教學(xué)設(shè)計(jì)一元二次方程根的判別式-文庫(kù)吧
2025-10-21 17:28 本頁(yè)面
【正文】 ＝ 若△＞ 0 則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 若△ =0 則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 若△＜ 0則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 （ 2）我們說(shuō)：這個(gè)定理的逆命 題也成立，即有如下的 逆定理： ? ?220 0 4a x b x c a b a c? ? ? ? ?在 一 元 二 次 方 程 中 ， △ ＝ 若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△＞ 0 若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， 則△ =0 若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根， 則△＜ 0 （ 3）定理與逆定理的用途不同 定理的用途是：在不解方程的情況下，根據(jù)△值的符號(hào)，用定理來(lái)判斷方程根的情況。 逆定理的用途是：在已知方程根的情況下，用逆定理來(lái)確定△值的符號(hào)，進(jìn)而可求出系數(shù)中某些字母的取值范圍。 （ 4）注意運(yùn)用定理和逆定理時(shí)，必須 把所給的方程化成一般形式后方可使用。 【說(shuō)明】這樣設(shè)計(jì)是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)闡述發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，如何將感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，以及加深學(xué)生對(duì)兩個(gè)定理的認(rèn)識(shí)，為定理及逆定理的正確運(yùn)用做好鋪墊。 重中之重 4 六 應(yīng)用定理，解決問(wèn)題： 【教師】 下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)兩個(gè)定理的應(yīng)用。 例 1：不解方程判別下列方程根的情況（用投影儀打出） ? ? ? ?? ? ? ? ? ?222 2 21 2 3 4 0 2 1 6 9 2 43 5 1 7 0 4 2 2 0x x y yx x x k x k? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 分析；要判別方程根的情況，根據(jù)定理可知；就是要確定△值的符號(hào)， （ 4）補(bǔ)充了一個(gè)含有字母系數(shù)的方程，補(bǔ)充此題的目的 是：使學(xué) 生 進(jìn) 一步 地 掌握 此 類(lèi)題 中△ 值 的符 號(hào) 的判 斷 方法 ， 也為今后解綜合性問(wèn)題打好基礎(chǔ)。在練習(xí)中作了相應(yīng)地補(bǔ)充。 ? ? ? ?2 2 22 1 2 4 0x m x m x m? ? ? ? ?例 ： 求 證 關(guān) 于 的 方 程沒(méi) 有 實(shí) 數(shù) 根 分析：我先提出兩個(gè)問(wèn)題： （ 1）是誰(shuí)決定了方程有無(wú)實(shí)數(shù)根？ （ 2）現(xiàn)在要證方程無(wú)實(shí)數(shù)根，只要證明什么就行了？ 例 2 是補(bǔ)充的一個(gè)用定理證明的題目，它含有字母系數(shù)，它的證明實(shí)際與例 1的第（ 4）的解法類(lèi)似，但學(xué)生易于出錯(cuò)，往往錯(cuò)用逆定理來(lái)證。 注意；例 1，例 2 之后我設(shè)計(jì)了一個(gè)小結(jié)： （ 1）關(guān)于運(yùn)用根的判別式定理來(lái)判斷：含有字母系數(shù)的一元二次方程 根的情況的一般步驟以及關(guān)于△變形的一些經(jīng)驗(yàn)，從而使學(xué)生真正搞清搞透。 小結(jié)（ 1）關(guān)于運(yùn)用根的判別式定理來(lái)判斷：含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況的一般步驟是： ①把方程化為一般形式，確定 a、 b、 c 的值，計(jì)算△； ②用配方法等將△變形，使之符號(hào)明朗化后，判斷△的符號(hào)。 ③根據(jù)根的判別式定理，寫(xiě)出結(jié)論。 （ 2）注意關(guān)于△的變形； 一般情況下，△由配方或因式分解后能變形成 ? ? ? ? ? ?222 2 2 2 2 22 2 2 2a a a a a a? ? ? ? ? ? ? 等形式；那么△的符號(hào)就明朗了，即可判斷其符號(hào)。 學(xué)生練習(xí)； 不解方程，判別下列方程根的情況 ? ? ? ?? ? ? ?221 1 6 8 3 2 9 6 1 03 2 9 8 0 4 7 1 8 0x x x xx x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?225 2 1 2 1 0m x m x? ? ? ? 學(xué)以致 用 【說(shuō)明】以上例題的設(shè)計(jì)，主要是為了給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)知識(shí)運(yùn)用遷移及鞏固的機(jī)會(huì)，同時(shí)也為了吸引和調(diào)動(dòng)全班同學(xué)參與到積極動(dòng)腦，各抒己見(jiàn)的活躍氣氛中來(lái)，并培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。 5 注意：做以上練習(xí)時(shí)，學(xué)生板演，其余學(xué)生在位上做；板演后如果發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)或有其他解法，下面同學(xué)可主動(dòng)上去糾正或?qū)懗鲎约旱牟煌夥ǎ缓蠼處熯M(jìn)行講評(píng)。從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與意識(shí)。 ? ? ? ?222 1 4 5 0x x a x a aa? ? ? ? ? ?思 考 題 ： 已 知 關(guān) 于 的 方 程當(dāng) 取 何 正 整 數(shù) 時(shí) ， 方 程 有 實(shí) 數(shù) 根 ？ 分析：要解決這個(gè)問(wèn)題， 應(yīng)先假設(shè)方程有實(shí)根，然后根據(jù)根的判別式的逆定理，得出△≥ 0，再由△≥ 0 解這個(gè)不等式，從而求出 a 的取值范圍，進(jìn)而得出 a 的正整數(shù)解。 注意：本思考題是我補(bǔ)充的一個(gè)用逆定理來(lái)解決的問(wèn)題，以鞏固逆定理的運(yùn)用方法，本題讓學(xué)生自己分析，教師只幫助學(xué)生理清思路，最后讓學(xué)生自己完成。 七 歸納小結(jié) 【教師】 （ 1）今天我們是在一元二次方程解法的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了根的判別式的應(yīng)用，它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，是中考命題的重要知識(shí)點(diǎn)，所以必須牢固掌握好它。 （ 2）注意根的判別式定理與逆定理的使用 區(qū)別：一般當(dāng)已知△值的符號(hào)時(shí)，使用定理；當(dāng)已知方程根的情況時(shí)，使用逆定理。 ? ? ? ? ? ?220 0 4a x b x c a b a c? ? ? ? ?3 一 元 二 次 方 程 △ ＝ 判別式的情況 根 的 情 況 定 理 與 逆 定 理 △＞ 0 212 42b b acx a? ? ?、 ＝ ?△ ＞ 0 方 程 有 兩 個(gè)不 相 等 的 實(shí) 數(shù) 根 △＝ 0 12 022bbx aa? ? ?、 ＝ ＝ ?△ ＝ 0 方 程 有兩 個(gè) 相 等 的 實(shí) 數(shù) 根 △＜ 0 2 124b ac x x? 無(wú) 意 義 、 、 不 存 在 ?△ ＜ 0 方 程 沒(méi) 有 實(shí) 數(shù) 根 【說(shuō)明】這樣設(shè)計(jì)是為了使學(xué)生系統(tǒng)地了解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容，與前后知識(shí)的聯(lián)系以及它在教材中的地位，能起到提綱挈領(lǐng)的作用。
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