新人教b版高中數(shù)學(xué)（選修2-3）231《離散型隨機變量的期望》-文庫吧
2025-11-04 22:39 本頁面
【正文】 量的 均值 或 期望 奎屯王新敞 新疆 根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù) ξ 的分布列， 我們可以估計，在 n 次射擊中，預(yù)計大約有 nnP )4( ???? 次得 4環(huán)； nnP )5( ???? 次得 5環(huán)； ???? nnP )10( ???? 次得 10環(huán)． 故在 n 次射擊的總環(huán)數(shù)大約為 ??? ???? ? n?? ??? ( ??? ? n?? ) ， 從而，預(yù)計 n 次射擊的平均環(huán)數(shù)約為 ?? ??? ? ?? ． 這是一個由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應(yīng)的概率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平． 對于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù) ξ 的分布列，即已知各個 )( iP ?? （ i=0， 1， 2，?，10），我們可以同樣預(yù)計他任意 n 次射擊的平均環(huán)數(shù) : ??? )0(0 ?P ??? )1(1 ?P ? )10(10 ??? ?P ． 1. 均值 或數(shù)學(xué)期望 : 一般地，若離散型隨機變量 ξ 的概率分布為 ξ x1 x2 ? xn ? P p1 p2 ? pn ? 則稱 ??E ?11px ?22px ? ?? nnpx ? 為 ξ 的 均值 或 數(shù)學(xué)期望 ，簡稱期望． 2. 均值 或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平 奎屯王新敞 新疆 3. 平均數(shù)、均值 :一般地，在有限 取值離散型隨機變量 ξ的概率分布中，令 ?1p ?2p ?np? ，則有 ?1p ?2p ? npn 1?? ， ??E ?1(x ?2x ? nxn 1)?? ， 所以 ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值 奎屯王新敞 新疆 4. 均值 或 期望的一個性質(zhì) :若 ba ?? ?? (a、 b是常數(shù) )， ξ是隨機變量，則 η也是隨機變量，它們的分布列為 ξ x1 x2 ? xn ? η bax?1 bax?2 ? baxn? ? P p1 p2 ? pn ? 于是 ??E ?? 11 )( pbax ?? 22 )( pbax ? ??? nn pbax )( ? ＝ ?11( pxa ?22px ? ?? nnpx ? ) ?? 1(pb ?2p ? ?? np ? ) ＝ baE?? ， 由此，我們得到了期望的一個性質(zhì) : baEbaE ??? ?? )( B（ n,p），則 Eξ =np 證明如下： ∵ knkknknkkn qpCppCkP ?? ???? )1()(? ， ∴ ??E 0 nn qpC 00 ＋ 1 111 ?nn qpC ＋ 2 222 ?nn qpC ＋?＋ k knkkn qpC ? ＋?＋ n0qpC nnn ． 又∵ 11)]!1()1[()!1( )!1()!(! ! ??????? ?????? knkn nCknk nnknk nkkC， ∴ ??E (np 0 0 11 nnC pq?? ＋ 211 1 ?? nn qpC ＋ ? ＋ )1()1(111 ?????? knkkn qpC ＋ ? ＋)0111 qpC nnn ??? npqpnp n ??? ?1)( ． 故 若 ξ ～ B(n， p)，則 ??E np． 三、講解范例： 例 1. 籃球運 動員在比賽中每次罰球命中得 1 分，罰不中得 0 分，已知他命中的概率為，求他罰球一次得分 ? 的期望 奎屯王新敞 新疆 解：因為 )0(,)1( ???? ?? PP ， 所以 ??????E 奎屯王新敞 新疆 例 2. 一次單元測驗由 20 個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有 4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得 5 分，不作出選擇或選錯不得分，滿分 100 分 奎屯王新敞 新疆學(xué)生甲選對任一題的概率為 ，學(xué)生乙則在測驗中對每題都從 4 個選擇中隨機地選擇一個，求學(xué)生甲和乙在 這次英語單元測驗中的成績的期望 奎屯王新敞 新疆 解：設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數(shù)分別是 ??, ，則 ? ~ B（ 20,） , ),20(~ B? , , ??????? ?? EE 奎屯王新敞 新疆 由于答對每題得 5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是 5? 和 5? 奎屯王新敞 新疆所以，他們在測驗中的成績的期望分別是 ： 2555)(5)
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