【正文】 ?100001011　　　　　　　　　　　　　　??????????100011010 ＝??????????100010001 ＝ E 上述操作過程已經(jīng)可以看到它們的閉合性，締合律，幺元， C6１ 和 C65 互逆， C6２ 和 C64互逆， C6３ 自逆 （６）旋轉(zhuǎn)軸平行組合 C2∥ C4， C2包含在 C4中 C２ ∥ C６ ， C2包含在 C６ 中 C３ ∥ C６ ， C３ 包含在 C６ 中 C2∥ C３ ，得 C６ ，且 C2∥ C３ ∥ C６ 三者重合 所以，單一 旋轉(zhuǎn)群是獨(dú)立的點(diǎn)群，以０176。 C2(⊥)= D2－ 222， {３ C2}9 C2179。)= D4－ 422， {C4,4C2}11 C2179。 C2(⊥)=D ４ 422， {C4,4C2} C6179。31’44” 根 據(jù) 定 理 一 ，cos2? =cos260176。 cosγ= ?? ???? 90s in60s in 90c os60c os60c os =31 所以，γ =54176。C n,有 m個(gè) Cn,n個(gè) Cm, C3179。以這三個(gè) C2為主軸，三軸相等，是立方的。44’08” 結(jié)果與 C3179。C ４ (δ), δ=54176。sin45176。 15’52” 與三次軸交角 12 n=302360? =6 13 Cn179。 （１２） C４ 與 C2以４ 5176。 至此，僅含旋轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)群有 C11， C22， C33， C44， C66， D2222， D332， D4422，D6622， T23， O432，共１１個(gè)旋轉(zhuǎn)群，已全部推出。 所以用反軸全部或部分地置換上述１１個(gè)點(diǎn)群的旋轉(zhuǎn)軸，就可以導(dǎo)出其余所有可能的點(diǎn)群來。如果一次軸是 C1，則不產(chǎn)生任何新元素。 1+i— → 1 已有 2+i— → C2h2/m, {C2,m,i} 3+i— → 3 已有 4+i— → C4h4/m, {C4,m,i} 6+i— → C6h6/m, { E,2C6,mh,i,2C3,C2,2S3,2S6,} 23+i— → m3, 已有 222+i— → D2hmmm, { E,mh,mv,mv,C2,C2’,C 2’, i } 322+i— → 3m, 已有 422+i— → D4h4/mmm, { E,2C4,C2,2C2’,2C2”,i,2S4,mh } 622+i— → D6h6/mmm, {E, 2C6,2C3,C2,3C2’,3C2”,i,2S3,2S6,mh ,2S3,3mv,3md} 432+i— → 4 2m, 已有 49 表 32 種點(diǎn)群的符號(hào)與對稱元素 熊夫利斯 符號(hào) 國際 符號(hào) 完全的國際 符號(hào) 對 稱 元 素 三斜 C1 S2(Ci) 1 1 1 1 E E,i 單斜 C2 Cs 2 m 2 m E,C2 E,m C2h 2/m m2 E,C2,i,mh 正交 D2 C2v 222 mm2 222 mm2 E,2C2,C2’ ,C2” E,C2,mv,mv D2h mmm m2 m2 m2 E,C2, C2’ ,C2”,i,mh,mv,mv 四方 C4 S4 4 4 4 4 E,2C4,C2 E,2S4,C2 C4h 4/m m4 E,2C4,C2,i,S4,mh D4 C4v D2d 422 4mm 4 2m 422 4mm 4 2m E,2C4,C22C2’,2C2” E,2C4,C2,2mv,2md E,2S4,C2,2C2’,2md D4h 4/mmm m4 m4 m4 E,2C4,C2,2C2’,2C2”,i,2S4,mh 三方（菱形） C3 S6(C3i) D3 C3v 3 3 32 3m 3 3 32 3m E,2C3 