ，而從 4個(gè)不同元素中取出 3個(gè)元素的排列數(shù) 34A 可以求得，故我們可以考察一下 34C 和 34A 的關(guān)系，如下： 組 合 排列 d c bc d bbdcdbcc b db c db c dd c ac d aadcdacc a da c da c ddbabdaadbdabbadabdabdc b ab c aa c bc a bbacabcabc,,,,,???? 由此可知 ,每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著 6個(gè)不同的排列，因此，求從 4個(gè)不同元素中取出 3 個(gè)元素的排列數(shù) 34A ，可以分如下兩步：① 考慮從 4個(gè)不同元素中取出 3個(gè)元素的組合，共有34C 個(gè)；② 對(duì)每一個(gè)組合的 3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，各有 33A 種方法．由分步計(jì)數(shù)原理得：34A ＝ ?34C 33A ，所以，333434 AAC ?． （ 2） 推廣：一般地，求從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的排列數(shù) mnA ，可 以分如下兩步： ① 先求從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的組合數(shù) mnC ； ② 求每一個(gè)組合中 m個(gè)元素全排列數(shù) mmA ，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得： mnA ＝ mnC mmA? ． （ 3） 組合數(shù)的公式： ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )!mm nn mmA n n n n mC Am? ? ? ??? 或)!(! ! mnm nC mn ?? ),( nmNmn ?? ? 且奎屯王新敞 新疆 規(guī)定 : 0 1nC? . 三、講解范例： 例 2． 用計(jì)算器計(jì)算 710C ． 解：由計(jì)算器可得 例 3．計(jì)算： （ 1） 47C ； （ 2） 710C ； （ 1） 解 ： 47 7 6 5 44!C ? ? ??＝ 35； （ 2） 解法 1： 710 1 0 9 8 7 6 5 47!C ? ? ? ? ? ??＝ 120． 解法 2： 710 1 0 ! 1 0 9 87 !3 ! 3 !C ????＝ 120． 例 4． 求證： 11 ????? mnmn CmnmC． 證明：∵)!(! ! mnm nC mn ?? 11 1 !( 1 ) ! ( 1 ) !mnm m nCn m n m m n m???? ? ?? ? ? ? ? ＝ 1!( 1 ) ! ( ) ( 1 ) !mnm n m n m? ?? ? ? ? ＝ !!( )!nm n m? ∴ 11 ????? mnmn CmnmC 例 5． 設(shè) ,??Nx 求 32 1132 ???? ? xxxx CC 的值 奎屯王新敞 新疆 解：由題意可得：??? ??? ??? 321 132 xx xx ，解得 24x?? ， ∵ xN?? ， ∴ 2x? 或 3x? 或 4x? ， 當(dāng) 2x? 時(shí)原式值為 7；當(dāng) 3x? 時(shí)原式值為 7；當(dāng) 4x? 時(shí)原式值 為 11． ∴所求值為 4或 7或 11． 例 6． 一位教練的足球隊(duì)共有 17 名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽．按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是 11 人．問(wèn)： (l)這位教練從這 17 名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案？ (2)如果在選出 11 名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門(mén)員，那么教練員有多少種方式做這件事情？ 分析 ：對(duì)于（ 1)，根據(jù)題意， 17 名學(xué)員沒(méi)有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個(gè)從 17 個(gè)不同元素中選出 11個(gè)元素的組合問(wèn)題；對(duì)于（ 2 ) ，守門(mén)員的位置是特殊的，其余上場(chǎng)學(xué)員 的地位沒(méi)有差異，因此這是一個(gè)分步完成的組合問(wèn)題． 解 ： (1）由于上場(chǎng)學(xué)員沒(méi)有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場(chǎng)方案有 C ｝手＝ 12 376 （種） . (2）教練員可以分兩步完成這件事情： 第 1步，從 17名學(xué)員中選出 n 人組成上場(chǎng)小組，共有 1117C 種選法； 第 2步，從選出的 n 人中選出 1 名守門(mén)員，共有 111C 種選法． 所以教練員做這件事情的方法數(shù)有 11 117 11CC? =136136（種） . 例 7． （ 1）平面內(nèi)有 10 個(gè)點(diǎn)，以其中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？ (2）平面內(nèi)有 10 個(gè)點(diǎn)，以其中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？ 解 ： (1）以平面內(nèi) 10 個(gè)點(diǎn)中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從 10個(gè)不同的元素中取出 2個(gè)元素的組合數(shù)，即線段共有 210 10 9 4512C ????（條） . (2）由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)、另一個(gè)是終點(diǎn)，以平面內(nèi) 10個(gè)點(diǎn)中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從 10個(gè)不同元素中取出 2 個(gè)元素的排列數(shù)，即有 向線段共有 210 10 9 90A ? ? ? （條） . 例 8． 在 100 件產(chǎn)品中，有 98 件合格品， 2 件次品．從這 100 件產(chǎn)品中任意抽出 3 件 . (1）有多少種不同的抽法？ (2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少種？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少種？ 解 ： (1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從 100件產(chǎn)品中取
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