【正文】 (2) 菱形坐標(biāo)系．坐標(biāo)軸 ox=oy=oz，軸夾角xoy=yoz=zox≠ (或＝ )90176。 三次軸沿著體對角線。點 P(xyz)經(jīng) C3一次旋轉(zhuǎn)后， 得到 P’(yzx)，第二次操作后，得到 P”(zxy)。 相應(yīng)的矩陣表示 C31=??????????001100010 ， C3２ =??????????010001100 從 P 到 P’，再到 P”，是逆時針的（正方向），那么，我們來觀察讓 P 不動，而讓坐標(biāo)系順時針旋轉(zhuǎn)，很明顯，旋轉(zhuǎn)一次后， oy 取代了原來的 ox，而且 oy變?yōu)?oz， oz 變?yōu)?ox，即 x— → y， y— → z， z— → x 或?qū)懗? ????????xzzyyx39。39。39。 ， 變換矩陣為??????????001100010 二次旋轉(zhuǎn)，????????yzxyzx ，變換矩陣是??????????001100010??????????001100010 ＝??????????010001100 三次旋轉(zhuǎn)，????????zzyyxx39。39。39。 ，變換矩陣是??????????001100010??????????001100010??????????001100010 ＝??????????100010001 ＝ E 例 4． C2(110) 先將 C2繞 z 軸轉(zhuǎn) 45176。 ， C2與 y 軸重合 然后完成 C2的轉(zhuǎn)動，再繞 z 轉(zhuǎn)回 45176。 ， ???????????1000cossin0sincos　　　 ??????????????100010001?????????? ?1000cossin0sincos　　　 ???? θ =45176。，將 cos45176。 =sin45176。 = 22 代入上式，得 31 C2(110)=??????????100001010 現(xiàn)在我們來證明，晶體中只存在 C1， C2， C3， C4， C6， 不存在 C5的問題。 有周期排列的點陣結(jié)構(gòu)是晶體的主要特征。一個點 N1 移動一個點陣周期后，得 N2.。在 N2，同樣具有 Cn 旋轉(zhuǎn)軸對稱性。在 N2 點進行一次 Cn 旋轉(zhuǎn)對稱操作，旋轉(zhuǎn)角 φ =360176。 /n 旋轉(zhuǎn)后得 N3 點，在 N3 又進行一次 Cn操作，得 N4，這時， N4點陣點與 N1 距離為 d。而 N1N2=a， N2N3=a， N3N4=a。從圖 2． 13 中，我們可以看到， d=a－ 2a cosφ 由周期性的要求，應(yīng)有 d=ma，其中 m 必須為整數(shù) 所以， ma=a2a cosφ 2 cosφ =1m=M 因為－１? cosφ ?＋１，所以｜ M|? 2,M 的全部可能值只有０，177。１，177。２。 M φ176。 n=360/φ － 2 180 2 － 1 120 3 0 90 4 1 60 6 2 0 1 由表可見，晶體學(xué)中的旋轉(zhuǎn)軸只有 C1， C2， C3， C4， C6，而沒有 C5，不過，在分子對稱性中，可能存在 C5和 C∞ 。 2． 2． 5 旋轉(zhuǎn)反伸軸（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6 ），或稱旋轉(zhuǎn)倒反，反軸，記為 In 這是聯(lián)合了兩步操作才能完成的對稱操作。即先轉(zhuǎn)動再反伸，或先反伸再轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動操作表示為?????????? ?1000c o ssin0sinc o s????　 ，反伸操作表示為 ??????????100010001，這兩個操作的聯(lián)合，就是兩個矩陣相乘： In=?????????? ?1000c o ssin0sinc o s????　 ??????????10001001=?????????????1000c o ss in0s inc o s????　　 例如： I1=??????????100010001??????????100010001=??????????100010001=i 32 I2=??????????100010001??????????100010001=??????????100010001 =m(xy) I3=???????????????1000120c o s120s in0120s in120c o s　 ??????????100010001=?????????????10002/12/302/32/1　 I4=???????????????100090c o s90s in090s in90c o s　 ??????????100010001=??????????100001010 I6=???????????????100060c o s60s in060s in60c o s　 ??????????100010001=???????????????10002/12/302/32/1　 2． 2． 5． 1 當(dāng) n=偶數(shù)時 n=2 I2=?????????? ?1000c o ssin0sinc o s　　 ??????????????100010001=??????????100010001 =m(xy) n=4 I41=???????????????100090c o s90s in090s in90c o s　 ??????????100010001=??????????100001010 I42=??????????100001010??????????100010001=??????????100010001=C2 n=6，在六角坐標(biāo)系中，令坐標(biāo)系倒轉(zhuǎn) 60176。 ，則 ????????zz39。xy39。yx39。 x 33 I61=??????????100010001??????????100001011　 = ??????????100001011　 = ??????????100001011　 ??????????100010001 I62=??????????100001011　 ??????????100001011　 = ??????????100011010　 I63=??????????100001011　 ??????????100011010　 =??????????100010001 =m(xy) I64=??????????100001011　??????????100010001 =??????????100001011　 I65=??????????100001011　 ??????????100001011　 = ??????????100011010　 I66=??????????100001011　 ??????????100011010　 =??????????100010001　 =E 2． 2． 5．２當(dāng) n 為奇數(shù)時 n=1， I1=1 =i E??????????100010001=??????????100010001=i n=3 I31=C31178。 i=??????????100011010??????????100010001=??????????100011010　 I32=??????????100011010　 ??????????100011010　 = ??????????100001011=C32 先轉(zhuǎn)動后反伸 =先反伸后轉(zhuǎn)動 效果相同 34 I33=??????????100011010　 ??????????100001011=??????????100010001=i I34=??????????100011010　 ??????????100010001=??????????100011010=C31 I35=??????????100011010　 ??????????100011010=??????????100001011　 I36=??????????100011010　 ??????????100001011　 =??????????100010001　 =E 2． 2． 6 旋轉(zhuǎn)反映， Sn 這也是聯(lián)合了兩步操作才能完成的對稱操作。即先轉(zhuǎn)動再反映，或先反映再轉(zhuǎn)動。 Sn=?????????? ?1000c o ssin0sinc o s??????????????10001001 =?????????? ?1000c o ssin0sinc o s???? Sn 和 In 是等效的，但不是一一對應(yīng)。 我們已經(jīng)討論了四種對稱元素。群論中常用旋轉(zhuǎn)反映軸 Sn，比較少用旋轉(zhuǎn)反伸軸 In，雖然 Sn 不等于 In，二者是不同的對稱操作，但它們都是對稱元素。 上面介紹的四種對稱元素 可分為兩類： 第一類對稱元素： n 次旋轉(zhuǎn)軸，也稱真軸，記為 Cn 第二類對稱元素： n 次旋轉(zhuǎn)反伸軸，也稱非真軸，反軸，記為 In。對稱心，對稱面都屬于第二類。 含有反軸（非真軸）對稱的體系，必有對映的圖形，也就是必有對映體。只含有真軸的體系，必?zé)o對映體。 ３，４，６次旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反伸軸統(tǒng)稱高次軸。 35 晶體的對稱元素