《數(shù)學(xué)分析》中極限問題及淺析-文庫吧
2024-12-27 01:45 本頁面
【正文】 ? ?? 1??? ? ，，對任意自然數(shù)，若存在設(shè)數(shù)列 0100 0 NNNa n ????? ? 為極限。不以。則而 aaaa nN 01 ???齊齊哈爾大學(xué)成人高等教育畢業(yè)設(shè)計（論文）用紙 3 例：單調(diào)數(shù)列 收斂于 a 的充要條件是存在子列 使得 證：不妨設(shè)設(shè) 是單調(diào)遞增數(shù)列，必要性顯然。 充分性：若 對任意的 0?? ，存在 k0 ，當(dāng) k ≥ k0 時： 1Xnk a1 = a Xnk 當(dāng) n ≥ nk 時：有 此即為： 例：設(shè) 證： 當(dāng) x0 = 0 時 顯然 xn= 0 (n =1. 2.? ) 故： xn = 0 ?? 故可得： 故 xn 是單調(diào)有上界的函數(shù)，從而收斂。 kXn a ?? ??k 則： ???????? knnn xaxaaxaxn? ?? ??n???????? 2,20 ??x 1sin2 ?? nn xx ??.?n ??nx求證 收斂，并求 lim ??n xn lim ??n? ? ,2,00 時當(dāng)： ??x 000001 22s i n2s i n2 xxx xxxx ???????? ????? ??????? ? ?? 2s i n2,0( x xx o 時，容易證明當(dāng)11 1112 s i n2s i n2 xx xxxx ????? ??11 111 s i n2s i n2 ?? ??? ????? nn nnnn xx xxxx ???? ????? nxxxx 210??nx ? ?knxaxim knk ??????nx齊齊哈爾大學(xué)成人高等教育畢業(yè)設(shè)計（論文）用紙 4 lim ??n aa sin2?? 記 a= xn 由于 又由于方程 所以 當(dāng) 例：設(shè) a 0, xn(n= ?? )為由以下各式： x0 0, 所確定的數(shù)列，求證 證：由假設(shè) x0 0, 又由算術(shù)平均數(shù)和幾何 平均數(shù)之間的關(guān)系得： 由單調(diào)有界原理，則： 將 2 x 0 0 ???? a aaa s in22 ?? ?? 對滿足等式有唯一解0s in2 ?? xx ?2??a 從而 lim ??n 2??nx時，同理可得)0,2(x 0 ???lim ??n 2???nx)(21x 1n nn xax ??? (n =0、 2，?? ) lim ??n axn ?axaxxaxxnnnnn?????? )(211?又 1)1(211 2 ????nnn xaxx （ n= ??） nn xx ??1即： （ n= ??） lim ??n ??nx取極限得：)(211 nnn xaxx ???).(21 ??? a?? a??從而：? lim ??n axn ?齊齊哈爾大學(xué)成人高等教育畢業(yè)設(shè)計（論文）用紙 5 從上面幾個例子中看出，在某些數(shù)列的極限問題中，由數(shù)列各項間的遞推關(guān)系，由單調(diào)有界定理可以比較巧妙地證明極限的存在。并計算出極限。 （三）柯西收斂準(zhǔn)則求極限 下面舉例說明柯西收斂準(zhǔn)則 [4]的應(yīng)用。 證明數(shù)列 xn 是收斂的。 證明： 可歸納得到：
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