【正文】 ，也就是說，經(jīng)過 n 次 T 操作， Tn=E 這樣，集合（ T,T2,T3? TN=E）是一個(gè)對(duì)稱操作群，這個(gè)集合可以滿足群的條件，其中 T 稱為對(duì)稱元素。一套元素的集合，其中任意兩個(gè)元素組合后產(chǎn)生一個(gè)新元素，這個(gè)新元素必須包含在這一套元素的集合中 （ 2） 對(duì)稱操作具有締合律。表示組合操作，則 (A179。 C=A179。 C) （ 3） 存 在一個(gè)幺元 E，即 AE=EA=A （ 4） 集合中每一元素都存在一個(gè)相應(yīng)的逆元素 A1，即 A1A=AA1=E 滿足這四個(gè)條件的集合，就叫做群。 對(duì)稱元素及其矩陣表示 矩陣常用來表示點(diǎn)或點(diǎn)的集合在空間的變換。這些點(diǎn)用五個(gè)類型的對(duì)稱操作，相互關(guān)聯(lián)。 2． 2． 1 恒等操作 E，經(jīng) E 操作后，（ x,y,z）坐標(biāo)仍不變 ??????????100010001??????????zyx ＝??????????zyx 這里的??????????100010001 ，就是恒等操作 E 的矩陣表示 ２． 2． 2 對(duì)稱中心， ?1 ，對(duì)稱中心操作也稱倒反或反演操作 一個(gè)假設(shè)的定點(diǎn) i， i點(diǎn)的一側(cè)有一圖形，而在 i點(diǎn) 的相反一側(cè)也有一個(gè)對(duì)映的圖 形，則點(diǎn) i是對(duì)稱心。如圖２ .2。 矩陣表示： i＝??????????100010001 行列式100010001=－ 1 ),(),( zyxzyx i ???? ?? ２．２．３對(duì)稱面操作 m，鏡面，反映 一個(gè)假想的平面，平面的兩側(cè)是兩個(gè)互呈鏡像而又不能疊合的對(duì)映圖形，這假想平面叫對(duì)稱面，或鏡面。如果點(diǎn)（ x,y,z）代表一個(gè)圖形，則 m 對(duì)稱操作后得到的是其對(duì)映圖形。圖中○表示點(diǎn)（ x,y,z），179。有時(shí)對(duì)映點(diǎn)也用圓圈中加一撇來表示。 27 )()( ]1 0 0[ yzxxyz m ?? ?? m[100]= ??????????100010001 )()( ]0 1 0[ zyxxyz m ?? ?? m[010]= ??????????100010001 )()( ]101[ yxzxyz m ?? ?? m[1 10]= ??????????100001010 )()( ]1 1 0[ zxyxyz m ?? ?? m[110]= ??????????100001010 如果用一個(gè)沿著 Z軸的 C4來對(duì) m[100]進(jìn)行變換，或用矩陣相乘的方法，也可以得到上述四個(gè) m 的矩陣表示。轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣應(yīng)有下面的形式： ??????????1000022211211CCCC 因與 z 無關(guān)，問題可以在 xy 二維平面上 討論。這是按右手規(guī)則定義的 θ 角（逆時(shí)針方向?yàn)檎?。在晶體中，只有１次軸，２次軸，３次軸，４次軸，６次軸（容以后證明）。旋轉(zhuǎn)軸的階： Cn? Cnn=E， n 次軸即 n 階。 ρ，使 Cn與 z軸重合 （ 3） 繞 z軸作 Cn操作，轉(zhuǎn)動(dòng)角φ = n?360 （ 4） 繞 y軸轉(zhuǎn)過ρ 90176。但是在對(duì)稱心和對(duì)稱面的操作后，原來的右手坐標(biāo)變成了左手坐標(biāo)，如同理發(fā)店里你在鏡中看到的理發(fā)師都是左撇子一樣。 如果分 子本身具有對(duì)稱心或?qū)ΨQ面，即所謂內(nèi)消旋，分子是非手性分子。 29 例 1． N=2， θ =2360?=180176。 ， cosφ =0， sinφ =1 所以， C4=??????????100001010 例 3． C3 在直角坐標(biāo)系中， n=3, φ =120176。在晶體學(xué)里常用六方和菱形坐標(biāo)系： （ 1）六角坐標(biāo)系，也叫六角軸，六方單胞。 。點(diǎn)反時(shí)針旋轉(zhuǎn)，相當(dāng)于坐 標(biāo)系順時(shí)針旋轉(zhuǎn)： x’=－ y y’=x－ y ∴ C31=??????????100011010 如果順時(shí)針旋轉(zhuǎn)， C3－ １ =??????????100001011 在 C31之后再做一次旋轉(zhuǎn)， C32= C31 178。 