【正文】 按巴克爾統(tǒng)一定向規(guī)則，應(yīng)取 bac 如果這種取法與空間群的對稱要求發(fā)生矛盾時，以空間群的對稱要求為標(biāo)準(zhǔn)。一切選軸都是按右手定則，直立方向都定為主軸。 （１） 用反軸置換旋轉(zhuǎn)軸 1— → 1 {1 ,E} Ci1 2— → 2 =m { m,E} Csm 3— → 3 {C3,i,E} C3i3 4— → 4 {S4,E} S44 6— → 6 {S3,E} C3h6 23— → Thm3(m2 3 ) {3C2, 4C3, 3m,i}={3S2, 4S3, 3C2} 因為 m+3 中的 i，必產(chǎn)生２，又因２和３不重合，所以必產(chǎn)生３個２，并和三個 m垂直 47 （２） 用 m（即 S2）置換 222,32,42,62,432中的 2 222— → C2vmm2，只置換三個２中的兩個，其原始的組合，乃是兩個 C2 相互正交的組合，對稱元素｛ C2,2m｝ 32— → C3v3m， {C3,3m} 422— → C4v4mm， {C4,4m} 622— → C6v6mm， {C6,6m} 432— → Ohm3m， (m4 3 m2 )， { E,8C3,3C2 ,6C2,6C4,i,8S6,3mh,3md,6S4} 這里，對稱元素 6C２ ， 9m， i的產(chǎn)生是因為：原先的六個 C2被置換成 m后， C4+C3組合的結(jié)果仍要產(chǎn)生６個新的 C2,這６個 C2和６個 m方向一致，即 C2⊥m ，于是有 i產(chǎn)生，而 i＋ C4得垂直于 C4的 m(三個 )，所以有 6C２ ， 9m， i （３） 同時置換全部軸 222— → C2vmm2 前面已討論過 32— → D3d3 m(或 3 m2 ) ｛ C3,3C2,3m,i｝ ={S3,3S2,3C2} 422— → D2d4 2m, {S4,2C2,2m} 622— → D3h6 m2, {S6,3C2,4m} 48 432— → Td4 3m, {3S4,4C3,6m}, 4,3 不能同時置換，因為 4 ， 3 不能同時存在。cos54176。 C3(δ) 應(yīng)有３個 C3,連同原來的一個 C3， 共有四個 C3。 C2(30176。 C３ ２ ）179。由于分子的兩個 2 是非獨立的，可以省略，所以也可以寫成 4/mmm。44’08” 90(n=2,4) 45 54176。 15’52” 相交。 參見圖 。 ， 120176。 設(shè) OA， OB 之間夾角為 δ n，則 OC 和 OB 之間的交角也應(yīng)為 δ n， △ ABC 為等腰三角形，所以 ∠ OBC=90－ 2n? 。 Cn=Cq，當(dāng) m= ??360 ， n=??360， q= ??360 時，有 cos 2? = cos 2? cos 2? － sin 2? sin 2? cos? 定理二 C2179。 證明同定理三。 En,E2=En179。 Cm179。在作為有限圖形的結(jié)晶多面體中，它只能具有宏觀對稱元素，而且必須至少有一共點。yx39。 有周期排列的點陣結(jié)構(gòu)是晶體的主要特征。 C31178。 ρ，使 Cn與 z軸重合 （ 3） 繞 z軸作 Cn操作，轉(zhuǎn)動角φ = n?360 （ 4） 繞 y軸轉(zhuǎn)過ρ 90176。如果點（ x,y,z）代表一個圖形，則 m 對稱操作后得到的是其對映圖形。表示組合操作，則 (A179。 什么叫對稱？ 對稱就是物體相同部分有規(guī)律的重復(fù) 。 一個圖形，經(jīng)過一種以上操作（包括等同操作）后能夠復(fù)原，這種圖形叫做 對稱圖形 。 B)179。 圖示如圖 。 （ 5） 繞 z軸轉(zhuǎn)過θ 這個對稱操作是五個矩陣的乘積： ?????????? ?1000cossin0sincos　　　　 ?????????????????　　　????sin0cos010cos0sin?????????? ?1000cossin0sincos　　　　 ?????????????? ?????sincoscossin0010　　 ???????????1000cossin0sincos　　　　 ???? 旋轉(zhuǎn)軸的圖示法 前面我們多次提到行列式的值，對稱心和對稱面的行列式等于－ 1，而旋轉(zhuǎn)軸的行列式等于 +1，這有什么意義呢？我們定義坐標(biāo)系符合右手定則，體系經(jīng)過旋轉(zhuǎn)操作后，原來的右手定則坐標(biāo)系仍然是右手坐標(biāo)，不論那旋轉(zhuǎn)是反時針還是順時針方向。 C31 30 =??????????100011010??????????100011010??????????100011010=E (2) 菱形坐標(biāo)系．坐標(biāo)軸 ox=oy=oz，軸夾角xoy=yoz=zox≠ (或＝ )90176。一個點 N1 移動一個點陣周期后，得 N2.。 x 33 I61=??????????100010001??????????100001011　 = ??????????100001011　 = ??????????100001011　 ??????????100010001 I62=??????????100001011　 ??????????100001011　 = ??????????100011010　 I63=??????????100001011　 ??????????100011010　 =??????????100010001 =m(xy) I64=??????????100001011　??????????100010001 =??????????100001011　 I65=??????????100001011　 ??????????100001011　 = ??????????100011010　 I66=??????????100001011　 ??????????100011010　 =??????????100010001　 =E 2． 