【正文】 二者都存在，則寫成分?jǐn)?shù)形式，如 m4 m2 m2 。 四方：第一字符表示主軸，如 4， 4 ，主軸為 c 軸 第二字符表示 a 或 b 方向 第三字符表示 ab的對角方向，如 4 2m， 4 是主軸， c方向， 2 表示 a 或 b方向的二次軸， m 表示對角方向的對稱面。 1 旋轉(zhuǎn)群， Cyclic group 2 雙面群， Dihedral group 3 Vertical 4 Horigontal 42 Sn n 次旋轉(zhuǎn)反伸軸 5 T 四面體 6 O 八面體 7 d 下標(biāo)，對角方向的對稱面 8 （２） 國際符號 對稱元素： 1， 2， 3， 4， 6， 1 ， m， 3 ， 4 ， 6 在不同晶系里，對稱元素書寫的順序和位置，是由不同的方向來定義的，而且只需寫出它們的獨(dú)立對稱元 素，所有非獨(dú)立的對稱元素都被省略了。 176。 sin60176。 2． 4 點(diǎn)群符號 （１） Scho? nflies 符號 Cn n 次旋轉(zhuǎn)軸 1 Dn n 次旋轉(zhuǎn)軸，并在垂直方向上有二次軸 2 Cnv n 次旋轉(zhuǎn)軸，加上鉛直的對稱面，即平行于主軸的對稱面 3 Cnh n次旋轉(zhuǎn)軸，加上水平的對稱面，以主軸的為鉛直方向，則水平方向的面即垂直主軸的面 4 ＊ cos2? = cos 2? cos 2? － sin 2? sin 2? cosδ = cos60176。 48’37” 相交，將衍生出 72176。44’08” 90 注意： ①四次和三次軸或六次軸以 0176。 48’37” 54176。 31’44” (n=3) 35176。 m=1 0(n=2,3,4,6) 0 0 0 0 0 60(n=2) 30 109176。 m=4 60176。 m=2 120176。 以上所說的軸包括旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反伸軸。相交。 ９． 四次軸與四次軸正 交。 ８． 三次軸與二次軸以 35176。 ７． 三次軸與四次軸以 54176。 ６． 三 次軸與二次軸以 54176。 相交 ４． 二次軸與四次軸或六次軸正交 ５． 三次軸與三次軸以 70176。 ， 60176。 ２． 二次軸重合三，四，六次軸 三次軸重合六次軸 ３． 二次軸與二次軸以 30176。 一切可能的組合方式綜合于下： １． 同次軸以０ 176。如同上節(jié)一樣，不過這里的 γ相當(dāng)于 圖 90－ δ n/2， δ n相當(dāng)于圖 的 δ，α m相當(dāng)于圖 的 α n，我們可以得到 sinγ =2sin2sinmn?? ???? （ ） 41 δ n 的可能值已列于表２ .１， α m 的可能值只有 0， 60， 90， 120， 180，一一代入 ()式 ,即可求出任意兩個軸之間交角 γ 的一切可能值。OB 繞 OA轉(zhuǎn)過 α m后得 OB’，則 OB 和 OB’必為同種軸，其交角為 δ n。 二．兩個任意軸之間的可能交角 設(shè) OA， OB 為相交于 O 點(diǎn)的兩個任意軸，交角 γ 。 32’ ， 60176。 32’ 0 120 60 0 180 0 表中互補(bǔ)的兩個 δ n 值，實(shí)際上只能作為一個可能值，所以 δ n 僅有四個可能值，即 90176。 n=1 0 180 180 180 180 任意值 60 120 109176。 n=4 60176。 n=2 120176。 ， 180176。 ， 90176。 sin 2n? cos 2n? ＝ 1 OA， OB 的基轉(zhuǎn)角是 α n，只可能有 0176。 sin 2n? cos 2n? ＝ 22 ??（２ .３） δ＝ 120176。 sin2n?cos2n?＝ 0 δ＝ 60176。 ， 180176。 ， 90176。 AB (N 為整數(shù) ) ＝（ 1－ 2cosδ） AB 40 ∴ cosδ ＝21 N?＝2M 可見，δ的可能值只有 0176。