整環(huán)里的因子分解-閱讀頁
2025-07-06 08:45本頁面
【正文】 設(shè)|ba?，令a b c? ?，且b不是單位，則有 1()a b c? ??，即|ba。設(shè) 1( ) ( )b a a? ? ? ????，（?是單位）。因此a?是不可約元。 證明 若 a 有真因子 b , 那么 a = bc 這里的 b 由真因子的定義不是單位。 反過來，假定 a= bc b 和 c 都不是單位。這樣， b 既不是單位，也不是 a 的相伴元， b 是 a 的真因子。 顯然，整數(shù)環(huán) Z 中的不可約元和素元都是正負素數(shù)，數(shù)域 P 上的一元多項式環(huán)? ?Px中 的不可約元和素元都是不可約多項式。 定理 . 4 環(huán) K 中素元一定是不可約元 。 但p是素元，故有pa或pb。 若pb，同理可得a是單位 ，b與p相伴。 應(yīng)注意，這個定理的逆命題 不成立，即不可約元不 一定是素元 。 若2| | 9? ?，則?必是環(huán)[ 5 ]Zi的不可約元。但易知2 2 2| | 5 3ab? ? ? ?，故只有2| | 1? ?或9。因此，?只有平凡因子，即?是不可約元。 由于? ? ? ?3 2 5 2 5ii??，但 3 不能整除25 i?與25 i?中任何一個，即 3 不是環(huán)5Zi????的素元。 2 、證明：2nmD m Z?????，nZ?，0n ? ???是整環(huán)，并指出 D 的哪些元素是單位，哪些是素元。 習(xí) 題 二 十 六 解 答 1 、 證明 先一般地證明滿足29a ?的元a是? ?Zi的不可約元?，F(xiàn)設(shè)b m n i??是a的因子，則? ? ,a b c c Z i??， 于是2 2 29 a b c??， 而 對,m n Z?? 2 223b m n? ? ?，因而有21b ?或 9 ， 當21b ?時， b 為單位。 由于239 ?，所以 3 是? ?Zi的不可約元。 2. 證 D是整環(huán)，顯然。 可以把m表為 ppm k (2?是０或奇數(shù)，k非負整數(shù)）我們說 1??p時，即km 2??是單位，反之亦然 ２）D的素元 。221 ???，于是 239。?也是 正整數(shù)，因此，只有12??。 (2) 由相伴元的定義可得 2 的相伴元只有 2 與
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