【正文】 　 例如： I1=??????????100010001??????????100010001=??????????100010001=i 32 I2=??????????100010001??????????100010001=??????????100010001 =m(xy) I3=???????????????1000120c o s120s in0120s in120c o s　 ??????????100010001=?????????????10002/12/302/32/1　 I4=???????????????100090c o s90s in090s in90c o s　 ??????????100010001=??????????100001010 I6=???????????????100060c o s60s in060s in60c o s　 ??????????100010001=???????????????10002/12/302/32/1　 2． 2． 5． 1 當(dāng) n=偶數(shù)時 n=2 I2=?????????? ?1000c o ssin0sinc o s　　 ??????????????100010001=??????????100010001 =m(xy) n=4 I41=???????????????100090c o s90s in090s in90c o s　 ??????????100010001=??????????100001010 I42=??????????100001010??????????100010001=??????????100010001=C2 n=6，在六角坐標系中，令坐標系倒轉(zhuǎn) 60176。 2． 2． 5 旋轉(zhuǎn)反伸軸（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6 ），或稱旋轉(zhuǎn)倒反，反軸，記為 In 這是聯(lián)合了兩步操作才能完成的對稱操作。 M φ176。１，177。而 N1N2=a， N2N3=a， N3N4=a。在 N2 點進行一次 Cn 旋轉(zhuǎn)對稱操作，旋轉(zhuǎn)角 φ =360176。一個點 N1 移動一個點陣周期后，得 N2.。 = 22 代入上式，得 31 C2(110)=??????????100001010 現(xiàn)在我們來證明，晶體中只存在 C1， C2， C3， C4， C6， 不存在 C5的問題。將 cos45176。 ， C2與 y 軸重合 然后完成 C2的轉(zhuǎn)動，再繞 z 轉(zhuǎn)回 45176。39。 ， 變換矩陣為??????????001100010 二次旋轉(zhuǎn)，????????yzxyzx ，變換矩陣是??????????001100010??????????001100010 ＝??????????010001100 三次旋轉(zhuǎn)，????????zzyyxx39。39。點 P(xyz)經(jīng) C3一次旋轉(zhuǎn)后， 得到 P’(yzx)，第二次操作后，得到 P”(zxy)。 C31 30 =??????????100011010??????????100011010??????????100011010=E (2) 菱形坐標系．坐標軸 ox=oy=oz，軸夾角xoy=yoz=zox≠ (或＝ )90176。 C31=??????????100011010??????????100011010=??????????100001011=C31 第三次旋轉(zhuǎn)， C3３ = C31 178。點 P(x,y,z)經(jīng) C3 操作后， 得到 P’(x’,y’,z)。 讓 C3 軸作為 z 軸，垂直于 x,y 軸， x， y 軸 的夾角為 120176。 ， cosφ =1/2， sinφ = 3 /2 C3=???????????? ?10002/12/302/32/1　　　 矩陣元是非整數(shù)，使用起來很不方便。 C2=?????????? ?1000c o ssin0sinc o s????　 = ??????????100010001 例 2． C4， n=4， φ =90176。如果分子雖是手性分子，但它在晶體中排列成心對稱或面對稱的點陣，即所謂外消旋。 行列式等于－ 1的對稱操作如對稱心和對稱面，將產(chǎn)生它的對映像，而行列式等于 +1 的對稱操作如一切純旋轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生對映像。 （ 5） 繞 z軸轉(zhuǎn)過θ 這個對稱操作是五個矩陣的乘積： ?????????? ?1000cossin0sincos　　　　 ?????????????????　　　????sin0cos010cos0sin?????????? ?1000cossin0sincos　　　　 ?????????????? ?????sincoscossin0010　　 ???????????1000cossin0sincos　　　　 ???? 旋轉(zhuǎn)軸的圖示法 前面我們多次提到行列式的值，對稱心和對稱面的行列式等于－ 1，而旋轉(zhuǎn)軸的行列式等于 +1，這有什么意義呢？我們定義坐標系符合右手定則，體系經(jīng)過旋轉(zhuǎn)操作后，原來的右手定則坐標系仍然是右手坐標，不論那旋轉(zhuǎn)是反時針還是順時針方向。 