C31178。 三次軸沿著體對(duì)角線。 相應(yīng)的矩陣表示 C31=??????????001100010 ， C3２ =??????????010001100 從 P 到 P’，再到 P”，是逆時(shí)針的（正方向），那么，我們來觀察讓 P 不動(dòng)，而讓坐標(biāo)系順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，很明顯，旋轉(zhuǎn)一次后， oy 取代了原來的 ox，而且 oy變?yōu)?oz， oz 變?yōu)?ox，即 x— → y， y— → z， z— → x 或?qū)懗? ????????xzzyyx39。39。39。 ，變換矩陣是??????????001100010??????????001100010??????????001100010 ＝??????????100010001 ＝ E 例 4． C2(110) 先將 C2繞 z 軸轉(zhuǎn) 45176。 ， ???????????1000cossin0sincos　　　 ??????????????100010001?????????? ?1000cossin0sincos　　　 ???? θ =45176。 =sin45176。 有周期排列的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)是晶體的主要特征。在 N2，同樣具有 Cn 旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱性。 /n 旋轉(zhuǎn)后得 N3 點(diǎn)，在 N3 又進(jìn)行一次 Cn操作，得 N4，這時(shí)， N4點(diǎn)陣點(diǎn)與 N1 距離為 d。從圖 2． 13 中，我們可以看到， d=a－ 2a cosφ 由周期性的要求，應(yīng)有 d=ma，其中 m 必須為整數(shù) 所以， ma=a2a cosφ 2 cosφ =1m=M 因?yàn)椋? cosφ ?＋１，所以｜ M|? 2,M 的全部可能值只有０，177。２。 n=360/φ － 2 180 2 － 1 120 3 0 90 4 1 60 6 2 0 1 由表可見，晶體學(xué)中的旋轉(zhuǎn)軸只有 C1， C2， C3， C4， C6，而沒有 C5，不過，在分子對(duì)稱性中，可能存在 C5和 C∞ 。即先轉(zhuǎn)動(dòng)再反伸，或先反伸再轉(zhuǎn)動(dòng)。 ，則 ????????zz39。yx39。 i=??????????100011010??????????100010001=??????????100011010　 I32=??????????100011010　 ??????????100011010　 = ??????????100001011=C32 先轉(zhuǎn)動(dòng)后反伸 =先反伸后轉(zhuǎn)動(dòng) 效果相同 34 I33=??????????100011010　 ??????????100001011=??????????100010001=i I34=??????????100011010　 ??????????100010001=??????????100011010=C31 I35=??????????100011010　 ??????????100011010=??????????100001011　 I36=??????????100011010　 ??????????100001011　 =??????????100010001　 =E 2． 2． 6 旋轉(zhuǎn)反映， Sn 這也是聯(lián)合了兩步操作才能完成的對(duì)稱操作。 Sn=?????????? ?1000c o ssin0sinc o s??????????????10001001 =?????????? ?1000c o ssin0sinc o s???? Sn 和 In 是等效的，但不是一一對(duì)應(yīng)。群論中常用旋轉(zhuǎn)反映軸 Sn，比較少用旋轉(zhuǎn)反伸軸 In，雖然 Sn 不等于 In，二者是不同的對(duì)稱操作，但它們都是對(duì)稱元素。對(duì)稱心，對(duì)稱面都屬于第二類。只含有真軸的體系，必?zé)o對(duì)映體。 35 晶體的對(duì)稱元素及其符號(hào) 對(duì)稱元素 一次 二次 三次 四次 六次 對(duì) 稱 心 對(duì) 稱 面 三次 四次 六次 旋轉(zhuǎn)軸 反伸軸 習(xí)慣記號(hào) C1 C2 C3 C4 C6 i m I3 I4 I6 國(guó)際符號(hào) １ ２ ３ ４ ６ 1 m 3 4 6 投影記號(hào) 176。 