【正文】 并且近年來Scinence和Nature等著名雜志是也有大量的關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的文章刊登。一些國際知名大學(xué)（如MIT，哥倫比亞大學(xué)和密歇根大學(xué)等）已相繼開設(shè)了有關(guān)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的課程。在進(jìn)入21世紀(jì)前，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在我國的研究并沒有受到重視，在這方面的研究也比較少。然而，從2002年起，最近幾年國內(nèi)不同學(xué)科的研究人員和青年學(xué)者對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的興趣越來越濃，至今已經(jīng)召開了多次以此為主題的學(xué)術(shù)會議和論壇。2004年4月，在無錫組織了有40余人參加的首屆全國復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)學(xué)術(shù)論壇。2004年10月，中國系統(tǒng)工程學(xué)會在浙江大學(xué)組織了全國復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研討班。2005年1月，中國數(shù)學(xué)會于上海交大組織了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)班。2005年10月，在北京召開的由中國高等學(xué)術(shù)研究中心組織的第二屆復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)學(xué)術(shù)論壇的參加人數(shù)已經(jīng)超過150人。武漢大學(xué)在國內(nèi)率先成立了校級復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中心并于2005年春季組織了全國復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)學(xué)術(shù)會議。我國在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域的研究也正在深入，并且也取得了很大的進(jìn)步?？偟膩碚f，最近幾年不管是國內(nèi)還是國際上，各個不同領(lǐng)域的學(xué)者專家們掀起了一股關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究熱潮，并且在這各個方面都有了深入的研究并取得了很多成果。相對來說，這些研究主要集中在數(shù)學(xué)領(lǐng)域、生命科學(xué)、計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、城市交通、病毒傳播等方面。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究還不是很多，處于起步階段，在這方面還有所欠缺。本文將運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論知識，對中小企業(yè)的發(fā)展問題進(jìn)行探討。 論文研究內(nèi)容及框架 論文內(nèi)容本文通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論知識的運(yùn)用，從市場交易的角度出發(fā)，構(gòu)建企業(yè)關(guān)系網(wǎng)。通過對企業(yè)關(guān)系網(wǎng)的研究，探討中小企業(yè)的發(fā)展問題。中小企業(yè)可以通過增加其與其他企業(yè)之間的聯(lián)系或加強(qiáng)企業(yè)之間的聯(lián)系，從而增加中小企業(yè)的發(fā)展空間，在面對困難的時候，可以降低或者規(guī)避風(fēng)險。這樣有利于中小企業(yè)的發(fā)展壯大，更有利于中小企業(yè)的長期發(fā)展，延長中小企業(yè)的壽命，為中小企業(yè)進(jìn)一步發(fā)展成為大型企業(yè)提供了可能。通過企業(yè)關(guān)系網(wǎng)的建立和研究發(fā)現(xiàn)，企業(yè)關(guān)系網(wǎng)中企業(yè)間的聯(lián)系具有小世界特性，即網(wǎng)絡(luò)的平均距離很小。企業(yè)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)還具有無標(biāo)度特性，每年我國都有幾百萬家中小企業(yè)成立，網(wǎng)絡(luò)的生長過程類似于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的生成過程。每過一段時間會有新的企業(yè)加入網(wǎng)絡(luò)或者有企業(yè)之間建立新的聯(lián)系，即網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)和邊的增加。而且具有優(yōu)先連接特性，新的節(jié)點(diǎn)總是喜好連接那些已經(jīng)有較多邊的點(diǎn)，也就是新加入的企業(yè)總是偏向于與大型企業(yè)建立市場交易關(guān)系。