【正文】 （ 2） 繞 y軸轉過 90176。對稱面可能垂直坐標系的任一軸，所以對稱面的矩陣表示有 三種形式： m[1 0 0]＝??????????100010001 對稱面垂直 x軸 m[0 1 0]＝??????????100010001 對稱面垂直 y 軸 26 m[0 0 1]＝??????????100010001 對稱面垂直 z 軸 坐標為（ x,y,z）受到 m 作用后，得到另一個點： m[100] ??????????zyx =??????????100010001??????????zyx =??????????zyx m[010] ??????????zyx =??????????100010001??????????zyx =??????????zyx m[001] ??????????zyx =??????????100010001??????????zyx =??????????zyx 行 列式100010001=100010001 =100010001 =－ 1 對稱面的階： m,m2=E， 2 階 矢量 r， 坐標為（ x,y,z），通過 ? (xy)平面上的對稱面操作 (對稱面躺在 xy 平面上 )，得到r’： r=xa1+ya2+za3 r’=xa1+ya2za3 注意：點（ x,y,z）受到 m 作用后得到的是它的對映點。比如 A,B,C 三個元素，179。晶體的點陣結構和對稱性，是晶體的重要屬性。這種操作不能改變圖形中任 意兩點的距離。 C=A179。圖中○表示點（ x,y,z），179。但是在對稱心和對稱面的操作后，原來的右手坐標變成了左手坐標，如同理發(fā)店里你在鏡中看到的理發(fā)師都是左撇子一樣。 三次軸沿著體對角線。在 N2，同樣具有 Cn 旋轉軸對稱性。 i=??????????100011010??????????100010001=??????????100011010　 I32=??????????100011010　 ??????????100011010　 = ??????????100001011=C32 先轉動后反伸 =先反伸后轉動 效果相同 34 I33=??????????100011010　 ??????????100001011=??????????100010001=i I34=??????????100011010　 ??????????100010001=??????????100011010=C31 I35=??????????100011010　 ??????????100011010=??????????100001011　 I36=??????????100011010　 ??????????100001011　 =??????????100010001　 =E 2． 2． 6 旋轉反映， Sn 這也是聯(lián)合了兩步操作才能完成的對稱操作。 晶體可以只存在平移對稱性而不存在其他任何對稱性（除了 C1），可以只存在單一的對稱元素，也可以同時存在若干個對稱元素。 現有通過 O點的另一直線 OC， 它和 OA交角為 γ ’，和 OB 交角為 γ ” 。在特殊條件下， E1 和 E2才能重合為一。 推理 一個二次軸，垂直一個 n 次反軸，當 n=奇數時，必有 n 個共點的二次軸垂直此 n 次反軸，同時有 n 個共線的對稱面包含 此 n 次反軸。 C2(⊥ ) → Cn,n個 C2 （衍生 n個２） 定理三 m179。 2n? )=BCEC ∴ sin 2? =sin 2n? cos 2n? ?（２ .２） 和以前證明晶體中不能有 C5的情況一樣，δ 的可能值要受點陣結構的限制，即 CD ＝ N178。 ，逐一代入 ()式，即可得全部可能的 δ n 角 表２ .１ 兩個同次軸之間的可能交角 δ n α n δ 180176。見表２．２。 １０． 四次軸與二次軸以 45176。 相交，將產生 12次軸 ②兩個三次軸以 41176。 2．５ 點群的系統(tǒng)推導 １． 十一個旋轉群 —— 只含旋轉軸的群 單獨一個旋轉軸的有 C1－ 1， C2－ 2， C3－ 3， C4－ 4， C6－ 6。 E=E179。 C2(⊥)=D 332， {C3,3C2}13 C４ 179。C 3可知，應有３個 C2。 新產生二次軸 cosγ ’= ?? ???? 90s in60s in 90c os60c os45c os =32 γ ’=35176。 （ 5）綜合的十一種 組合方式中，第十一種是一次軸和任意對稱元素組合，以任意角度與各種不同軸次相交。所以，以三個相互正交的 C4或 C2為主軸 a， b， c a＝ b＝ c α＝β＝γ＝ 90176。９０176。 a≠ b≠ c α＝β＝γ＝９０176。 2． 