【正文】 兩套取法都要求 β或γ在 90 和 120176。９０176。＜γ＜１２０176。 （４） 單斜晶系 第一套取法：取僅有的二次軸為 c 軸，則有 a≠ b≠ c α＝β＝９０176。 如果不考慮晶體的空間群，則 a,b,c 的排列可以有六種方式。 例如： D2222,分別以三個 C2 為 a,b,c D２ hmmm,分別以三個 S1為 a,b,c C２ vmm2,以２為 c 軸， m 分別為 a,b 在點群符號中，第一字符表示 a 軸，第二字符表 示 b 軸，第三字符 c 軸。 52 再如： D4h4/mmm 4 是 c 軸 頭一個 m 垂直 c 軸 第二個 m 垂直 a,b 軸 第三個 m 是平分 a∧ b 角。 如： D2d4 2m 4 是 c 軸 ２是 a 軸 , b 軸 m 是 a+b 方向， a－ b， b－ a 和 a+b 是等效的。 a=b≠ c α＝β＝γ＝ 90176。兩個與四次軸垂直的，而且它們之間相互正交的二次軸為 a， b 軸，在水平面上。 在點群符號中，第一字符表示主軸，即 a， b， c，第二字符表示體對角線，即 a＋ b＋ c, 第三字符表示面對角線，即 a＋ b， b＋ c， c＋ a。 （１） 立方晶系 立方晶系的對稱特點是：必有四個 C3；有三個相互正交的 C4（如 Td4 3m， O432，Ohm3m）或 C2（如 T23， Thm3），而且這三個 C4或 C2 可由 C3的作用而重復。 2． 8 各晶系晶軸的定向 三方、六方比較特殊，放后面講。 表 十一個旋轉群 三斜 單斜 正交 四方 三方 六方 立方 C１ １ C２ 2 D2222 C44 D4422 C33 D332 C66 D6622 T23 O432 167。 表 十一個勞埃群 三斜 單斜 正交 四方 三方 六方 立方 Ci1 C２ h2/m D2hmmm C4h4/m D4h4/mmm C3i3 D3d3 m C6h6/m D6h6/mmm Thm3 Ohm3m （２） 異極對稱型 不具對稱心的 21 個點群屬異極對稱型，其特點是至少具有一個極軸，其兩端不能借助對稱操作互相重合，因此其性質顯示出極性來。其它２１個無對稱心的點群一旦加上對稱心，都可以轉換成勞埃群。 1+i— → 1 已有 2+i— → C2h2/m, {C2,m,i} 3+i— → 3 已有 4+i— → C4h4/m, {C4,m,i} 6+i— → C6h6/m, { E,2C6,mh,i,2C3,C2,2S3,2S6,} 23+i— → m3, 已有 222+i— → D2hmmm, { E,mh,mv,mv,C2,C2’,C 2’, i } 322+i— → 3m, 已有 422+i— → D4h4/mmm, { E,2C4,C2,2C2’,2C2”,i,2S4,mh } 622+i— → D6h6/mmm, {E, 2C6,2C3,C2,3C2’,3C2”,i,2S3,2S6,mh ,2S3,3mv,3md} 432+i— → 4 2m, 已有 49 表 32 種點群的符號與對稱元素 熊夫利斯 符號 國際 符號 完全的國際 符號 對 稱 元 素 三斜 C1 S2(Ci) 1 1 1 1 E E,i 單斜 C2 Cs 2 m 2 m E,C2 E,m C2h 2/m m2 E,C2,i,mh 正交 D2 C2v 222 mm2 222 mm2 E,2C2,C2’ ,C2” E,C2,mv,mv D2h mmm m2 m2 m2 E,C2, C2’ ,C2”,i,mh,mv,mv 四方 C4 S4 4 4 4 4 E,2C4,C2 E,2S4,C2 C4h 4/m m4 E,2C4,C2,i,S4,mh D4 C4v D2d 422 4mm 4 2m 422 4mm 4 2m E,2C4,C22C2’,2C2” E,2C4,C2,2mv,2md E,2S4,C2,2C2’,2md D4h 4/mmm m4 m4 m4 E,2C4,C2,2C2’,2C2”,i,2S4,mh 三方（菱形） C3 S6(C3i) D3 C3v 3 3 32 3m 3 3 32 3m E,2C3 E,2C3,i,2S6 E,2C3,2C2 E,2C3,3mv D3d 3 m 3 m2 E,2C3,3C2,i,2S6,3mv 六方 C6 6 6 E,2C6,2C3, C2 50 C3h 6 6 E,2C6,mh,2S3 C6h 6/m m6 E,2C6,2C3, C2,i,2S3,2S6,mh D6 622 622 E,2C6,2C3, C2, 3C2’, 3C2” C6v 6mm 6mm E,2C6,2C3, C2, 3mv, 3md D3h 6 m2 6 m2 E,2C3, 3C2, mh ,2S3,3mv D6h 6/mmm m6 m6 m6 E, 2C6,2C3,C2,3C2’,3C2”,i, 2S3,2S6,mh ,2S3,3mv,3md 立方 T 23 23 E,8C3,3C2 Th m3 m2 3 E,8C3,3C2,i,8S6,3mh O Td 432 4 3m 432 4 3m E,8C3,3C2 ,6C2,6C4 E,8C3,3C2 ,6md,6S4 Oh m3m m4 3 m2 E,8C3,3C2 ,6C2,6C4,i,8S6,3mh,3md,6S4 167。