新人教b版高中數(shù)學選修2-3231離散型隨機變量的期望-展示頁
2024-12-20 22:39本頁面
【正文】 ? nnpx ? 為 ξ 的 均值 或 數(shù)學期望 ，簡稱期望． 2. 均值 或數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平 奎屯王新敞 新疆 3. 平均數(shù)、均值 :一般地，在有限 取值離散型隨機變量 ξ的概率分布中，令 ?1p ?2p ?np? ，則有 ?1p ?2p ? npn 1?? ， ??E ?1(x ?2x ? nxn 1)?? ， 所以 ξ的數(shù)學期望又稱為平均數(shù)、均值 奎屯王新敞 新疆 4. 均值 或 期望的一個性質 :若 ba ?? ?? (a、 b是常數(shù) )， ξ是隨機變量，則 η也是隨機變量，它們的分布列為 ξ x1 x2 ? xn ? η bax?1 bax?2 ? baxn? ? P p1 p2 ? pn ? 于是 ??E ?? 11 )( pbax ?? 22 )( pbax ? ??? nn pbax )( ? ＝ ?11( pxa ?22px ? ?? nnpx ? ) ?? 1(pb ?2p ? ?? np ? ) ＝ baE?? ， 由此，我們得到了期望的一個性質 : baEbaE ??? ?? )( B（ n,p），則 Eξ =np 證明如下： ∵ knkknknkkn qpCppCkP ?? ???? )1()(? ， ∴ ??E 0 nn qpC 00 ＋ 1 111 ?nn qpC ＋ 2 222 ?nn qpC ＋?＋ k knkkn qpC ? ＋?＋ n0qpC nnn ． 又∵ 11)]!1()1[()!1( )!1()!(! ! ??????? ?????? knkn nCknk nnknk nkkC， ∴ ??E (np 0 0 11 nnC pq?? ＋ 211 1 ?? nn qpC ＋ ? ＋ )1()1(111 ?????? knkkn qpC ＋ ? ＋)0111 qpC nnn ??? npqpnp n ??? ?1)( ． 故 若 ξ ～ B(n， p)，則 ??E np． 三、講解范例： 例 1. 籃球運 動員在比賽中每次罰球命中得 1 分，罰不中得 0 分，已知他命中的概率為，求他罰球一次得分 ? 的期望 奎屯王新敞 新疆 解：因為 )0(,)1( ???? ?? PP ， 所以 ??????E 奎屯王新敞 新疆 例 2. 一次單元測驗由 20 個選擇題構成，每個選擇題有 4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得 5 分，不作出選擇或選錯不得分，滿分 100 分 奎屯王新敞 新疆學生甲選對任一題的概率為 ，學生乙則在測驗中對每題都從 4 個選擇中隨機地選擇一個，求學生甲和乙在 這次英語單元測驗中的成績的期望 奎屯王新敞 新疆 解：設學生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數(shù)分別是 ??, ，則 ? ~ B（ 20,） , ),20(~ B? , , ??????? ?? EE 奎屯王新敞 新疆 由于答對每題得 5分，學生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是 5? 和 5? 奎屯王新敞 新疆所以，他們在測驗中的成績的期望分別是 ： 2555)(5)5(,90185)(5)5( ???????? ???? EEEE 奎屯王新敞 新疆 例 3. 根據(jù)氣象預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為 ,有大洪水的概率為 0. 01．該地區(qū)某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失 60 000 元，遇到小洪水時要損失 10000元．為保護設備，有以下 3 種方案： 方案 1：運走設備，搬運費為 3 800 元． 方案 2：建保護圍墻，建設費為 2 000 元．但圍墻只能防小洪水． 方案 3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水． 試比較哪一種方案好． 解：用 X1 、 X2 和 X3分別表示三種方案的損失． 采用第 1 種方案，無論 有無洪水，都損失 3 800 元，即 X1 = 3 800 . 采用第 2 種方案，遇到大洪水時，損失 2 000 + 60 000=62 000 元；沒有大洪水時，損失 2 000 元，即 ???2 62021 ， 有 大 洪 水 ；X= 2021, 無 大 洪 水 . 同樣，采用第 3 種方案，有 ?????360000 ， 有 大 洪 水 ；X = 10 00 0, 有 小 洪 水 ；0, 無 洪
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