7 晶系 表 七個晶系 晶族 晶系 對稱特點 點群 點群數 低 三斜 無 只有一次軸 C１ 1,Ci1 2 51 級 晶 族 單斜 高 次 軸 只在一個方向上有二次軸 C２ 2, Csm, C２ h2/m 3 正交 在三個方向上 均有二次軸 D2222, C２ vmm2, D２ hmmm 3 中 級 晶 族 四方 有 一 個 高 次 軸 唯一的高次 軸是 四次軸 C44, S44 ,C4h4/m,D2d4 2m, C4v4mm,D4h4/mmm, D4422 7 三方 唯一的高次 軸是三次軸 C33, C3i3 , C3v3m, D332,D3d3 m 5 六方 唯一的高次 軸是六次軸 C66, C3h6 , C3h6 ,D3h6 m2 C6v6mm,D6h6/mmm,D6622 7 高級 晶族 立方 高次軸多于一個 必有四個三次軸 T23,Thm3,Td4 3m O432,Ohm3m 5 167。 在由它們導出的最后結果中，各種軸的數目，軸次及它們在空間的取向，都和上述１１種只含單純旋轉軸的點群相一致，只是軸的種類有所不同。 sin60176。 由定理一的推理， Cm179。 C2(45176。（ C３ ２ 179。對稱面的方向就是它的法線方向。 15’52” 41176。 44’08” 相交。 OA 基轉角 α m，是一個 m 次軸。 ， 60176。 2．３． 2 二任意軸交角的可能值 一．兩個同次軸之間的可能交角 設 OA， OB 為相交于 O 點的兩個相同 的 n 次軸 （見圖 2． 18），其基轉角為 α n， 且 O， A， B 均為點陣點， OA =OB ， OA 繞 OB 旋轉 α n得 OC， OB繞 OA 旋轉 α n得 OD。 m 只能得 C2） 推理二 當有對稱心存在時，偶次軸的個數必等于對 稱面的個數，且每一偶次軸各自垂直一對稱面。因反伸兩次，反反得正，所以必為一個 ［１］ 證明請參考南京大學“結晶學”下冊，第 515 頁 球面三角公式： cosA=cosBcosC+sinBsinCcosα 。 Em。 167。 2．３ 對稱元素的組合 就數學上的意義而言，空間任意的對稱變換就構成了所謂“群”，對稱操作的集合叫做 36 對稱操作群，相應的對稱元素的集合叫對稱元素群，二者概稱為對稱群。 ，則 ????????zz39。 =sin45176。點反時針旋轉，相當于坐 標系順時針旋轉： x’=－ y y’=x－ y ∴ C31=??????????100011010 如果順時針旋轉， C3－ １ =??????????100001011 在 C31之后再做一次旋轉， C32= C31 178。旋轉軸的階： Cn? Cnn=E， n 次軸即 n 階。 矩陣表示： i＝??????????100010001 行列式100010001=－ 1 ),(),( zyxzyx i ???? ?? ２．２．３對稱面操作 m，鏡面，反映 一個假想的平面，平面的兩側是兩個互呈鏡像而又不能疊合的對映圖形，這假想平面叫對稱面，或鏡面。一套元素的集合，其中任意兩個元素組合后產生一個新元素，這個新元素必須包含在這一套元素的集合中 （ 2） 對稱操作具有締合律。 晶體從外形到微觀的內部結構，都表現出一定的對稱性。這種能使對稱圖形復原的每一種操作，都叫做 對稱操作 。 (B179。表示對映點。 行列式等于－ 1的對稱操作如對稱心和對稱面，將產生它的對映像，而行列式等于 +1 的對稱操作如一切純旋轉軸，不產生對映像。點 P(xyz)經 C3一次旋轉后， 得到 P’(yzx)，第二次操作后，得到 P”(zxy)。在 N2 點進行一次 Cn 旋轉對稱操作，旋轉角 φ =360176。即先轉動再反映，或先反映再轉動。數學上對稱元素的組合可以有無窮多方式，而在晶體中，它們的組合卻不能是任意的，而是要受到周期排列的點陣結構的限制。假定它所處的位置剛好滿足 如下要求：當 OB順時針旋轉 β 角時， OC被帶到 OC’ 。 推理： m次軸和 n次軸相交，必得 m個 n次軸， n個 m次軸，且二相臨的 m次軸與 n次軸之間的交角均等于原始的二軸之間的交角。如 3 179。 m(δ )=Cn (n= ?2360? ) 推理 Cn179。 AB (N 為整數 ) ＝（ 1－ 2cosδ） AB 40 ∴ cosδ ＝21 N?＝2M 可見，δ的可能值只有 0176。 n=2 120176。 一切可能的組合方式綜合于下： １． 同次軸以０ 176。相交。 48’37” 相交，將衍生出 72176。我們從群的四條件來看它們是否成群。 C３ １ ＝ C３ １ 存在幺元 ④ C３ １ 179。 C2(⊥)=D ４ 422， {C4,4C2} C6179。以這三個 C2為主軸，三軸相等，是立方的。 15’52” 與三次軸交角 12 n=302360? =6 13 Cn179。如果一次軸是 C1，則不產生任何新元素。 在點群符號中，第一字符表示主軸，即 a， b， c，第二字符表示體對角線，即 a＋ b＋ c, 第三字符表示面對角線，即 a＋ b， b＋ c， c＋ a。＜γ＜１２０176。 例如： D2222,分別以三個 C2 為 a,b,c D２ hmmm,分別以三個 S1為 a,b,c C２ vmm2,以２為 c 軸， m 分別為 a,b 在點群符號中，第一字符表示 a 軸，第二字符表 示 b 軸，第三字符 c 軸。 表 十一個旋轉群 三斜 單斜 正交 四方 三方 六方 立方 C１ １ C２ 2 D2222 C44 D4422 C33 D332 C66 D6622 T23 O4