如果轉(zhuǎn)動軸不在 x,y,z 軸上，轉(zhuǎn)動矩陣怎么表示 呢？大致做法是： （ 1） 繞 z 軸轉(zhuǎn)過－ θ，使 Cn軸躺在 xz 平面上 （ 2） 繞 y軸轉(zhuǎn)過 90176。 繞著 n 次旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 2π /n 后，得到另一個可 疊 合的圖形。 旋轉(zhuǎn)角 θ如何定義呢？ θ =n?360 旋轉(zhuǎn)角等于n?360的 旋轉(zhuǎn)軸稱為 n 次旋轉(zhuǎn)軸或 n 次轉(zhuǎn)動軸，記為 Cn。見圖２ .4 設(shè)將 P1點連同坐標系一起轉(zhuǎn)過 θ 角，得到 P2 即 P1（ x1,y1） — → P2(x2,y2) 同時，坐標系 xy— → x’ y’ 由圖可見， x2=OA=OBAB =OBCD =OCcosθ CD =x1cosθ y1sinθ y2=AD+DP2 =BC+DP2 =x1sinθ +y1sin(90θ ) =x1sinθ +y1cosθ 即 ??? ??? ?? ?? c osys inxy s inyc osx112112x 寫成矩陣形式 ????????２２yx ＝ ???????? ? ?? ?? cossin sincos ????????１１yx 28 所以繞 z 軸的轉(zhuǎn)動矩陣是?????????? ?1000c o ssin0sinc o s　　　　 ???? 。 ２．２． 4 轉(zhuǎn)動（或稱旋轉(zhuǎn)）操作 Cn 若轉(zhuǎn)動是繞 z 軸進行，則轉(zhuǎn)動的結(jié)果，點的 z 坐標不變。圖中 [100] [110] [1 10]表示對稱面的法線方向。表示對映點。 圖示如圖 。對稱面可能垂直坐標系的任一軸，所以對稱面的矩陣表示有 三種形式： m[1 0 0]＝??????????100010001 對稱面垂直 x軸 m[0 1 0]＝??????????100010001 對稱面垂直 y 軸 26 m[0 0 1]＝??????????100010001 對稱面垂直 z 軸 坐標為（ x,y,z）受到 m 作用后，得到另一個點： m[100] ??????????zyx =??????????100010001??????????zyx =??????????zyx m[010] ??????????zyx =??????????100010001??????????zyx =??????????zyx m[001] ??????????zyx =??????????100010001??????????zyx =??????????zyx 行 列式100010001=100010001 =100010001 =－ 1 對稱面的階： m,m2=E， 2 階 矢量 r， 坐標為（ x,y,z），通過 ? (xy)平面上的對稱面操作 (對稱面躺在 xy 平面上 )，得到r’： r=xa1+ya2+za3 r’=xa1+ya2za3 注意：點（ x,y,z）受到 m 作用后得到的是它的對映點。 對稱中心的階： i,， i２ ＝ E， 2 階。圖 為在大圓中心的一個點。這五個類型對稱操作是： 恒等操作 E，對稱心操作 i，對稱面操作 m，轉(zhuǎn)動操作 Cn，旋轉(zhuǎn)反映操作 Sn 下面分別討論 它們。幾何晶體學(xué)就是研究晶體中的對稱關(guān)系，抽象為一些點的集合。 2． 1． 3 極射赤平面投影 球面上的諸點，（參見圖 ）由投影點（極點 O 或 O’）投影到赤道平面上 25 167。 (B179。 B)179。比如 A,B,C 三個元素，179。 2． 1． 2 群的四個條件 （ 1） 閉合性。如果 φ (r) ≡φ (Tr)，則稱 T 為一個對稱操作。設(shè)有一個幾何變換 T，能使 r變?yōu)?Tr。 下面我們用數(shù)學(xué)的方法來討論。 對稱圖形的對稱操作群中包含的對稱操作的種數(shù)，稱為該對稱操作群的 階 。這種能使對稱圖形復(fù)原的每一種操作，都叫做 對稱操作 。 一個圖形，經(jīng)過一種以上操作（包括等同操作）后能夠復(fù)原，這種圖形叫做 對稱圖形 。晶體的點陣結(jié)構(gòu)和對稱性，是晶體的重要屬性。如玻璃，不管其外形被磨制得如何像晶體，它終歸不是晶體。在晶體中，質(zhì)點的排列具有三維空間的周期性。 24 第二章 晶體的對稱性 167。２．１ 對稱、群、及極射赤平投影 ２．１．１ 對稱 晶體是由原子（或離子，分子）在空間周期地排列構(gòu)成的。換言之，如果質(zhì)點沒有點陣式的周期性排列，這樣的物體不能稱為晶體。 晶體從外形到微觀的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，都表現(xiàn)出一定的對稱性。 什么叫對稱？ 對稱就是物體相同部分有規(guī)律的重復(fù) 。這種操作不能改變圖形中任 意兩點的距離。圖形的全部對稱操作形成它的 對稱操作群 。 N階的對稱圖形必有 N 個周圍相同的部分，即有 N 個等效點。 空間里一個點，可以用它所在坐標系上的一個矢量 r來表示。我們用 φ (r)來描述一個幾何圖形（或一個實體），經(jīng) T 變換后， φ (r)變?yōu)?φ (Tr)。 這里有兩個要點：（ 1）用 r表示 的一個點，通過對稱變換 T 操作后，變換為一個等效點 r’,r’=Tr；（ 2）作為對稱操作， T 經(jīng)過一次以上（包括等同操作）的重復(fù)，必須能使圖形完全復(fù)原