E,2C3,i,2S6 E,2C3,2C2 E,2C3,3mv D3d 3 m 3 m2 E,2C3,3C2,i,2S6,3mv 六方 C6 6 6 E,2C6,2C3, C2 50 C3h 6 6 E,2C6,mh,2S3 C6h 6/m m6 E,2C6,2C3, C2,i,2S3,2S6,mh D6 622 622 E,2C6,2C3, C2, 3C2’, 3C2” C6v 6mm 6mm E,2C6,2C3, C2, 3mv, 3md D3h 6 m2 6 m2 E,2C3, 3C2, mh ,2S3,3mv D6h 6/mmm m6 m6 m6 E, 2C6,2C3,C2,3C2’,3C2”,i, 2S3,2S6,mh ,2S3,3mv,3md 立方 T 23 23 E,8C3,3C2 Th m3 m2 3 E,8C3,3C2,i,8S6,3mh O Td 432 4 3m 432 4 3m E,8C3,3C2 ,6C2,6C4 E,8C3,3C2 ,6md,6S4 Oh m3m m4 3 m2 E,8C3,3C2 ,6C2,6C4,i,8S6,3mh,3md,6S4 167。 表 十一個(gè)勞埃群 三斜 單斜 正交 四方 三方 六方 立方 Ci1 C２ h2/m D2hmmm C4h4/m D4h4/mmm C3i3 D3d3 m C6h6/m D6h6/mmm Thm3 Ohm3m （２） 異極對稱型 不具對稱心的 21 個(gè)點(diǎn)群屬異極對稱型，其特點(diǎn)是至少具有一個(gè)極軸，其兩端不能借助對稱操作互相重合，因此其性質(zhì)顯示出極性來。 2． 8 各晶系晶軸的定向 三方、六方比較特殊，放后面講。 在點(diǎn)群符號(hào)中，第一字符表示主軸，即 a， b， c，第二字符表示體對角線，即 a＋ b＋ c, 第三字符表示面對角線，即 a＋ b， b＋ c， c＋ a。 a=b≠ c α＝β＝γ＝ 90176。 52 再如： D4h4/mmm 4 是 c 軸 頭一個(gè) m 垂直 c 軸 第二個(gè) m 垂直 a,b 軸 第三個(gè) m 是平分 a∧ b 角。 如果不考慮晶體的空間群，則 a,b,c 的排列可以有六種方式。＜γ＜１２０176。 兩套取法都要求 β或γ在 90 和 120176。９０176。 （４） 單斜晶系 第一套取法：取僅有的二次軸為 c 軸，則有 a≠ b≠ c α＝β＝９０176。 例如： D2222,分別以三個(gè) C2 為 a,b,c D２ hmmm,分別以三個(gè) S1為 a,b,c C２ vmm2,以２為 c 軸， m 分別為 a,b 在點(diǎn)群符號(hào)中，第一字符表示 a 軸，第二字符表 示 b 軸，第三字符 c 軸。 如： D2d4 2m 4 是 c 軸 ２是 a 軸 , b 軸 m 是 a+b 方向， a－ b， b－ a 和 a+b 是等效的。兩個(gè)與四次軸垂直的，而且它們之間相互正交的二次軸為 a， b 軸，在水平面上。 （１） 立方晶系 立方晶系的對稱特點(diǎn)是：必有四個(gè) C3；有三個(gè)相互正交的 C4（如 Td4 3m， O432，Ohm3m）或 C2（如 T23， Thm3），而且這三個(gè) C4或 C2 可由 C3的作用而重復(fù)。 表 十一個(gè)旋轉(zhuǎn)群 三斜 單斜 正交 四方 三方 六方 立方 C１ １ C２ 2 D2222 C44 D4422 C33 D332 C66 D6622 T23 O432 167。其它２１個(gè)無對稱心的點(diǎn)群一旦加上對稱心，都可以轉(zhuǎn)換成勞埃群。我們在以上導(dǎo)出的 26 個(gè)點(diǎn)群中加上 i，即可導(dǎo)出剩余的全部點(diǎn)群。 （ 4）只置換高次軸 32— → 3 m 422— → 4 2m 622— → 6 m2 432— → 4 3m 結(jié)果與（ 3）相同，沒有產(chǎn)生新點(diǎn)群。