人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章13第1課時(shí)《利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性》-文庫(kù)吧
2024-10-28 20:10 本頁(yè)面
【正文】 間上不是單調(diào)的，對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言，它的單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的區(qū)間分界點(diǎn)應(yīng)是其導(dǎo)數(shù)符號(hào)正負(fù)交替的分界點(diǎn)，即在分界點(diǎn)處 f′(x)＝ 0，為此，我們可以用使函數(shù)導(dǎo)數(shù)為 0的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的具體步驟是：①確定 f(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù) f′(x)；③在函數(shù)定義域內(nèi)解不等式 f′(x)0或f′(x)0；④確定 f(x)的單調(diào)區(qū)間． 注意： 在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，只能在定義域內(nèi)，通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，或直接解不等式 f′(x)0和 f′(x)0，求出 f(x)的單調(diào)區(qū)間． 如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些單調(diào)區(qū)間中間一般不能用 “ ∪ ” 連接，可用 “ 逗號(hào) ” 或 “ 和 ”字隔開． 函數(shù) y＝ x4－ 2x2＋ 5的單調(diào)減區(qū)間為 ( ) A． (－ ∞，－ 1]和 [0,1] B． [－ 1,0]和 [1，＋ ∞) C． [－ 1,1] D． (－ ∞，－ 1]和 [1，＋ ∞) [答案 ] A [ 解析 ] y ′ ＝ 4 x3－ 4 x ， 令 y ′ ＝ 0 ，則 4 x3－ 4 x ＝ 0 ， 解 x ＝ 0 或 x ＝ 177。1 ， 列表如下： x ( － ∞ ，－ 1) － 1 ( － 1 , 0 ) 0 ( 0 , 1 ) 1 (1 ，＋ ∞ ) y ′ － ＋ － ＋ y 故單調(diào)減區(qū)間為 ( － ∞ ，－ 1] 和 [ 0 , 1 ] ． 三、用導(dǎo)數(shù)證明不等式 若證明不等式 f ( x ) g ( x ) ， x ∈ ( a ， b ) ，可以轉(zhuǎn)化為證明 f ( x ) －g ( x ) 0 . 若 [ f ( x ) － g ( x )] ′ 0 ，則說(shuō)明函數(shù) F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 在區(qū)間( a ， b ) 上是增函數(shù)；若 f ( a ) － g ( a ) ≥ 0 ，即 F ( a ) ≥ o ，則由增函數(shù)的定義可知，當(dāng) x ∈ ( a ， b ) 時(shí)， f ( x ) － g ( x ) 0 ，即 f ( x ) g ( x ) ．簡(jiǎn)言之，若證明不等式成立，可采用構(gòu)造函數(shù)的方法，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明，而導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性之間有著密切的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)證明不等式． 已知： x1， 求證： xln(1＋ x)． [ 證明 ] 令 f ( x ) ＝ x － l n ( 1 ＋ x )( x 1 ) ， 則 f ′ ( x ) ＝ 1 －11 ＋ x＝x1 ＋ x. ∵ x 1 ， ∴ f ′ ( x ) 0 ， ∴ f ( x ) 在區(qū)間 (1 ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞增． 又 ∵ f ( 1 ) ＝ 1 － l n 2 0 ，即 f ( 1 ) 0 ， ∴ 當(dāng) x 1 時(shí)， f ( x ) 0 ，即 x l n ( 1 ＋ x ) ． 四、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系 函數(shù)圖象的單調(diào)性可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)分析判斷，即符號(hào)為正，圖象上升，符號(hào)為負(fù)，圖象下降，看導(dǎo)數(shù) 圖象時(shí)，主要是看圖象在 x 軸上方還是下方，即關(guān)心導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，而不是其單調(diào)性．解決問(wèn)題時(shí)，一定要分清是函數(shù)圖象還是其導(dǎo)函數(shù)圖象． f ′ ( x ) 是函數(shù) f ( x ) 的導(dǎo)函數(shù)， y ＝ f ′ ( x ) 的圖象如圖，則 y ＝f ( x ) 的圖象最有可能是下列選項(xiàng)中的 ( ) [答案 ] C [解析 ] 題目所給出的是導(dǎo)函數(shù)的圖象，導(dǎo)函數(shù)的圖象在 x軸的上方，表示導(dǎo)函數(shù)大于零，原函數(shù)的圖象呈上升趨勢(shì)；導(dǎo)函數(shù)的圖象在 x軸的下方，表示導(dǎo)函數(shù)小于零，原函數(shù)的圖象呈下降趨勢(shì)．由 x∈ (－ ∞ ， 0)時(shí)導(dǎo)函數(shù)圖象在 x軸的上方，表示在此區(qū)間上，原函數(shù)的圖象呈上升趨勢(shì)，可排除 B、 D兩選項(xiàng)． 由 x∈ (0,1)時(shí)，圖象在 x軸的下方，表示在此區(qū)間上，原函數(shù)的圖象呈下降趨勢(shì)，可排除 A選項(xiàng)． 課堂典例探究 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． ( 1 ) f ( x ) ＝ 3
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