同時，企業(yè)關(guān)系網(wǎng)還具有局域世界模型的特性，企業(yè)聯(lián)系有一定的區(qū)域性，一般企業(yè)都是先與鄰近企業(yè)建立聯(lián)系，甚至加入當(dāng)?shù)仄髽I(yè)組織的企業(yè)聯(lián)盟或是成為當(dāng)?shù)仄髽I(yè)集群的一份子，之后才進(jìn)一步與外地企業(yè)之間建立關(guān)系。像我國企業(yè)大多數(shù)是先在國內(nèi)發(fā)展壯大后，才會選擇開辟海外市場。本文以企業(yè)關(guān)系網(wǎng)為模型，對企業(yè)之間交易關(guān)系的探討，對中小企業(yè)的發(fā)展進(jìn)行研究。通過復(fù)雜理論知識的運(yùn)用，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)動態(tài)生長性，增加企業(yè)自身的度值（建立更多的連接），并盡可能的建立遠(yuǎn)程連接（多與外地企業(yè)建立市場交易關(guān)系），有利于企業(yè)更快更好的發(fā)展，并能夠發(fā)展更長遠(yuǎn)，更壯大。 論文框架本文是從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)視角研究中小企業(yè)發(fā)展，文章總共分為五個部分。第一章為緒論，主要介紹了論文的研究背景，國內(nèi)外對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)展動態(tài)，以及本文的研究內(nèi)容和目標(biāo)。第二章對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論知識進(jìn)行簡述，主要包括復(fù)雜理論的發(fā)展簡史，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本概念以及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的介紹。第三章是有關(guān)中小企業(yè)發(fā)展的資料分析，中小企業(yè)的界定，中小企業(yè)的發(fā)展意義,中小企業(yè)發(fā)展理論以及我國中小企業(yè)發(fā)展現(xiàn)狀和相關(guān)政策。第四章為模型構(gòu)建，通過市場交易關(guān)系的角度建立企業(yè)關(guān)系網(wǎng)，并對企業(yè)關(guān)系網(wǎng)的小世界效應(yīng)、無標(biāo)度特性以及局域世界特性進(jìn)行分析，研究中小企業(yè)的發(fā)展。第五章為總結(jié)與展望，對本文進(jìn)行總結(jié)以及指出本文研究存在的不足之處，并對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的發(fā)展，特別是中小企業(yè)發(fā)展前景的展望。第二章 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論基礎(chǔ) “網(wǎng)絡(luò)”被稱為當(dāng)今社會最“濫用”的詞匯之一，從這一方面就能看出網(wǎng)絡(luò)在當(dāng)今世界的應(yīng)用有多么的廣泛。當(dāng)今社會，又稱之為網(wǎng)絡(luò)社會，可以說網(wǎng)絡(luò)無處不在。網(wǎng)絡(luò)即可以是歐幾里德空間的真實(shí)物體，如：電力網(wǎng)、因特網(wǎng)、信號網(wǎng)絡(luò)、高速公路網(wǎng)絡(luò)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等；也可以是定義在抽象空間的實(shí)體，如朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)、經(jīng)濟(jì)交流網(wǎng)和科學(xué)合作網(wǎng)等。 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究簡史 七橋問題要研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，就不得不提到圖論。歷史上，網(wǎng)絡(luò)的研究屬于離散數(shù)學(xué)的分支——圖論的研究范疇。1736年，歐拉在七橋問題的研究過程中，他利用抽象法，將被河流分隔開的四塊陸地抽象為四個點(diǎn)，而連接四塊陸地之間的七座橋則抽象為連接這四個點(diǎn)的七條線。這樣就得到了有四個點(diǎn)和起跳線構(gòu)成的一個圖，于是七橋問題就被轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題。歐拉對七橋問題的抽象和論證思想，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)中的一個分支——圖論的研究。因此，歐拉被公認(rèn)為圖論之父。事實(shí)上，今天關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究與歐拉當(dāng)年關(guān)于七橋問題的研究在某種程度上是一脈相承的，即網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)密切相關(guān)。 