就是說，可以是單純的旋轉(zhuǎn)軸，也可以是單純反軸 ，也可以是混合軸。 （１３） C1179。 與四次軸交角 組合后，全部對稱元素有３個(gè) C4， 4 個(gè) C3， 6 個(gè) C2（６組對棱中點(diǎn)的連線），其中３個(gè)C4相互正交，取為主軸，記為 O432. （ １１） C3與 C2以 35176。44’08” ∴ω =180176。cos45176。31’44”) 相同，都是得到 T23群。 （９） C3179。 由 C２ 179。44’08” 。cos70176。 （８） C3179。)= D6－ 622， {C6,6C2}12 9 n=?2360 = 902360? =2 10 n=602360? =3 11 n=452360? =4 45 （７）垂直加２ C3179。)= D3－ 32， {C3,３ C2}10 C2179。 （６）旋轉(zhuǎn)軸非平行組合 C2179。 C４ １ ＝ C2＝??????????100010001 C４ 3＝ C４ １ 179。 C３ ３ 締合律 ③ C３ １ 179。 C３ ２ ＝??????????100011010??????????100001011 ＝??????????100010001 ＝ C３３ ＝ E 閉合性 ② C３ １ 179。 C2 締合律 ③ C2179。E ＝ E 締合律 ③ E 本身是幺元 ④ E179。 167。 四方：第一字符表示主軸，如 4， 4 ，主軸為 c 軸 第二字符表示 a 或 b 方向 第三字符表示 ab的對角方向，如 4 2m， 4 是主軸， c方向， 2 表示 a 或 b方向的二次軸， m 表示對角方向的對稱面。 176。 2． 4 點(diǎn)群符號(hào) （１） Scho? nflies 符號(hào) Cn n 次旋轉(zhuǎn)軸 1 Dn n 次旋轉(zhuǎn)軸，并在垂直方向上有二次軸 2 Cnv n 次旋轉(zhuǎn)軸，加上鉛直的對稱面，即平行于主軸的對稱面 3 Cnh n次旋轉(zhuǎn)軸，加上水平的對稱面，以主軸的為鉛直方向，則水平方向的面即垂直主軸的面 4 ＊ cos2? = cos 2? cos 2? － sin 2? sin 2? cosδ = cos60176。44’08” 90 注意： ①四次和三次軸或六次軸以 0176。 31’44” (n=3) 35176。 m=4 60176。 以上所說的軸包括旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反伸軸。 ９． 四次軸與四次軸正 交。 ７． 三次軸與四次軸以 54176。 相交 ４． 二次軸與四次軸或六次軸正交 ５． 三次軸與三次軸以 70176。 ２． 二次軸重合三，四，六次軸 三次軸重合六次軸 ３． 二次軸與二次軸以 30176。如同上節(jié)一樣，不過這里的 γ相當(dāng)于 圖 90－ δ n/2， δ n相當(dāng)于圖 的 δ，α m相當(dāng)于圖 的 α n，我們可以得到 sinγ =2sin2sinmn?? ???? （ ） 41 δ n 的可能值已列于表２ .１， α m 的可能值只有 0， 60， 90， 120， 180，一一代入 ()式 ,即可求出任意兩個(gè)軸之間交角 γ 的一切可能值。 二．兩個(gè)任意軸之間的可能交角 設(shè) OA， OB 為相交于 O 點(diǎn)的兩個(gè)任意軸，交角 γ 。 32’ 0 120 60 0 180 0 表中互補(bǔ)的兩個(gè) δ n 值，實(shí)際上只能作為一個(gè)可能值，所以 δ n 僅有四個(gè)可能值，即 90176。 n=4 60176。 ， 180176。 sin 2n? cos 2n? ＝ 1 OA， OB 的基轉(zhuǎn)角是 α n，只可能有 0176。 sin2n?cos2n?＝ 0 δ＝ 60176。 ， 90176。作一平面，垂直 OB，且包含 A和 C，平面截 OB 于 E點(diǎn)，（見圖２．