人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第3章31第1課時《數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念》-文庫吧
2025-10-15 15:23 本頁面
【正文】 ＝－ 1. ( 2 ) i 可與實數(shù)進行四則運算，且原有的加、乘運算律仍成立．這樣就產(chǎn)生了形如： a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的數(shù)叫 復(fù)數(shù)，顯然 i是－ 1 的一個平方根，即 i 是方程 x2＝－ 1 的一個解． 注意： 對虛數(shù)單位 i 的性質(zhì)的理解 ( 1 ) i2＝－ 1. ( 2 ) i 與實數(shù)之間可以運算，亦適合加、減、乘的運算律． ( 3 ) 由于 i20 與實數(shù)集中 a2≥ 0( a ∈ R ) 矛盾，所以實數(shù)集中很多結(jié)論在復(fù)數(shù)集中不再成立． (2020錦州期中 )計算 i2－ 3＝ ( ) A． 2 B．－ 4 C．－ 1 D．－ 2 [答案 ] B [解析 ] i2－ 3＝－ 1－ 3＝－ 4. 二、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念與分類 1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 設(shè) a、 b都是實數(shù)，形如 a＋ bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)通常用小寫字母 z表示，即 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)．其中 a叫做復(fù)數(shù) z的實部． b叫做復(fù)數(shù) z的虛部， i稱作虛數(shù)單位． 如 2－ 3i和－ 2＋ 6i都是復(fù)數(shù)，它們的實部分別為 2和－ 2，它們的虛部分別為－ 3和 6；另外， 2i和－ 2也都是復(fù)數(shù)，它們的實部分別為 0和－ 2，它們的虛部分別為 2和 ， 0也是復(fù)數(shù)，它的實部和虛部都是 0. 2 ．復(fù)數(shù)的分類 復(fù)數(shù) a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 當 b ＝ 0 時，就成為實數(shù)；除了實數(shù)以外的數(shù)，即 b ≠ 0 時， a ＋ b i 叫做虛數(shù)．當 b ≠ 0 ， a ＝ 0 時 ， b i叫做純虛數(shù)．即： 復(fù)數(shù) z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R )????? 實數(shù) ? b ＝ 0 ?虛數(shù) ? b ≠ 0 ?????? 純虛數(shù) ? a ＝ 0 ?非純虛數(shù) ? a ≠ 0 ? 注意： ( 1 ) 在復(fù)數(shù) a ＋ b i 中， a ， b 必須為實數(shù)，否則不是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式； ( 2 ) z ∈ R ? b ＝ 0 ； ( 3 ) z 是虛數(shù) ? b ≠ 0 ； ( 4 ) z 為純虛數(shù) ? a ＝ 0 且 b ≠ 0 ； ( 5 ) z ＝ 0 ? a ＝ 0 且 b ＝ 0. 3 ．復(fù)數(shù)集 全體復(fù) 數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集，復(fù)數(shù)集通常用大寫字母 C 表示，即 C ＝ { z | z ＝ a ＋ b i ， a ， b ∈ R } ．實數(shù)集 R 是復(fù)數(shù)集C 的真子集，即 R C . 復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系，如圖． 判斷下列命題的真假： (1)若 x2＋ y2＝ 0，則 x＝ y＝ 0； (2)若 z＝ a＋ bi，則僅當 a＝ 0， b≠0時為純虛數(shù)； (3)若 a∈ R，則 (a＋ 1)i是純虛數(shù)． [解析 ] (1)中，當 x＝ 1， y＝ i時， x2＋ y2＝ 0成立， (1)是假命題． (2)中，當 a， b∈ R時才成立， (2)是假命題． (3)中，當 a＝－ 1時， a＋ 1＝ 0不滿足純虛數(shù)的條件， (3)是假命題． 三、復(fù)數(shù)的相等 如果兩個復(fù)數(shù) a＋ bi(a， b∈ R)與 c＋ di(c， d∈ R)的實部與虛部對應(yīng)相等，我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等，記作 a＋ bi＝ c＋ di，即 a＋ bi＝ c＋ di?a＝ c且 b＝ d. 特別地， a＋ bi＝ 0?a＝ b＝ 0. 注意： (1)兩個實數(shù)可以比較大小，但是對于兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)，就不能比較大小，只能說相等或不相等． (2)注意 a， b， c， d∈ R這一條件． (3)利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和復(fù)數(shù)相等，可以化
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