作一平面，垂直 OB，且包含 A和 C，平面截 OB 于 E點(diǎn)，（見圖２． 19），則 ∠ AEC＝ αn 令∠ ABC＝ δ ，在等腰三角形 △BAC 中 ,sin2? =BCAC2 在等腰三角形△ EAC中 ,sin 2n? =ECAC2 在直角三角形 △ EBC中， cos 2n? =sin(90176。顯然， OA =OB =OC =OD ，即 C， D 也是點(diǎn)陣點(diǎn)，而且 AD ＝ AB ＝ BC ，這樣， A，B， C， D 四點(diǎn)共面。 i → Cn， m， i (C2⊥m) 167。 m(⊥ ) → Cn， m， i (n=偶數(shù) ) 推理二 Cn179。 m(∥ ) → Sn，2n個 C2，2n個 m（ n為偶數(shù)） 定理五 C2179。 m(∥ ) → Sn， n個 C2， n個 m（ n為 奇數(shù)） Sn179。 C2(δ )=Sn （ n=)90(2 360???） 推理 Sn179。 m(δ )=Cn (n= ?2360? ) 推理 Cn179。 C2(δ )=Cn (n= ?2360? ) 推理 Cn179。 對稱元素的組合定理簡要?dú)w納如下： 定理一 Cm179。 ∵一正一反得反，一次反軸即對稱心 推理一 偶次軸，垂直的對稱面，對稱心，三者之中 任意二者的組合必得第三者（但 i179。cos0176。 ∴ cos2? =cos290176。 證明：對稱面的法線即二次反軸，按條件，就是二次軸和二次反軸重合， α =β=180176。２ ⊥ ＝ D2d4 2m 以上兩種情況，相臨二次軸和對稱面的交角等于 n次反軸基轉(zhuǎn)角之半的余角，即 90176。如 3 179。但是這里是一個旋轉(zhuǎn)軸和一個反軸，合成軸 必為反軸。cosα=cosβ cosγ +sinβsinγcosA 38 正旋轉(zhuǎn)軸 推理 若對稱面上有一個 n次軸，則必有 n個對稱面交于 次軸，且相臨二對稱面的交角是 n次軸基轉(zhuǎn)角的一半 定理四 通過二次軸和對稱面的交點(diǎn)，并垂直該二次軸的直 線，必為一個反軸，其基轉(zhuǎn)角是二次軸和對稱面交角的兩倍。 證明：對稱面是二次反伸軸，給定條件與定理二相同，所 以其證明也相同。 定理三。 sin290176。 根據(jù)歐拉定理，有 cosγ ’=cosγ ”=2s in90s in2c o s90c o s90c o s?????? =0 ∴γ ’=γ”=90176。通過兩個二次軸的交點(diǎn)并與它們垂直的直線恒 為一旋轉(zhuǎn)軸，其基轉(zhuǎn)角是原來兩個二次軸交角的兩倍。 推理： m次軸和 n次軸相交，必得 m個 n次軸， n個 m次軸，且二相臨的 m次軸與 n次軸之間的交角均等于原始的二軸之間的交角。 Em，則 E E2都是 Em、 En 組合的新對稱元素。若 E1=Em179。 En≠ En179。這實(shí)質(zhì)上是因?yàn)?，兩個對稱元素 Em 和 En相乘時，一般是不能交換的。 OC 軸的基轉(zhuǎn)角為 ω OC 和 OA的交角為 γ ’ OC 和 OB 的交 角為 γ ” 由球面三角公式得： ［１］ cos2?= cos2? cos2?－ sin2? sin2?cosδ cosγ ’=2sin2sin2c os2c os2c os????? ? cosγ ” =2sin2sin2c os2c os2c os????? ? 一般情況下，通過 O 點(diǎn)且與 OA 及 OB 相交 γ ’， γ ”角的直線一共可有兩條，它們對稱地分布于 AOB 平面的兩側(cè)（相當(dāng)于圖中的 OC 和 OC’）。但是 = = 37 因而 OB→ OB’ 這一移動可以由以 OC為軸，旋轉(zhuǎn) ω 角來完成。 這樣，轉(zhuǎn)動 OB，則 OC轉(zhuǎn)到 OC’；再轉(zhuǎn)動 OA， OC’又轉(zhuǎn)回到 OC，而且 OB 被轉(zhuǎn)到 OB’。假定它所處的位置剛好滿足 如下要求：當(dāng) OB順時針旋轉(zhuǎn) β 角時， OC被帶到 OC’ 。 