2． 5．２當(dāng) n 為奇數(shù)時 n=1， I1=1 =i E??????????100010001=??????????100010001=i n=3 I31=C31178。晶體的點群 ，就是該晶體所具有的全部對稱元素的總和，或叫集合。 Cn(δ )=Cq 證明：見圖２ .17 的圖解，設(shè) OA, OB 為相交于 O 點的兩個原始旋轉(zhuǎn) 軸，交角 δ， OA的基轉(zhuǎn)角為 α ， OB 的基轉(zhuǎn)角為β。 Em，則 E E2都是 Em、 En 組合的新對稱元素。但是這里是一個旋轉(zhuǎn)軸和一個反軸，合成軸 必為反軸。 C2(δ )=Cn (n= ?2360? ) 推理 Cn179。作一平面，垂直 OB，且包含 A和 C，平面截 OB 于 E點，（見圖２． 19），則 ∠ AEC＝ αn 令∠ ABC＝ δ ，在等腰三角形 △BAC 中 ,sin2? =BCAC2 在等腰三角形△ EAC中 ,sin 2n? =ECAC2 在直角三角形 △ EBC中， cos 2n? =sin(90176。 ， 180176。如同上節(jié)一樣，不過這里的 γ相當(dāng)于 圖 90－ δ n/2， δ n相當(dāng)于圖 的 δ，α m相當(dāng)于圖 的 α n，我們可以得到 sinγ =2sin2sinmn?? ???? （ ） 41 δ n 的可能值已列于表２ .１， α m 的可能值只有 0， 60， 90， 120， 180，一一代入 ()式 ,即可求出任意兩個軸之間交角 γ 的一切可能值。 ９． 四次軸與四次軸正 交。44’08” 90 注意： ①四次和三次軸或六次軸以 0176。 167。 C３ ３ 締合律 ③ C３ １ 179。)= D6－ 622， {C6,6C2}12 9 n=?2360 = 902360? =2 10 n=602360? =3 11 n=452360? =4 45 （７）垂直加２ C3179。 由 C２ 179。44’08” ∴ω =180176。 （ 4）只置換高次軸 32— → 3 m 422— → 4 2m 622— → 6 m2 432— → 4 3m 結(jié)果與（ 3）相同，沒有產(chǎn)生新點群。 （１） 立方晶系 立方晶系的對稱特點是：必有四個 C3；有三個相互正交的 C4（如 Td4 3m， O432，Ohm3m）或 C2（如 T23， Thm3），而且這三個 C4或 C2 可由 C3的作用而重復(fù)。 （４） 單斜晶系 第一套取法：取僅有的二次軸為 c 軸，則有 a≠ b≠ c α＝β＝９０176。 如果不考慮晶體的空間群，則 a,b,c 的排列可以有六種方式。 2． 8 各晶系晶軸的定向 三方、六方比較特殊，放后面講。 所以用反軸全部或部分地置換上述１１個點群的旋轉(zhuǎn)軸，就可以導(dǎo)出其余所有可能的點群來。sin45176。C n,有 m個 Cn,n個 Cm, C3179。)= D4－ 422， {C4,4C2}11 C2179。 C３ ３ ） = （ C３ １ 179。 三方、六方：第一字符表示主軸，如 3， 3 ， 6， 6 ，主軸為 c 軸 第二字符表示 d 方向， [1 1 0]或 d 軸 第三字符表示 [2a+b]方向，即 [210]方向 立 方：第一字符表示 c 主軸， [001] 第二字符表示體對角線 [111]方向 第三字符表示面對角線 [110]方向 每個方向的符號表示與該方向一致的對稱軸或與該方向垂直的對稱面，如果二者都存在，則寫成分?jǐn)?shù)形式，如 m4 m2 m2 。 48’37” 54176。 ８． 三次軸與二次軸以 35176。OB 繞 OA轉(zhuǎn)過 α m后得 OB’，則 OB 和 OB’必為同種軸，其交角為 δ n。 ， 90176。顯然， OA =OB =OC =OD ，即 C， D 也是點陣點，而且 AD ＝ AB ＝ BC ，這樣， A，B， C， D 四點共面。 對稱元素的組合定理簡要歸納如下： 定理一 Cm179。cosα=cosβ cosγ +sinβsinγcosA 38 正旋轉(zhuǎn)軸 推理 若對稱面上有一個 n次軸，則必有 n個對稱面交于 次軸，且相臨二對稱面的交角是 n次軸基轉(zhuǎn)角的一半 定理四 通過二次軸和對稱面的交點，并垂直該二次軸的直 線，必為一個反軸，其基轉(zhuǎn)角是二次軸和對稱面交角的兩倍。若 E1=Em179。 2．３．１．１ 定理一． Euler（歐 拉）定理 通過任意二相交旋轉(zhuǎn)軸的交點， 必可找到第三個新的旋轉(zhuǎn)軸，其作用 等于前二者之積；其軸次及其與原始 旋轉(zhuǎn)軸之間的交角，取決于二原始旋 轉(zhuǎn)軸的軸次及它們之間的交角。 至少相交于一點的宏觀對稱元素所構(gòu)成的群，叫點群。xy39。 = 22 代入上式，得 31 C2(110)=??????????100001010 現(xiàn)在我們來證明，晶體中只存在 C1， C2， C3， C4， C6， 不存在 C5的問題。 C31=??????????100011010??????????100011010=??????????100001011=C31 第三次旋轉(zhuǎn)， C3３ = C31 178。 如果轉(zhuǎn)動軸不在 x,y,z 軸上，轉(zhuǎn)動矩陣怎么表示 呢？大致做法是： （ 1） 繞 z 軸轉(zhuǎn)過－ θ，使 Cn軸躺在 xz 平面上