【正文】 種方法． 解法二：（間接法） 10036310 ??CC 奎屯王新敞 新疆 組合數(shù)的性質(zhì) 1： mnnmn CC ?? ． 一般地，從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素后，剩下 nm? 個(gè)元素．因?yàn)閺?n 個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的 n ? m個(gè)元素的每一個(gè)組合 一一對(duì)應(yīng) ． ． ． ． ，所以從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這 n個(gè)元素中取出 n ? m個(gè)元素的組合數(shù)，即：mnnmn CC ?? ．在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想 奎屯王新敞 新疆 證明：∵)!(! !)]!([)!( ! mnm nmnnmn nC mnn ??????? 又 )!(! ! mnm nCmn ??，∴ mnnmn CC ?? 奎屯王新敞 新疆 說(shuō)明：①規(guī)定： 10?nC ； ②等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)； ③此性質(zhì)作用：當(dāng) 2nm? 時(shí)，計(jì)算 mnC 可變?yōu)橛?jì)算 mnnC? ，能夠使運(yùn)算簡(jiǎn)化 . 例如 20212021C ＝ 202120212021?C ＝ 12021C =2021； ④ ynxn CC ? yx?? 或 nyx ?? ． 2． 組合數(shù)的性質(zhì) 2： mnC1? ＝ mnC + 1?mnC ． 一般地，從 121 , ?naaa ? 這 n+1個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的組合數(shù)是 mnC1? ，這些 組合可以分為兩類：一類含有元素 1a ，一類不含有 1a ．含有 1a 的組合是從 132 , ?naaa ?這 n 個(gè)元素中取出 m ?1 個(gè)元素與 1a 組成的，共有 1?mnC 個(gè)；不含有 1a 的組合是從132 , ?naaa ? 這 n個(gè)元素中取出 m個(gè)元素組成的，共有 mnC 個(gè)．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)．在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想． 證明：)]!1([)!1( !)!(! !1 ??????? ? mnm nmnm nCC mnmn )!1(! !)1(! ?? ???? mnm mnmn )!1(! !)1( ?? ???? mnm nmmn )!1(! )!1( ???? mnm n mnC1?? ∴ mnC1? ＝ mnC + 1?mnC ． 說(shuō)明：①公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差 1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多 1而上標(biāo)與大的相同的一個(gè)組合數(shù)； ②此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算 奎屯王新敞 新疆 例 11． 一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的 7個(gè)白球和 1個(gè)黑球， （ 1）從口袋內(nèi)取出 3個(gè)球，共有多少種取法？ （ 2）從口袋內(nèi)取出 3個(gè)球，使其中含有 1個(gè)黑球，有多少種取法？ （ 3）從口袋內(nèi)取出 3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？ 解：（ 1） 5638 ?C ,或 ?38C ?27C 37C ，；（ 2） 2127 ?C ；（ 3） 3537 ?C ． 例 12． （ 1）計(jì)算： 69584737 CCCC ??? ； （ 2）求證： nmC2? ＝ nmC + 12 ?nmC + 2?nmC ． 解：（ 1）原式 4 5 6 5 6 6 48 8 9 9 9 10 10 210C C C C C C C? ? ? ? ? ? ? ?； 證明：（ 2）右邊 1 1 2 11 1 2( ) ( )n n n n n n nm m m m m m mC C C C C C C? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 左邊 奎屯王新敞 新疆 例 13． 解方程：（ 1） 3213113 ?? ? xx CC ；（ 2）解方程： 333222 101 ????? ?? xxxxx ACC． 解：（ 1）由原方程得 1 2 3xx? ? ? 或 1 2 3 13xx? ? ? ?，∴ 4x? 或 5x? ， 又由1 1 131 2 3 13xxxN?? ? ? ??? ? ??? ??得 28x??且 xN?? ，∴原方程的解為 4x? 或 5x? 奎屯王新敞 新疆 上述求解過(guò)程中的不等式組可以不解 ,直接把 4x? 和 5x? 代入檢驗(yàn) ,這樣運(yùn)算量小得多 . （ 2）原方程可化為 2333110xxxCA????，即 5333110xxCA???，∴ ( 3)! ( 3)!5!( 2)! 10 !xx?????， ∴ 111 2 0 ( 2 ) ! 1 0 ( 1 ) ( 2 ) !x x x x?? ? ? ? ?， ∴ 2 12 0xx? ? ? ，解得 4x? 或 3x?? ， 經(jīng)檢驗(yàn)： 4x? 是原方程的解 奎屯王新敞 新疆 例 14． 證明： pn pmpmpnnm CCCC ????? 。 例 15． 證明： ?? ?110 mmnmmn CCCC … m nmmmn CCC ??0 （其中 mn? ） 。 證明： 左邊 = ??? 321 32 nnn CCC ? nnnC = ??? 313212111 nnn CCCCCC ? nnnCC1? ， 其中 iniCC1 可表示先 在 n 個(gè)元素里選 i 個(gè)，再?gòu)?i 個(gè)元素里選一個(gè)的組合數(shù)。顯然，兩種選法是一致的，故左邊 =右邊，等式成立。若組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)是同一個(gè)人，則有 12?nn 種選法；若組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)不是同一個(gè)人，則有22)1( ?? nnn 種選法。 教科書(shū)在研究組合數(shù)的兩個(gè) 性質(zhì)① mnnmn CC ?? ，② 11 ?? ?? mnmnmn CCC 時(shí)，給出了組合數(shù)定義的解釋證明，即構(gòu)造一個(gè)組合問(wèn)題的模型，把等式兩邊看成同一個(gè)組合問(wèn)題的兩種計(jì)算方法，由組合個(gè)數(shù)相等證出要證明的組合等