Cn(δ )=Cq 證明：見圖２ .17 的圖解，設(shè) OA, OB 為相交于 O 點(diǎn)的兩個原始旋轉(zhuǎn) 軸，交角 δ， OA的基轉(zhuǎn)角為 α ， OB 的基轉(zhuǎn)角為β。 2．３．１．１ 定理一． Euler（歐 拉）定理 通過任意二相交旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)， 必可找到第三個新的旋轉(zhuǎn)軸，其作用 等于前二者之積；其軸次及其與原始 旋轉(zhuǎn)軸之間的交角，取決于二原始旋 轉(zhuǎn)軸的軸次及它們之間的交角。 i=C2 下面我們來討論對稱元素組合的規(guī)律 —— 對稱元素 組合定理。新的對稱元素的作用等于原來兩個對稱元素連續(xù)作用的積。 167。 由于這些限制，晶體中所可能有的對 稱元素組合方式不是無窮多，而是只有３２種。 （２） 晶體是有限圖形的，所有對稱元素都必須至少有一個共點(diǎn)，并且不允許包含平移操作或平移分量。數(shù)學(xué)上對稱元素的組合可以有無窮多方式，而在晶體中，它們的組合卻不能是任意的，而是要受到周期排列的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的限制。晶體的點(diǎn)群 ，就是該晶體所具有的全部對稱元素的總和，或叫集合。 至少相交于一點(diǎn)的宏觀對稱元素所構(gòu)成的群，叫點(diǎn)群。 C 相當(dāng)?shù)膶ΨQ元素或其組合 C3+C2 I1 S2 I2 S1 C3+i S6 S4 C3+m S3 第二章（之二） 167。 ３，４，６次旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反伸軸統(tǒng)稱高次軸。 含有反軸（非真軸）對稱的體系，必有對映的圖形，也就是必有對映體。 上面介紹的四種對稱元素 可分為兩類： 第一類對稱元素： n 次旋轉(zhuǎn)軸，也稱真軸，記為 Cn 第二類對稱元素： n 次旋轉(zhuǎn)反伸軸，也稱非真軸，反軸，記為 In。 我們已經(jīng)討論了四種對稱元素。即先轉(zhuǎn)動再反映，或先反映再轉(zhuǎn)動。 x 33 I61=??????????100010001??????????100001011　 = ??????????100001011　 = ??????????100001011　 ??????????100010001 I62=??????????100001011　 ??????????100001011　 = ??????????100011010　 I63=??????????100001011　 ??????????100011010　 =??????????100010001 =m(xy) I64=??????????100001011　??????????100010001 =??????????100001011　 I65=??????????100001011　 ??????????100001011　 = ??????????100011010　 I66=??????????100001011　 ??????????100011010　 =??????????100010001　 =E 2． 2． 5．２當(dāng) n 為奇數(shù)時 n=1， I1=1 =i E??????????100010001=??????????100010001=i n=3 I31=C31178。xy39。轉(zhuǎn)動操作表示為?????????? ?1000c o ssin0sinc o s????　 ，反伸操作表示為 ??????????100010001，這兩個操作的聯(lián)合，就是兩個矩陣相乘： In=?????????? ?1000c o ssin0sinc o s????　 ??????????10001001=?????????????1000c o ss in0s inc o s????