2．３ 對(duì)稱元素的組合 就數(shù)學(xué)上的意義而言，空間任意的對(duì)稱變換就構(gòu)成了所謂“群”，對(duì)稱操作的集合叫做 36 對(duì)稱操作群，相應(yīng)的對(duì)稱元素的集合叫對(duì)稱元素群，二者概稱為對(duì)稱群。在作為有限圖形的結(jié)晶多面體中，它只能具有宏觀對(duì)稱元素，而且必須至少有一共點(diǎn)。 晶體可以只存在平移對(duì)稱性而不存在其他任何對(duì)稱性（除了 C1），可以只存在單一的對(duì)稱元素，也可以同時(shí)存在若干個(gè)對(duì)稱元素。 （１） 晶體周期性排列的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，對(duì)稱元素的安置必須符合點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性。 （３） 對(duì)稱元素的組合必須遵循對(duì)稱元素組合定理。這就是晶體的３２個(gè)點(diǎn)群。 2．３．１ 對(duì)稱元素的組合定理 在晶體中，任意兩個(gè)對(duì)稱元素的組合，必將導(dǎo)致產(chǎn)生第三個(gè)新的合成對(duì)稱元素。例如，在對(duì)稱面上加上一個(gè)對(duì)稱心， A經(jīng) m 作用后得 A’ A經(jīng) i作用后得的 B A’經(jīng) i作用后的 B’ 這樣，由 A←→ B’及 A’←→ B 可以看到，它們中間 存在一個(gè)垂直于 m 的 C2，即 m178。 167。 Cm179。 現(xiàn)有通過 O點(diǎn)的另一直線 OC， 它和 OA交角為 γ ’，和 OB 交角為 γ ” 。當(dāng)再以 OA為軸順 時(shí)針轉(zhuǎn)過 α角后，恰 好被帶回 OC。經(jīng)過 OA和 OB 連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)的結(jié)果， OC 保持原位不動(dòng)，只有 OB 轉(zhuǎn)到 OB’。 所以， OC 是 OA和 OB 相交在 O 點(diǎn)產(chǎn)生的第三個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，其作用等于 OA和 OB 兩個(gè)原始旋轉(zhuǎn)軸作用之積。因此，嚴(yán)格地說，通過任何兩個(gè)相交的旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)，可能產(chǎn)生的新旋轉(zhuǎn)軸，不是一個(gè)，而是一對(duì)。即 Em179。 Em。 En,E2=En179。在特殊條件下， E1 和 E2才能重合為一。 定理二。 證明：給定條件為α =β=180176。 同時(shí)， cos2? = cos290176。cosδ =cos(180 δ) ∴ω =2(180δ)=360 2δ= 2δ 推理：如有一個(gè)二次軸垂直于一個(gè) n次軸，則必有 n個(gè)二次軸同時(shí)垂直與此 n次軸，且相臨兩個(gè)二次軸的交角等于 n次軸基轉(zhuǎn)角的一半。二個(gè)對(duì)稱 面的交線必是一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，其基轉(zhuǎn)角等 于該二對(duì)稱面交角的兩倍。因反伸兩次，反反得正，所以必為一個(gè) ［１］ 證明請(qǐng)參考南京大學(xué)“結(jié)晶學(xué)”下冊(cè)，第 515 頁 球面三角公式： cosA=cosBcosC+sinBsinCcosα 。 證明同定理三。 推理 一個(gè)二次軸，垂直一個(gè) n 次反軸，當(dāng) n=奇數(shù)時(shí)，必有 n 個(gè)共點(diǎn)的二次軸垂直此 n 次反軸，同時(shí)有 n 個(gè)共線的對(duì)稱面包含 此 n 次反軸。２ ⊥ 當(dāng) n＝偶數(shù)時(shí)，則有2n個(gè)共點(diǎn)的二次軸垂直于此 n 次反軸，同 時(shí)有2n個(gè)共線的對(duì)稱面包含此 n 次反軸，如 4 179。 n2360? 定理五 一個(gè)二次軸垂直一個(gè)對(duì)稱面，其交點(diǎn)必為對(duì)稱心。,δ=0176。 sin290176。=1 ∴ω =0176。 m 只能得 C2） 推理二 當(dāng)有對(duì)稱心存在時(shí)，偶次軸的個(gè)