整環(huán)里的因子分解-文庫吧
2025-06-06 08:45 本頁面
【正文】 質(zhì) ： 定理 設(shè) 環(huán)K的全體單位組成的集合為G，則G對K的乘 法構(gòu) 成一個交換群。 證明 對任意,a b G?， 有,a b K?，存在11,a b K?? ?， 因 1 1aa ? ?，1 1bb ? ?， 從而 有 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 1a b b a a b b a? ? ? ???。 所以ab為單位，故a b G?。 因 K 滿足結(jié)合律，所以在G中亦滿足結(jié)合律。 由于 K 的單位元 1 是可逆的，所以1 G?。 G中的每一個元都有逆元， 且逆元在G中 。 故G對于 K 的乘法 構(gòu) 成交換群。 推論 兩個單位?和? ?的乘 積?? ?也是一個單位，單位?的逆元1? ? 也是一個單位。 例 2 求出高 斯 整環(huán)? ?Zi中的所有單位以及整數(shù) 5 在? ?Zi 中的所有真因子。 解 （ 1 ）設(shè)a b i? ??是? ?Zi的任一單位 ， 則有? ?Zi? ? ? 使1?? ? ?，221?? ? ?。 這只有 2 221ab? ? ? ?，從而 有 1??a ，0b ?或0a ?，1b ??。 即1?和i?是環(huán)? ?Zi的全部單位。 （ 2 ）設(shè)a b i? ??是 5 在? ?Zi中的任一真因子 ， 則存在 ? ?Zi? ?， 使 得5 ???，2225 ???。 這只有 21? ?、 5 或 25 。 由于?是 5 的真因子，而環(huán)? ?Zi的單位只有1?，i?， 故21? ?； 又225? ?。 若225? ?， 則21? ?。 即?是單位，?與 5相伴。 這與?是 5 的真因子矛盾。故只有 2 225ab? ? ? ?。 解此方程得 12ab??????? ， 21ab???????。 于是， 5 的全部真因子共有 8 個，它們是12 i??，2 i??。 實際上， 5 的不相伴的真因子只有兩個，12 i?，而其余的真因子都與這兩個中的某一個相伴。 3 、不可約元、素元的定義： 定義 2 設(shè)0, ?? aKa 且a不是單位 。若a只有平凡因子，則稱a為環(huán)K的一個 不可約元 。 否則，
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