【正文】 C2=?????????? ?1000c o ssin0sinc o s????　 = ??????????100010001 例 2． C4， n=4， φ =90176。 C31=??????????100011010??????????100011010=??????????100001011=C31 第三次旋轉(zhuǎn)， C3３ = C31 178。 ， 變換矩陣為??????????001100010 二次旋轉(zhuǎn)，????????yzxyzx ，變換矩陣是??????????001100010??????????001100010 ＝??????????010001100 三次旋轉(zhuǎn)，????????zzyyxx39。 = 22 代入上式，得 31 C2(110)=??????????100001010 現(xiàn)在我們來(lái)證明，晶體中只存在 C1， C2， C3， C4， C6， 不存在 C5的問(wèn)題。１，177。xy39。 上面介紹的四種對(duì)稱元素 可分為兩類： 第一類對(duì)稱元素： n 次旋轉(zhuǎn)軸，也稱真軸，記為 Cn 第二類對(duì)稱元素： n 次旋轉(zhuǎn)反伸軸，也稱非真軸，反軸，記為 In。 至少相交于一點(diǎn)的宏觀對(duì)稱元素所構(gòu)成的群，叫點(diǎn)群。 由于這些限制，晶體中所可能有的對(duì) 稱元素組合方式不是無(wú)窮多，而是只有３２種。 2．３．１．１ 定理一． Euler（歐 拉）定理 通過(guò)任意二相交旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)， 必可找到第三個(gè)新的旋轉(zhuǎn)軸，其作用 等于前二者之積；其軸次及其與原始 旋轉(zhuǎn)軸之間的交角，取決于二原始旋 轉(zhuǎn)軸的軸次及它們之間的交角。但是 = = 37 因而 OB→ OB’ 這一移動(dòng)可以由以 OC為軸，旋轉(zhuǎn) ω 角來(lái)完成。若 E1=Em179。 根據(jù)歐拉定理，有 cosγ ’=cosγ ”=2s in90s in2c o s90c o s90c o s?????? =0 ∴γ ’=γ”=90176。cosα=cosβ cosγ +sinβsinγcosA 38 正旋轉(zhuǎn)軸 推理 若對(duì)稱面上有一個(gè) n次軸，則必有 n個(gè)對(duì)稱面交于 次軸，且相臨二對(duì)稱面的交角是 n次軸基轉(zhuǎn)角的一半 定理四 通過(guò)二次軸和對(duì)稱面的交點(diǎn)，并垂直該二次軸的直 線，必為一個(gè)反軸，其基轉(zhuǎn)角是二次軸和對(duì)稱面交角的兩倍。 證明：對(duì)稱面的法線即二次反軸，按條件，就是二次軸和二次反軸重合， α =β=180176。 對(duì)稱元素的組合定理簡(jiǎn)要?dú)w納如下： 定理一 Cm179。 m(∥ ) → Sn， n個(gè) C2， n個(gè) m（ n為 奇數(shù)） Sn179。顯然， OA =OB =OC =OD ，即 C， D 也是點(diǎn)陣點(diǎn)，而且 AD ＝ AB ＝ BC ，這樣， A，B， C， D 四點(diǎn)共面。 ， 180176。 ， 90176。 n=1 0 180 180 180 180 任意值 60 120 109176。OB 繞 OA轉(zhuǎn)過(guò) α m后得 OB’，則 OB 和 OB’必為同種軸，其交角為 δ n。 ， 60176。 ８． 三次軸與二次軸以 35176。 m=2 120176。 48’37” 54176。 sin60176。 