我們在以上導出的 26 個點群中加上 i，即可導出剩余的全部點群。如果一次軸是 C1，則不產(chǎn)生任何新元素。 （ 4）只置換高次軸 32— → 3 m 422— → 4 2m 622— → 6 m2 432— → 4 3m 結果與（ 3）相同，沒有產(chǎn)生新點群。 所以用反軸全部或部分地置換上述１１個點群的旋轉軸，就可以導出其余所有可能的點群來。就是說，可以是單純的旋轉軸，也可以是單純反軸 ，也可以是混合軸。 至此，僅含旋轉軸的點群有 C11， C22， C33， C44， C66， D2222， D332， D4422，D6622， T23， O432，共１１個旋轉群，已全部推出。 （１３） C1179。 （１２） C４ 與 C2以４ 5176。 與四次軸交角 組合后，全部對稱元素有３個 C4， 4 個 C3， 6 個 C2（６組對棱中點的連線），其中３個C4相互正交，取為主軸，記為 O432. （ １１） C3與 C2以 35176。 15’52” 與三次軸交角 12 n=302360? =6 13 Cn179。44’08” ∴ω =180176。sin45176。cos45176。C ４ (δ), δ=54176。31’44”) 相同，都是得到 T23群。44’08” 結果與 C3179。 （９） C3179。以這三個 C2為主軸，三軸相等，是立方的。 由 C２ 179。C n,有 m個 Cn,n個 Cm, C3179。44’08” 。 cosγ= ?? ???? 90s in60s in 90c os60c os60c os =31 所以，γ =54176。cos70176。31’44” 根 據(jù) 定 理 一 ，cos2? =cos260176。 （８） C3179。 C2(⊥)=D ４ 422， {C4,4C2} C6179。)= D6－ 622， {C6,6C2}12 9 n=?2360 = 902360? =2 10 n=602360? =3 11 n=452360? =4 45 （７）垂直加２ C3179。)= D4－ 422， {C4,4C2}11 C2179。)= D3－ 32， {C3,３ C2}10 C2179。 C2(⊥)= D2－ 222， {３ C2}9 C2179。 （６）旋轉軸非平行組合 C2179。 C４ 3＝ E 上述操作過程已經(jīng)可以看到它們的閉合性，締合律，幺元， C４ １ 和 C４ ３ 互逆， C４ ２ 自逆 （５） C6－ 6， {C6１ ， C6２ ＝ C３ １ ， C6３ ＝ C2， C64=C32， C65， C66=E，六個對稱元素 } 44 C6１ ＝??????????100001011 C6２ ＝??????????100001011??????????100001011 ＝??????????100011010 =C31 C63＝??????????100001011??????????100011010 ＝??????????100010001 ＝ C2 C64＝??????????100001011??????????100010001 =??????????100001011 ＝ C３２ C6５ ＝??????????100001011　　　　　　　　　　　　　　??????????100001011 ＝??????????100011010 ＝ C６－１ C6６ ＝??????????100001011　　　　　　　　　　　　　　??????????100011010 ＝??????????100010001 ＝ E 上述操作過程已經(jīng)可以看到它們的閉合性，締合律，幺元， C6１ 和 C65 互逆， C6２ 和 C64互逆， C6３ 自逆 （６）旋轉軸平行組合 C2∥ C4， C2包含在 C4中 C２ ∥ C６ ， C2包含在 C６ 中 C３ ∥ C６ ， C３ 包含在 C６ 中 C2∥ C３ ，得 C６ ，且 C2∥ C３ ∥ C６ 三者重合 所以，單一 旋轉群是獨立的點群，以０176。 C４ １ ＝ C2＝??????????100010001 C４ 3＝ C４ １ 179。 C３ １ ＝ C３ １ 存在幺元 ④ C３ １ 179。 C３ ３ 締合律 ③ C３ １ 179。 C３ ３ ） = （ C３ １ 179。 C３ ２ ＝??????????100011010??????????100001011 ＝??????????100010001 ＝ C３３ ＝ E 閉合性 ② C３ １ 179。 C2＝ C2 存在幺元 ④ C2179。 C2 締合律 ③ C2179。 E= C2 閉合性 ② C2179。E ＝ E 締合律 ③ E 本身是幺元 ④ E179。我們從群的四條件來看它們是否成群。 167。 三方、六方：第一字符表示主軸，如 3， 3 ， 6， 6 ，主軸為 c 軸 第二字符表示 d 方向， [1 1 0]或 d 軸 第三字符表示 [2a+b]方向，即 [210]方向 立 方：第一字符表示 c 主軸， [001] 第二字符表示體對角線 [111]方向 第三字符表示面對角線 [110]方向 每個方向的符號表示與該方向一致的對稱軸或與該方向垂直的對稱面，如果