隨機(jī)圖理論20世紀(jì)60年代，兩位匈牙利數(shù)學(xué)家Erdos和Renyi建立的隨機(jī)圖理論被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)上開創(chuàng)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的系統(tǒng)性研究。在Erdos和Renyi研究的隨機(jī)圖模型（稱之為ER隨機(jī)圖）中，任意兩個節(jié)點(diǎn)之間有一條邊相連接的概率都為p。因此，一個含N個節(jié)點(diǎn)的ER隨機(jī)圖中邊的總數(shù)是一個期望值為p[N(N1)/2]的隨機(jī)變量。由此可以推測得出，產(chǎn)生一個含有N個節(jié)點(diǎn)和M條邊的ER隨機(jī)圖的概率為。Erdos和Renyi系統(tǒng)的研究了當(dāng)N→∞時ER隨機(jī)圖的性質(zhì)（如連通性等）與概率p之間的聯(lián)系。他們采用了如下定義：幾乎每一個ER隨機(jī)圖都具有某種性質(zhì)Q，如果當(dāng)N→∞時產(chǎn)生具有這種性質(zhì)Q的ER隨機(jī)圖的概率為1。Erdos和Renyi的最重要的發(fā)現(xiàn)是：ER隨機(jī)圖的許多重要的性質(zhì)都是突然涌現(xiàn)的。也就是說對于一個給定的概率p，要么幾乎每一個圖都具有某個性質(zhì)Q，要么幾乎每一個圖都不具有該性質(zhì)。 小世界實(shí)驗(yàn)20世紀(jì)60年代美國哈佛大學(xué)的社會心理學(xué)家Stanley Milgram通過一些社會調(diào)查后給出的推斷是：地球上任意兩個人之間的平均距離是6。即你平均只需要通過5個人就能與地球上的任意角落的任何一個人發(fā)生聯(lián)系。這就是著名的六度分離推斷。在某種程度上反映了人際關(guān)系的“小世界”特征。2001年秋天，Watts組建了一個研究小組，并建立了一個稱為小世界項(xiàng)目的網(wǎng)站在世界范圍內(nèi)進(jìn)行六度分離假說的網(wǎng)上在線實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。該小組于2003年8月在Science雜志上報道了他們的初步實(shí)驗(yàn)結(jié)果。在一年多的時間里，總共有13個國家的18名目標(biāo)對象和166個國家和地區(qū)的6萬多個志愿者參與實(shí)驗(yàn)，最后有384個志愿者的電子郵件抵達(dá)了目的地。其中每封郵件平均轉(zhuǎn)發(fā)57次，即可到達(dá)目標(biāo)對象。從而驗(yàn)證了“六度分離”的正確性。 弱連接的強(qiáng)度20世紀(jì)60年代末，哈佛大學(xué)的研究生Mark Granovetter就人們找工作的途徑的研究發(fā)現(xiàn)人們在找工作的過程中，那些關(guān)系緊密的朋友（強(qiáng)連接）反倒沒有那些關(guān)系一般的甚至只是偶爾見面的朋友（弱連接）更能夠發(fā)揮作用。事實(shí)上，關(guān)系緊密的朋友也許根本幫不上忙。Granovetter在波士頓地區(qū)采訪了近100個人，并向200多個人發(fā)出了問卷。這些被調(diào)查者，都是剛剛改變工作或者最近才被聘用的，而且都是專業(yè)技術(shù)人士，也就是說，調(diào)查范圍不包括藍(lán)領(lǐng)工人。他的研究的出了上面的結(jié)論，并在《美國社會學(xué)》雜志上發(fā)表了標(biāo)題為《弱連接強(qiáng)度》的論文，對他的研究結(jié)果進(jìn)行了介紹。該論文被認(rèn)為是有史以來最有影響的社會學(xué)論文之一。 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究新紀(jì)元在20世紀(jì)末，隨著數(shù)據(jù)庫容量的持續(xù)增加以及計算機(jī)存儲和操作能力的增強(qiáng)，人們對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的科學(xué)探索發(fā)生了重要的轉(zhuǎn)變，尤其是對于萬維網(wǎng)和Internet 的圖形化處理為研究大規(guī)模復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)提供了機(jī)會。研究不再局限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，人們開展了用圖對社會科學(xué)基礎(chǔ)系統(tǒng)以及生物學(xué)中的許多網(wǎng)絡(luò)的研究。此時的研究開始用系統(tǒng)的眼光來看待這些巨大的數(shù)據(jù)集合，試圖尋找這些復(fù)雜系統(tǒng)的演化和動力學(xué)背后的規(guī)律和模式。當(dāng)研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)時就發(fā)現(xiàn)盡管系統(tǒng)具有明顯的復(fù)雜性和隨機(jī)性，但是也會出現(xiàn)可以用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計語言來描述的清晰的模式和規(guī)律。