【正文】 第二套取法：取僅有的二次軸為 b 軸，則有 a≠ b≠ c， a＞ c α＝γ＝９０176。 （３） 正交晶系 它總有三個相互正交的二次軸（２或 2 ），所以取三個相互正交的二次軸為晶軸a,b,c,，如果三個二次軸中有真軸和非真軸之別，則以真軸為主軸，取為 c 軸。 （２） 四方晶系 唯一的四次軸為 c 軸，直立方向。 （３） 手性對稱型 只具有旋轉(zhuǎn)軸，不具任何反軸（包括對稱心和對稱面），即１１個旋轉(zhuǎn)群，其晶體內(nèi)部不能借助反軸來使對映異構(gòu)的部分互相重合，因而晶體具有手性。如果是 S1(i)，則可以導致新結(jié)果的產(chǎn)生。 ２． 其它點群的推導 前面綜合的十一種對稱元素的一切可能組合方式，既適用于旋轉(zhuǎn)軸，也適用于反軸。 C2(⊥ )→ Cn， nC2 46 cosγ ” = ?? ???? 90s in45s in 90c os45c os60c os=21 ∴γ ”=45176。44’08” ，得 O432，｛ ３個 C4， 4 個 C3， 6 個 C2｝ 由定理一， cos2? =cos60176。 C3在體對角線上。44’08” 新產(chǎn)生的 C2與原來的 C3交角 54176。 C2(⊥)=D 6622， {C6,6C2} 所以，２，３，４，６，垂直加２，只得 D2,D3,D4,D6，沒有增加新群。 C2(60176。 C３ ２ ＝??????????100011010??????????100001011＝??????????100010001 ＝ E C３ １ 和 C３ ２ 互逆 （４） C4－ 4， {C4１ ， C4２ ， C4３ ， C4４ ＝ E，四個對稱元素 } C４ １ ＝?????????? ?100090c o s90s in090s in90c o s 　 ＝??????????100001010 C４ ２ ＝ C４ １ 179。 C2＝ E C2 自逆 （３） C３ －３ ， {C３ １ ， C３ ２ ， C３ ３ ＝ E，三個對稱元素 } C３ １ ＝??????????100011010 C３２ ＝??????????100001011 ① C３ １ 179。 （１） C1－ 1， {E，一個對稱元素 }，只有一個幺元的集合 5 反軸群，取自德文 Spiegel achse 6 Tetrahedral 7 Octahedral 8 diagonol 43 ①??????????100010001　　　　　　　　　　　　??????????100010001　　　　　　　　　　　　 ＝??????????100010001　　　　　　　　　　　　 ＝ E 閉合性 ② E179。 三斜：１， 1 單斜：以 b 為主軸，２， m2 正交：三個字符分別表示 a、 b、 c 三個互相垂直的對稱性，如 222，表示沿著 a、 b、 c三個方向的二次軸， mmm 表示沿著 a、 b、 c 三個方向的二次反軸，即 m 的法線方向。 基轉(zhuǎn)角的新 C5軸 ＊ 167。 28’ 45 90 70176。 １１． 一次軸以任意角度與各種不同軸次的軸 相交。 44’08” 相交。 相交，即軸本身。 ， 0176。 n=3 90176。 sin 2n? cos 2n? ＝ 23 δ＝ 180176。 ， 60176。 i → Cn， m， i (m⊥Cn,n =偶數(shù) ) m179。 m(∥ ) → Cn,n個 m （衍生 n個面） 39 定理四 m179。=1 ∴ω =0176。２ ⊥ 當 n＝偶數(shù)時，則有2n個共點的二次軸垂直于此 n 次反軸，同 時有2n個共線的對稱面包含此 n 次反軸，如 4 179。二個對稱 面的交線必是一個旋轉(zhuǎn)軸，其基轉(zhuǎn)角等 于該二對稱面交角的兩倍。 定理二。即 Em179。當再以 OA為軸順 時針轉(zhuǎn)過 α角后，恰 好被帶回 OC。例如，在對稱面上加上一個對稱心， A經(jīng) m 作用后得 A’ A經(jīng) i作用后得的 B A’經(jīng) i作用后的 B’ 這樣，由 A←→ B’及 A’←→ B 可以看到，它們中間 存在一個垂直于 m 的 C2，即 m178。 （１） 晶體周期性排列的點陣結(jié)構(gòu)，對稱元素的安置必須符合點陣結(jié)構(gòu)的對稱性。 35 晶體的對稱元素及其符號 對稱元素 一次 二次 三次 四次 六次 對 稱 心 對 稱 面 三次 四次 六次 旋轉(zhuǎn)軸 反伸軸 習慣記號 C1 C2 C3 C4 C6 i m I3 I4 I6 國際符號 １ ２ ３ ４ ６ 1 m 3 4 6 投影記號 176。 Sn=?????????? ?1000c o ssin0sinc o s??????????????10001001 =?????????? ?1000c o ssin0sinc o s???? Sn 和 In 是等效的，但不是一一對應。即先轉(zhuǎn)動再反伸，或先反伸再轉(zhuǎn)動。 /n 旋轉(zhuǎn)后得 N3 點，在 N3 又進行一次 Cn操作，得 N4，這時， N4點陣點與 N1 距離為 d。 ， ???????????1000cossin0sincos　　　 ??????????????100010001?????????? ?1000cossin0sincos　　　 ???? θ =45176。 