整環(huán)里的因子分解-文庫吧資料
2025-06-27 08:45本頁面
【正文】 明：設(shè)pK?，a是p的任一因子，且 p a b? （ 1 ） 由于環(huán) K 有單位元，故|pp ，p a b。但對一般的整環(huán) K 不可約元和素元是有區(qū)別的。證畢。這時 b 不會是 a 的相伴元，不然的話 cacaab ??? ???? 1, c 是單位，與 假定不合。 c 也不是單位，不然的話 1?? acb ， b 是 a 的相伴元，與 b 是 a 的真因子的假定不合。 定理 4. 1 . 3 整環(huán)中一個不等于零的元 a 有真因子的充分必要條件是： a = bc (b 和 c 都不是單位 ) 。 由于1?? ?也是單位，從而b是a?的相伴元，即a?只有平凡因子。但a是不可約元，故b只能是a的相伴元。 由于0? ?，0a ?， K 無零因子，所以0a? ?；又由于a是不可約元，所以a?不是單位，否則，存在K? ? ?，使得( ) 1a?? ? ?，從而有( ) 1a ?? ? ?，于是a為單位，這與a是不可約元矛盾。 證明 設(shè)?是 K 中 的 任意一個單位，則a?是a的 任 意一個 相伴元 。 ( iii) , . (i) 如果 , 則 , 所以 . 如果 , 則 . 當(dāng) , 時 , . 因為 . 當(dāng) , 時 , . (i i) 如果 , , 這不可能。 例 3 在 中 , 任一素數(shù) 既是素元又是不可約元 . 例 4 在 中 , 證明 : 是不可約元 , 但不是素元 . 證明 (1) 首先證明 在 中不可約 . 設(shè) , 則 . 所以 . 即 . 由此得 ( i) , 。 定義 3 設(shè)pK?，0p ?且p不是單位。若a只有平凡因子，則稱a為環(huán)K的一個 不可約元 。 實際上， 5 的不相伴的真因子只有兩個，12 i?，而其余的真因子都與這兩個中的某一個相伴。 解此方程得 12ab??????? ， 21ab???????。 這與?是 5 的真因子矛盾。 若225? ?， 則21? ?。 這只有 21? ?、 5 或 25 。 即1?和i?是環(huán)? ?Zi的全部單位。 解 （ 1 ）設(shè)a b i? ??是? ?Zi
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1