整環(huán)里的因子分解(已改無(wú)錯(cuò)字)
2023-07-22 08:45:45 本頁(yè)面
【正文】 過(guò)來(lái)，假定 a= bc b 和 c 都不是單位。這時(shí) b 不會(huì)是 a 的相伴元，不然的話 cacaab ??? ???? 1, c 是單位，與 假定不合。這樣， b 既不是單位，也不是 a 的相伴元， b 是 a 的真因子。證畢。 顯然，整數(shù)環(huán) Z 中的不可約元和素元都是正負(fù)素?cái)?shù)，數(shù)域 P 上的一元多項(xiàng)式環(huán)? ?Px中 的不可約元和素元都是不可約多項(xiàng)式。但對(duì)一般的整環(huán) K 不可約元和素元是有區(qū)別的。 定理 . 4 環(huán) K 中素元一定是不可約元 。 證明：設(shè)pK?，a是p的任一因子，且 p a b? （ 1 ） 由于環(huán) K 有單位元，故|pp ，p a b。 但p是素元，故有pa或pb。 若pa，令a p c?，代入（ 1 ）得p p c b?， 則1cb ?， 即 b 是單位，從而a與p相伴。 若pb，同理可得a是單位 ，b與p相伴。 因此p只有平凡因子，從而p是不可約元。 應(yīng)注意，這個(gè)定理的逆命題 不成立，即不可約元不 一定是素元 。 例 5 5 { 5 | , }Z i a b i a b Z?? ? ? ???是有單位元的 整環(huán) 。 若2| | 9? ?，則?必是環(huán)[ 5 ]Zi的不可約元。 證明 事實(shí)上 , 若5a b i? ??是?的任一因子，則有[ 5 ]Zi? ?，使 2 2 2, | | | | | | 9? ? ? ? ? ?? ? ?， 這只有2| | 1 , 3? ?或9。但易知2 2 2| | 5 3ab? ? ? ?，故只有2| | 1? ?或9。 當(dāng)2| | 1? ?時(shí)，?是可逆元；當(dāng)2| | 9? ?時(shí)，2| | 1? ?，即?是單位，于是?與?相伴。因此，?只有平凡因子，即?是不可約元。 由此可知，環(huán)[ 5 ]Zi中的元素3及25 i?都是不可約元。 由于? ? ? ?3 2 5 2 5ii??，但 3 不能整除25 i?與25 i?中任何一個(gè)，即 3 不是環(huán)5Zi????的素元。 習(xí) 題 二 十 六 1 、證明 ： 在高斯整環(huán)? ?D Z i?中， 3 是不可約元， 5 是可約元。 2 、證明：2nmD m Z?????，nZ?，0n ? ???
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1