相應的矩陣表示 C31=??????????001100010 ， C3２ =??????????010001100 從 P 到 P’，再到 P”，是逆時針的（正方向），那么，我們來觀察讓 P 不動，而讓坐標系順時針旋轉(zhuǎn)，很明顯，旋轉(zhuǎn)一次后， oy 取代了原來的 ox，而且 oy變?yōu)?oz， oz 變?yōu)?ox，即 x— → y， y— → z， z— → x 或?qū)懗? ????????xzzyyx39。 。 如果分 子本身具有對稱心或?qū)ΨQ面，即所謂內(nèi)消旋，分子是非手性分子。在晶體中，只有１次軸，２次軸，３次軸，４次軸，６次軸（容以后證明）。有時對映點也用圓圈中加一撇來表示。如圖２ .2。 C) （ 3） 存 在一個幺元 E，即 AE=EA=A （ 4） 集合中每一元素都存在一個相應的逆元素 A1，即 A1A=AA1=E 滿足這四個條件的集合，就叫做群。 這里有兩個要點：（ 1）用 r表示 的一個點，通過對稱變換 T 操作后，變換為一個等效點 r’,r’=Tr；（ 2）作為對稱操作， T 經(jīng)過一次以上（包括等同操作）的重復，必須能使圖形完全復原，也就是說，經(jīng)過 n 次 T 操作， Tn=E 這樣，集合（ T,T2,T3? TN=E）是一個對稱操作群，這個集合可以滿足群的條件，其中 T 稱為對稱元素。圖形的全部對稱操作形成它的 對稱操作群 。換言之，如果質(zhì)點沒有點陣式的周期性排列，這樣的物體不能稱為晶體。如玻璃，不管其外形被磨制得如何像晶體，它終歸不是晶體。 對稱圖形的對稱操作群中包含的對稱操作的種數(shù)，稱為該對稱操作群的 階 。 2． 1． 2 群的四個條件 （ 1） 閉合性。 2． 1． 3 極射赤平面投影 球面上的諸點，（參見圖 ）由投影點（極點 O 或 O’）投影到赤道平面上 25 167。 對稱中心的階： i,， i２ ＝ E， 2 階。圖中 [100] [110] [1 10]表示對稱面的法線方向。 繞著 n 次旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 2π /n 后，得到另一個可 疊 合的圖形。如果分子雖是手性分子，但它在晶體中排列成心對稱或面對稱的點陣，即所謂外消旋。點 P(x,y,z)經(jīng) C3 操作后， 得到 P’(x’,y’,z)。39。將 cos45176。而 N1N2=a， N2N3=a， N3N4=a。轉(zhuǎn)動操作表示為?????????? ?1000c o ssin0sinc o s????　 ，反伸操作表示為 ??????????100010001，這兩個操作的聯(lián)合，就是兩個矩陣相乘： In=?????????? ?1000c o ssin0sinc o s????　 ??????????10001001=?????????????1000c o ss in0s inc o s????　　 例如： I1=??????????100010001??????????100010001=??????????100010001=i 32 I2=??????????100010001??????????100010001=??????????100010001 =m(xy) I3=???????????????1000120c o s120s in0120s in120c o s　 ??????????100010001=?????????????10002/12/302/32/1　 I4=???????????????100090c o s90s in090s in90c o s　 ??????????100010001=??????????100001010 I6=???????????????100060c o s60s in060s in60c o s　 ??????????100010001=???????????????10002/12/302/32/1　 2． 2． 5． 1 當 n=偶數(shù)時 n=2 I2=?????????? ?1000c o ssin0sinc o s　　 ??????????????100010001=??????????100010001 =m(xy) n=4 I41=???????????????100090c o s90s in090s in90c o s　 ??????????100010001=??????????100001010 I42=??????????100001010??????????100010001=??????????100010001=C2 n=6，在六角坐標系中，令坐標系倒轉(zhuǎn) 60176。 我們已經(jīng)討論了四種對稱元素。 C 相當?shù)膶ΨQ元素或其組合 C3+C2 I1 S2 I2 S1 C3+i S6 S4 C3+m S3 第二章（之二） 167。 （２） 晶體是有限圖形的，所有對稱元素都必須至少有一個共點，并且不允許包含平移操作或平移分量。 i=C2 下面我們來討論對稱元素組合的規(guī)律 —— 對稱元素 組合定理。 這樣，轉(zhuǎn)動 OB，則 OC