特別是兩篇開創(chuàng)性的文章可以看作是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究新紀(jì)元開始的標(biāo)志：一篇是美國康奈爾大學(xué)的博士生Watts及其導(dǎo)師Strogatz教授于1998年6月在“自然”雜志上發(fā)表的題為《“小世界”網(wǎng)絡(luò)的集體動力學(xué)》的文章。另一篇是美國Notre Dame大學(xué)的物理學(xué)家Barab225。si及其博士生Albert于1999年10月在“科學(xué)”雜志上發(fā)表的題為《隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中尺度的涌現(xiàn)》的文章。這兩篇文章分別揭示了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的小世界特征和無尺度性質(zhì)并建立了相應(yīng)的模型以闡述這些特性的產(chǎn)生機(jī)理，進(jìn)而在從物理學(xué)到生物學(xué)的眾多學(xué)科掀起了研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的熱潮。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的簡單歷史見表21。 表21 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的簡史時間（年）人物事件1736Euler七橋問題1959Erdos、Renyi隨即圖理論1967Milgram小世界實(shí)驗(yàn)1973Granovetter弱連接的強(qiáng)度1998Watts、Strogatz小世界模型1999Barabasi、 Albert無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò) 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本概念一個具體網(wǎng)絡(luò)可抽象為一個由點(diǎn)集V(G)和邊集E(G)組成的圖G (V， E)。節(jié)點(diǎn)數(shù)記為N= |V |， 邊數(shù)記為M=| E |。 E(G)中每條邊都有V(G)中一對點(diǎn)與之相對應(yīng)。如果任意點(diǎn)對(i，j)與( j，i)對應(yīng)同一條邊則該網(wǎng)絡(luò)稱為無向網(wǎng)絡(luò)，否則稱為有向網(wǎng)絡(luò)。如果給每條邊都賦予相應(yīng)的權(quán)值，那么該網(wǎng)絡(luò)就稱為加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，否則稱為無權(quán)網(wǎng)絡(luò)。無權(quán)網(wǎng)絡(luò)也可以看做是每條邊的權(quán)值都為1的等權(quán)網(wǎng)絡(luò)。另外，一個網(wǎng)絡(luò)中還可以包含多種不同類型的節(jié)點(diǎn)。例如，在社會關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中可以用權(quán)表示兩個人的熟悉程度，而不同類型的節(jié)點(diǎn)可以代表具有不同的國籍、地區(qū)、年齡、性別、收入的人。人們已經(jīng)研究了網(wǎng)絡(luò)的許多特性，在各種文獻(xiàn)里以下三個基本概念是最常見的：平均路徑長度、聚類系數(shù)和度分布。 平均路徑長度網(wǎng)絡(luò)中兩個節(jié)點(diǎn)i與j之間的距離定義為連接這兩個節(jié)點(diǎn)的最短路徑包含的邊數(shù)。網(wǎng)絡(luò)中任意兩個節(jié)點(diǎn)之間的距離的最大值被定義為網(wǎng)絡(luò)的直徑，記作D。即 （2—1）網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度L 定義為任意兩個節(jié)點(diǎn)之間的距離的平均值，即 （2—2）其中N為網(wǎng)絡(luò)及點(diǎn)數(shù)。例如，對于圖2—1所示的一個包含5各節(jié)點(diǎn)和5條邊的網(wǎng)絡(luò)，有。近期研究發(fā)現(xiàn)，盡管許多實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)巨大，網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度卻小得驚人。 圖21 一個簡單網(wǎng)絡(luò)的直徑和平均路徑長度 具體的說，一個網(wǎng)絡(luò)是具有小世界效應(yīng)的，如果對于固定的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)平均度〈k〉，平均路徑長度L的增加速度至多與網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N的對數(shù)成正比。 聚類系數(shù)節(jié)點(diǎn)i的鄰居節(jié)點(diǎn)之間也可能互為鄰居，這稱為網(wǎng)絡(luò)的聚類特性。