三方、六方：第一字符表示主軸，如 3， 3 ， 6， 6 ，主軸為 c 軸 第二字符表示 d 方向， [1 1 0]或 d 軸 第三字符表示 [2a+b]方向，即 [210]方向 立 方：第一字符表示 c 主軸， [001] 第二字符表示體對(duì)角線 [111]方向 第三字符表示面對(duì)角線 [110]方向 每個(gè)方向的符號(hào)表示與該方向一致的對(duì)稱軸或與該方向垂直的對(duì)稱面，如果二者都存在，則寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，如 m4 m2 m2 。 E= C2 閉合性 ② C2179。 C３ ３ ） = （ C３ １ 179。 C４ 3＝ E 上述操作過(guò)程已經(jīng)可以看到它們的閉合性，締合律，幺元， C４ １ 和 C４ ３ 互逆， C４ ２ 自逆 （５） C6－ 6， {C6１ ， C6２ ＝ C３ １ ， C6３ ＝ C2， C64=C32， C65， C66=E，六個(gè)對(duì)稱元素 } 44 C6１ ＝??????????100001011 C6２ ＝??????????100001011??????????100001011 ＝??????????100011010 =C31 C63＝??????????100001011??????????100011010 ＝??????????100010001 ＝ C2 C64＝??????????100001011??????????100010001 =??????????100001011 ＝ C３２ C6５ ＝??????????100001011　　　　　　　　　　　　　　??????????100001011 ＝??????????100011010 ＝ C６－１ C6６ ＝??????????100001011　　　　　　　　　　　　　　??????????100011010 ＝??????????100010001 ＝ E 上述操作過(guò)程已經(jīng)可以看到它們的閉合性，締合律，幺元， C6１ 和 C65 互逆， C6２ 和 C64互逆， C6３ 自逆 （６）旋轉(zhuǎn)軸平行組合 C2∥ C4， C2包含在 C4中 C２ ∥ C６ ， C2包含在 C６ 中 C３ ∥ C６ ， C３ 包含在 C６ 中 C2∥ C３ ，得 C６ ，且 C2∥ C３ ∥ C６ 三者重合 所以，單一 旋轉(zhuǎn)群是獨(dú)立的點(diǎn)群，以０176。)= D4－ 422， {C4,4C2}11 C2179。31’44” 根 據(jù) 定 理 一 ，cos2? =cos260176。C n,有 m個(gè) Cn,n個(gè) Cm, C3179。44’08” 結(jié)果與 C3179。sin45176。 （１２） C４ 與 C2以４ 5176。 所以用反軸全部或部分地置換上述１１個(gè)點(diǎn)群的旋轉(zhuǎn)軸，就可以導(dǎo)出其余所有可能的點(diǎn)群來(lái)。 1+i— → 1 已有 2+i— → C2h2/m, {C2,m,i} 3+i— → 3 已有 4+i— → C4h4/m, {C4,m,i} 6+i— → C6h6/m, { E,2C6,mh,i,2C3,C2,2S3,2S6,} 23+i— → m3, 已有 222+i— → D2hmmm, { E,mh,mv,mv,C2,C2’,C 2’, i } 322+i— → 3m, 已有 422+i— → D4h4/mmm, { E,2C4,C2,2C2’,2C2”,i,2S4,mh } 622+i— → D6h6/mmm, {E, 2C6,2C3,C2,3C2’,3C2”,i,2S3,2S6,mh ,2S3,3mv,3md} 432+i— → 4 2m, 已有 49 表 32 種點(diǎn)群的符號(hào)與對(duì)稱元素 熊夫利斯 符號(hào) 國(guó)際 符號(hào) 完全的國(guó)際 符號(hào) 對(duì) 稱 元 素 三斜 C1 S2(Ci) 1 1 1 1 E E,i 單斜 C2 Cs 2 m 2 m E,C2 E,m C2h 2/m m2 E,C2,i,mh 正交 D2 C2v 222 mm2 222 