整環(huán)里的因子分解-在線瀏覽
2024-08-01 08:45本頁(yè)面
【正文】 在 中 , 6 有因子 : 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6. 其中 1 與 1 為單位 , 6 和 6 與 6 相伴 , 2, 2, 3, 3 為 6 的真因子 . 容易證明通常整除的一些基本性質(zhì)在這里均成立。 1 才是單位，因此 在整數(shù) 環(huán) Z 中 兩個(gè)整數(shù)相伴當(dāng)且僅當(dāng)這兩數(shù)相等或只相差一 個(gè)符號(hào)；數(shù) 域 P 上的一元多項(xiàng)式環(huán)? ?Px中 的單位是全 體零次多項(xiàng)式，? ?Px中 兩個(gè)多項(xiàng)式相伴當(dāng)且僅當(dāng)這兩 個(gè)多項(xiàng)式只相差一個(gè)非零常數(shù)因子 。 因此，若a與b相伴 ，則b與a相伴。 2 、 整環(huán)的單位 的 性 質(zhì) ： 定理 設(shè) 環(huán)K的全體單位組成的集合為G，則G對(duì)K的乘 法構(gòu) 成一個(gè)交換群。 所以ab為單位，故a b G?。 由于 K 的單位元 1 是可逆的，所以1 G?。 故G對(duì)于 K 的乘法 構(gòu) 成交換群。 例 2 求出高 斯 整環(huán)? ?Zi中的所有單位以及整數(shù) 5 在? ?Zi 中的所有真因子。 這只有 2 221ab? ? ? ?，從而 有 1??a ，0b ?或0a ?，1b ??。 （ 2 ）設(shè)a b i? ??是 5 在? ?Zi中的任一真因子 ， 則存在 ? ?Zi? ?， 使 得5 ???，2225 ???。 由于?是 5 的真因子，而環(huán)? ?Zi的單位只有1?，i?， 故21? ?； 又225? ?。 即?是單位，?與 5相伴。故只有 2 225ab? ? ? ?。 于是， 5 的全部真因子共有 8 個(gè)，它們是12 i??，2 i??。 3 、不可約元、素元的定義： 定義 2 設(shè)0, ?? aKa 且a不是單位 。 否則， 稱(chēng)a為環(huán)K的一個(gè) 可約元 。若當(dāng)p a b時(shí)，必有pa或pb，則稱(chēng)p為K 的 素元 。 (ii ) , 。 (i ii ) 如果 , , 則 . 由此知 , 的任一因子都不是真因子 , 故 在 中不可約 . (2) 證明 不是 中的素元 . 由于 , 而 , 故 不是素元 . 二、 相伴元、不可約元、素元 的關(guān)系 定理 4 . 1 . 2 環(huán) K 中不可約元a的任意相伴元仍為 K 中 的不可約元。 下證a?是 K 中 的 不可約元。
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