設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的一個節(jié)點(diǎn)i有條邊將它和其它節(jié)點(diǎn)相連，這個節(jié)點(diǎn)就稱為節(jié)點(diǎn)i的鄰居。在這個節(jié)點(diǎn)之間最多可能有（1）/2條邊，而這個節(jié)點(diǎn)之間實(shí)際存在的邊數(shù)和總的可能的邊數(shù)（1）/2之比就定義為節(jié)點(diǎn)i的聚類系數(shù)，即 （2—3）從幾何特點(diǎn)看，上式的一個等價定義為 （2—4）其中，與節(jié)點(diǎn)i相連的三元組是指包括節(jié)點(diǎn)i的三個節(jié)點(diǎn)，并且至少存在從節(jié)點(diǎn)i到其他兩個節(jié)點(diǎn)的兩條邊。整個網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)C就是所有節(jié)點(diǎn)i的聚類系數(shù)的平均值 ，即 （2—5）很明顯。當(dāng)且僅當(dāng)所有的節(jié)點(diǎn)均為孤立節(jié)點(diǎn)，即沒有任何連接邊時C=0；當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)絡(luò)是全局耦合的，即網(wǎng)絡(luò)中任意兩個節(jié)點(diǎn)都直接相連時C=1。對于一個含有N個節(jié)點(diǎn)的完全隨機(jī)的網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)N很大時。然而對于許多大規(guī)模的實(shí)際網(wǎng)絡(luò)其聚類系數(shù)盡管遠(yuǎn)小于1，但卻比要大得多。這就說明這些實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)并不是以往人們想象的那樣是完全隨機(jī)的，而是在某種程度上類似于社會關(guān)系網(wǎng)路中的“物以類聚，人以群分”特性。 度分布度是單個節(jié)點(diǎn)的屬性中簡單而又很重要的概念。節(jié)點(diǎn)i的度定義為與該節(jié)點(diǎn)連接的其它節(jié)點(diǎn)的數(shù)目，因此，一個節(jié)點(diǎn)的度越大就意味著這個節(jié)點(diǎn)就越“重要”。 網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)i的度的平均值稱為網(wǎng)絡(luò)的平均度，記為k 。網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度的分布情況可用分布函數(shù)P(k )來描述。P(k )為網(wǎng)絡(luò)中度為k的頂點(diǎn)占所有頂點(diǎn)數(shù)的比例，也就是隨機(jī)選取的一個頂點(diǎn)的度為k的概率。規(guī)則的格子有著簡單的度序列，因?yàn)樗械墓?jié)點(diǎn)具有相同的度，所以其度分布是一個很尖的峰（delta分布），網(wǎng)絡(luò)中的任何隨機(jī)化傾向都將使這個尖峰的形狀變寬。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模趨向于無窮時，完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的度分布近似為泊松分布（圖22（A）），其形狀在遠(yuǎn)離峰值k 處呈指數(shù)下降。這意味著當(dāng)k k 時度為k的節(jié)點(diǎn)幾乎不存在，因此這類網(wǎng)絡(luò)也稱為均勻網(wǎng)絡(luò)。近幾年的大量研究表明，許多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的度分布明顯不同于泊松分布。圖22 泊松分布（A）與冪律分布（B）示意圖。泊松分布在均值處有個峰值，曲線在偏離均值時呈指數(shù)衰減；冪律分布在雙對數(shù)坐標(biāo)上是一條直線。特別地，許多網(wǎng)絡(luò)的度分布可以用冪律形式來更好的描述（圖21 （B））。冪律分布曲線比指數(shù)分布曲線要下降的緩慢得多。數(shù)學(xué)上如果一個函數(shù)f (x)具有如下性質(zhì)：對任意給定常數(shù)a， 存在常數(shù)b使得f (ax) = bf (x)， 則稱該函數(shù)是“無尺度”的，而冪函數(shù)正是具有這種性質(zhì)的唯一的函數(shù)。這表明具有冪律度分布的網(wǎng)絡(luò)沒有明顯的特征尺度，所以這類網(wǎng)絡(luò)稱為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。這樣，在一個大規(guī)模的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，絕大部分的節(jié)點(diǎn)的度相對很低，但存在少量的度相對很高的節(jié)點(diǎn)。因此，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是非均勻的，而那些少量的度相對很高的節(jié)點(diǎn)稱為網(wǎng)絡(luò)的“中心結(jié)點(diǎn)”。另外一種表示度數(shù)據(jù)的方法是繪制累積度分布函數(shù)