mm2 E,2C2,C2’ ,C2” E,C2,mv,mv D2h mmm m2 m2 m2 E,C2, C2’ ,C2”,i,mh,mv,mv 四方 C4 S4 4 4 4 4 E,2C4,C2 E,2S4,C2 C4h 4/m m4 E,2C4,C2,i,S4,mh D4 C4v D2d 422 4mm 4 2m 422 4mm 4 2m E,2C4,C22C2’,2C2” E,2C4,C2,2mv,2md E,2S4,C2,2C2’,2md D4h 4/mmm m4 m4 m4 E,2C4,C2,2C2’,2C2”,i,2S4,mh 三方（菱形） C3 S6(C3i) D3 C3v 3 3 32 3m 3 3 32 3m E,2C3 E,2C3,i,2S6 E,2C3,2C2 E,2C3,3mv D3d 3 m 3 m2 E,2C3,3C2,i,2S6,3mv 六方 C6 6 6 E,2C6,2C3, C2 50 C3h 6 6 E,2C6,mh,2S3 C6h 6/m m6 E,2C6,2C3, C2,i,2S3,2S6,mh D6 622 622 E,2C6,2C3, C2, 3C2’, 3C2” C6v 6mm 6mm E,2C6,2C3, C2, 3mv, 3md D3h 6 m2 6 m2 E,2C3, 3C2, mh ,2S3,3mv D6h 6/mmm m6 m6 m6 E, 2C6,2C3,C2,3C2’,3C2”,i, 2S3,2S6,mh ,2S3,3mv,3md 立方 T 23 23 E,8C3,3C2 Th m3 m2 3 E,8C3,3C2,i,8S6,3mh O Td 432 4 3m 432 4 3m E,8C3,3C2 ,6C2,6C4 E,8C3,3C2 ,6md,6S4 Oh m3m m4 3 m2 E,8C3,3C2 ,6C2,6C4,i,8S6,3mh,3md,6S4 167。 2． 8 各晶系晶軸的定向 三方、六方比較特殊，放后面講。 a=b≠ c α＝β＝γ＝ 90176。 如果不考慮晶體的空間群，則 a,b,c 的排列可以有六種方式。 兩套取法都要求 β或γ在 90 和 120176。 （４） 單斜晶系 第一套取法：取僅有的二次軸為 c 軸，則有 a≠ b≠ c α＝β＝９０176。 如： D2d4 2m 4 是 c 軸 ２是 a 軸 , b 軸 m 是 a+b 方向， a－ b， b－ a 和 a+b 是等效的。 （１） 立方晶系 立方晶系的對(duì)稱特點(diǎn)是：必有四個(gè) C3；有三個(gè)相互正交的 C4（如 Td4 3m， O432，Ohm3m）或 C2（如 T23， Thm3），而且這三個(gè) C4或 C2 可由 C3的作用而重復(fù)。其它２１個(gè)無(wú)對(duì)稱心的點(diǎn)群一旦加上對(duì)稱心，都可以轉(zhuǎn)換成勞埃群。 （ 4）只置換高次軸 32— → 3 m 422— → 4 2m 622— → 6 m2 432— → 4 3m 結(jié)果與（ 3）相同，沒(méi)有產(chǎn)生新點(diǎn)群。 （１３） C1179。44’08” ∴ω =180176。31’44”) 相同，都是得到 T23群。 由 C２ 179。cos70176。)= D6－ 622， {C6,6C2}12 9 n=?2360 = 902360? =2 10 n=602360? =3 11 n=452360? =4 45 （７）垂直加２ C3179。 （６）旋轉(zhuǎn)軸非平行組合 C2179。 C３ ３ 締合律 ③ C３ １ 179。 C2 締合律 ③ C2179。 167。 176。44’08” 90 注意： ①四次和三次軸或六次軸以 0176。 m=4 60176。 ９． 四次軸與四次軸正 交。 相交 ４． 二次軸與四次軸或六次軸正交 ５． 三次軸與三次軸以 70176。如同上節(jié)一樣，不過(guò)這里的 γ相當(dāng)于 圖 90－ δ n/2， δ n相當(dāng)于圖 的 δ，α m